平面向量的數量積與運算律ppt課件

1、sF 一個物體在力一個物體在力F 的作用下產生位移的作用下產生位移s，那么力那么力F 所做的功應當怎樣計算？所做的功應當怎樣計算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，功是數量是向量，功是數量.| s|F|W cos 是是F的方向的方向 與與s的方向的方向 的夾角。的夾角。兩向量的夾角范圍是兩向量的夾角范圍是0, 兩個非零向量兩個非零向量a 和和b ，在平面上任取一點，在平面上任取一點O ，作作 ， ,那么那么叫做向量叫做向量a 和和b 的夾角的夾角 AOB)1800( OB =bOA= aba 記作記作90 當當 ，a 與與b 垂直，垂直，當當 ，a 與與b 同向，同向，0 當當 ，a 與

2、與b 反向反向180 AOBOABBab AOOAB 在在 中，找出下列向量的夾角：中，找出下列向量的夾角： ABCABC(1);ABAC與(2);ABC與B(3)ACC與B 。 cos|baba 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a 和和b ，它們的夾角為，它們的夾角為 ，我們把數，我們把數量量 叫做叫做a 與與b 的數量積或內積），記作的數量積或內積），記作a b ，即，即 cos|ba規(guī)定：零向量與任意向量的數量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數量積為0，即，即 0 0a提問：提問： “ ”不能寫成不能寫成“ ”或者或者“ ” 的形的形式式a bababABC60。CAB60。5824-20D

3、（1知知 |p| =8,|q| =6, p和和q 的夾角是的夾角是 ，求，求p q60。（2知知 中，中， =5,b =8,C= ,求求BC CAaOABab 1BbOBaOA ，作作，過點，過點B作作1BB垂直于直線垂直于直線OA，垂足為，垂足為 ，那么，那么1B 1OB| b | coscosa bab平面向量的數量積的幾何意義是平面向量的數量積的幾何意義是: a 的長度的長度 |a|與與 b 在在 a 的方向的方向 上的數量上的數量 |b|cos 的乘積的乘積 ，| b | cos叫向量叫向量 b 在在 a 方向上的正射影、數量方向上的正射影、數量1OB1、知、知 ， 為單位向量，當它們

4、的夾角為為單位向量，當它們的夾角為 時，時，求求 在在 方向上的數量及方向上的數量及 ； 8a e3aea eea、2、知 ， ， 與 的交角為 ，那么2a 3b ab90oa b；m4、知 ， ，且 ，那么 與 的夾角為 3m 4n 6m nn；3、假設 ， ， 共線，那么1a 3b ab、a b.（1 1e a=a e=| a e a=a e=| a | cos| cos （2 2ab a b=0 (ab a b=0 (判斷兩向量垂直的依據判斷兩向量垂直的依據) ) （3 3當當a a 與與b b 同向時，同向時，a b =| a | | b |a b =| a | | b |，當，當a

5、a 與與b b 反向反向時，時， a b = -| a | | b | a b = -| a | | b | 特別地特別地22a aaaa或 4cosa ba b403或或360o( a / b a b=|a| |b| )5. a ba b與的大小關系如何？（1 1e a=a e=| a e a=a e=| a | cos| cos （2 2ab a b=0 (ab a b=0 (判斷兩向量垂直的依據判斷兩向量垂直的依據) ) （3 3當當a a 與與b b 同向時，同向時，a b =| a | | b |a b =| a | | b |，當，當a a 與與b b 反向反向時，時， a b =

6、 -| a | | b | a b = -| a | | b | 特別地特別地22a aaaa或 4cosa ba b( a / b a b=|a| |b| )(5) a ba b例例2 ABC知知 中，中，CB= a ,CA= b ,a b0,5,3,5,2ADBCab為邊上的高，且 ADab求 與 的夾角。ABCD解：設解：設 與與 的夾角為的夾角為 ab1sin2ADADACb又0a bcos0a ba b為鈍角則可作圖如右：BCA即：為鈍角150o0,（1在四邊形在四邊形ABCD中，中，AB BC=0，且，且AB=DC則四邊形則四邊形ABCD是（是（ ）A 梯形梯形 B 菱形菱形 C

