第二章定解問題

1、第二章第二章 定解問題定解問題主要內(nèi)容主要內(nèi)容： 1、掌握用數(shù)理方程描繪研究物理問題的一般步掌握用數(shù)理方程描繪研究物理問題的一般步驟。驟。2、掌握三類典型數(shù)理方程的推導過程和建立、掌握三類典型數(shù)理方程的推導過程和建立（導出）數(shù)理方程的一般方法，步驟。（導出）數(shù)理方程的一般方法，步驟。3、正確寫出一些典型物理問題的定解問題和定、正確寫出一些典型物理問題的定解問題和定解條件。解條件。 2.1 引言引言一、數(shù)學物理方程簡介：一、數(shù)學物理方程簡介： 數(shù)學物理方程是指從物理問題中導出的反映客觀物理量在各個空間、時刻之間相互制約關系的一些偏微分方程。方程可以分為線性和非線性方程。偏微分方程的基本概念：偏微

2、分方程的基本概念： 12121212( , ,)0nmnmmmnnuuuuF x xx uxxxxxxLLLL注意：（1）方程的階數(shù)（2）線性和非線性 例如：（3）齊次和非齊次 齊次：2222( , )( , )( , )( , )uuA x yB x yC x y uf x yxy12nmmmmL( , )0f x y 以上這三類方程，從方程本身來看，其特點是二階線性偏微分方程。可以看出，以上這三類方程，從方程本身來看，其特點是二階線性偏微分方程?？梢钥闯?，方程中它們都是關于空間的二階偏導數(shù)，關于時間分別是二階，一階偏導數(shù)和與方程中它們都是關于空間的二階偏導數(shù)，關于時間分別是二階，一階偏導數(shù)

3、和與時間無關。因此，這三類方程在數(shù)學上又是三類不同的方程，依次分別可以稱為時間無關。因此，這三類方程在數(shù)學上又是三類不同的方程，依次分別可以稱為雙曲型、拋物型和橢圓型方程雙曲型、拋物型和橢圓型方程。 發(fā)展史發(fā)展史:(1)十八世紀初：十八世紀初：Taylor: (2)十九世紀中期，三類數(shù)理方程：十九世紀中期，三類數(shù)理方程：2ttxxua uf2ttuauf tuD uf uh 波動方程波動方程 輸運方程輸運方程（熱傳導和擴散） 穩(wěn)定場方程穩(wěn)定場方程（勢場分布、平衡溫度場分布） （3）十九世紀末到二十世紀初，其他方程：）十九世紀末到二十世紀初，其他方程：高階方程：高階方程：非線性方程：非線性方程：

4、淺水溝淺水溝等離子體等離子體薛定諤方程：薛定諤方程：2( , )ttxxxxua uf x t:0txxxxKDV uuuu2( )2iU r 二、數(shù)學物理方程的一般性問題二、數(shù)學物理方程的一般性問題: （利用數(shù)理方程求解問題的一般步驟）（利用數(shù)理方程求解問題的一般步驟）（1）確定定解問題。）確定定解問題。泛定方程泛定方程+定解條件定解條件=定解問題定解問題（2）定解問題的求解:行波法；分離變量法；積分變換法；格林函數(shù)法；保角變換法。（3）解的適定性。適定性適定性：即存在性存在性、唯一性唯一性和穩(wěn)定性穩(wěn)定性。 2.2 三類數(shù)理方程的導出一、弦的橫振動方程（波動方程的建立）一、弦的橫振動方程（波

5、動方程的建立）1、物理模型：、物理模型：設有一根細長柔軟的弦線，繃緊于設有一根細長柔軟的弦線，繃緊于A，B兩點之間，在平衡兩點之間，在平衡位置位置AB附近產(chǎn)生振幅極為微小的橫振動，求這弦上各點的附近產(chǎn)生振幅極為微小的橫振動，求這弦上各點的運動規(guī)律。運動規(guī)律。2、分析：、分析：（1）確定研究對象：設）確定研究對象：設 u(x,t) 為弦位移，則為弦位移，則u滿足規(guī)律所滿足規(guī)律所求。為了研究求。為了研究u，在，在x位置處取位置處取 x小段弦為研究對象。小段弦為研究對象。（2）物理問題的數(shù)學抽象：1）由于弦是“細長”的，所以 忽略重力 2）由于弦“繃緊”于AB兩點，這說明弦中各相鄰部分之間有拉力即“