7、矩形矩形 D 正方形正方形（3在在 中，知中，知|AB|=|AC|=1，且，且ABCAB AC= ，則這個三角形的形狀是，則這個三角形的形狀是12C1等邊三角形等邊三角形（2已知向量已知向量 a , b 共線，且共線，且 |a| =2|b|則則a與與b間的夾角的余弦值是間的夾角的余弦值是 ?？偨Y提煉總結提煉1、向量的數量積的物理模型是力的做功；、向量的數量積的物理模型是力的做功； 4、兩向量的夾角范圍是、兩向量的夾角范圍是0, 5、掌握五條重要性質：、掌握五條重要性質：平面向量的數量積的幾何意義是平面向量的數量積的幾何意義是: a 的長度的長度 |a|與與 b 在在 a 的方向的方向 上的數量

8、上的數量 |b|cos 的乘積的乘積2、a b的結果是一個實數，它是標量不是向量。的結果是一個實數，它是標量不是向量。3、利用、利用 a b= |a| |b|cos 可求兩向量的夾角，可求兩向量的夾角， 尤其尤其 是判定垂直。是判定垂直。判斷下列各題是否正確：判斷下列各題是否正確：（2）、假設 ， ，那么0a 0a b0b （3）、假設 ， ，那么0a a bbcac(1)、假設 ，則任一向量 ，有0a b0a b（4）、/a ba bab分配律的證明：aAcBCb1AB1Oabc ().abca cb c r rr rr rr r r rr r r r 在實數中，有在實數中，有(ab)c =

9、 a(bc)，向，向量中是否也有量中是否也有 ? 為什么為什么?答：沒有答：沒有.()()a bcab c 因為右端是與因為右端是與 共線的向量，而共線的向量，而左端是與左端是與 共線的向量，但一般共線的向量，但一般 與與 不共線不共線 a c c a 所以，向量的數量積不滿足結合律所以，向量的數量積不滿足結合律所以，向量的數量積不滿足消去律所以，向量的數量積不滿足消去律 在實數中，若在實數中，若ab = ac且且a 0，則，則b = c向量中是否也有向量中是否也有“假設假設 ，那么那么 ”成立呢成立呢 ? 為什么為什么?(0)a ba c a bc OababABC222(1) ()2;ab

10、aa bb 22(2) ().ababab （2(1) () ()ababab （)()abaabb （22ab aa bb (2) ()()()abababaabb （例例1 求證：求證：證明：證明：22ab aa bb 22.ab 222.aa bb 2221(3)(|()| ).2a babab (3) 與與 所成角的余弦值所成角的余弦值 例例2 知知| | = 6，| | = 4， 與與 的的夾角為夾角為60，求：，求：a b 解：解：(1)b a (1) (2 ) (3 );abab ab (2 ) (3 )abab 6a aa bb b 22|6 |aa bb 22664cos60

11、64 = 72.a |ab (2)222|2abaa bb (2)226264cos604 = 76.|2 19.ab abba bbabba )(cos 則則( )abba bb b 287 19 cos.382 194 2|cos60|28,abb 注：與多項式求值一樣，先化簡，注：與多項式求值一樣，先化簡，再代入求值再代入求值(2): bab 如如圖圖設設與與的的夾夾角角為為(3) 例例3 知知| | = 3, | | = 4, 且且 與與 不共線不共線, 當且僅當當且僅當k為何值時為何值時, 向量向量 +k與與 k 互相垂直互相垂直?a b a b a b a b () ()0,akbakbakbakb與與互互相相垂垂直直的的充充要要件件是是22229,16,aabb29160k ，.akbakb 3 3所所以以當當且且僅僅當當k k= =時時，與與互互相相垂垂直直4 4解：解：2220,ak b 即即3.4k 解解得得 1. 小結：小結： 2. 向量運算不能照搬實數運算律，向量運算不能照搬實數運算律，交換律、數乘結合律、分配率成立；交換律、數乘結合律、分配率成立；向量結合律、消去律不成立。向量結合律、消去律不成立。 3