6、張力”作用；由于弦是“柔軟”的，所以相鄰小段張力總是弦線的切線方向；3）由于弦作“微小”的橫向振動，故相鄰點沿振動方向位移的差別很小，即 ( , )x tt| |1xuux2xu 無窮小量 有了以上對問題的數(shù)學描述，下邊我們有了以上對問題的數(shù)學描述，下邊我們來具體推導方程來具體推導方程 1(, )F xx tx3、研究建立方程：、研究建立方程：（1）任意段）任意段 x受力：受力：x軸方向軸方向: Y軸方向：11cosT22cosT11sinT22sinTF為單位長度所受的外力 1 221coscosTT 對對 x受力分析，受力分析，由牛頓第二定律由牛頓第二定律 得得221112sinsin(,

7、 ) ()(, )ttTTF xx txx uxx t 2(1) 注意到在振動過程中注意到在振動過程中 2121()xxxxxxxM Mudxdxx 即這一小段的長度在振動過程中可以看作是不變的。因此，即這一小段的長度在振動過程中可以看作是不變的。因此，由胡克由胡克(Hooke)定律知張力和線度都不隨定律知張力和線度都不隨 t 而變，即而變，即 ( , )( )T x tT x( ) t注意到注意到22tansintan1xxxuuu 1sin( , )xux t 2sin(, )xuxx t 211cos1 sin1 222cos1 sin1 得：得：12TTT221coscosTT 21(

8、)(, )(, )(, )( , )ttxxx uxx tF xx tx T u xx tu x t 221112sinsin(, ) ()(, )ttTTF xx txx uxx t 12(, )( , )(, )(, )xxttuxx tux tF xx tTuxx tx 2( , )ttxxua uf x t對上式兩邊取對上式兩邊取 x0 時的極限時的極限 即：弦的微小橫振動方程是一維的波動方程即：弦的微小橫振動方程是一維的波動方程 整理得整理得2Ta 其中：其中：( , )( , )F x tf x t 表示振動在弦上的傳播速度表示振動在弦上的傳播速度 表示力密度，表示時刻表示力密度，

9、表示時刻t，作用于，作用于x處處的單位質(zhì)量上的橫向外力。的單位質(zhì)量上的橫向外力。 0f 2ttxxua u若若 稱為弦的自由振動，振動過程中不受外力。稱為弦的自由振動，振動過程中不受外力。齊次波動方程齊次波動方程事實上，除了以上一維波動方程，像薄膜振動（二維），電事實上，除了以上一維波動方程，像薄膜振動（二維），電磁場方程（三維）等，均屬于波動方程：磁場方程（三維）等，均屬于波動方程：2( , , )ttuauf x y t 2222xxyyuuuuxy 222()ttxxyyzzuaua uuu2222222xyz 三維拉普拉斯算符三維拉普拉斯算符補例：電磁場方程（三維波動方補例：電磁場方程

10、（三維波動方程）程）已知：電磁場的麥克斯韋方程組的微分形式是已知：電磁場的麥克斯韋方程組的微分形式是 (1) (2)0 (3) (4)ttDBBHjD DEBHjE求解：電磁場所滿足的三維波動方程求解：電磁場所滿足的三維波動方程 。由（4）式，并注意本構關系1、3：()t HE()t HHH由（2）式，并注意本構關系2：又由矢量公式2()() HHH10HB得H所滿足的方程為： 2ttt HHH同理得E所滿足的方程為： 2ttt EEE如果介質(zhì)不導電 211ttHHH211ttEEE電磁場所滿足的三維波動方程 二、熱傳導方程二、熱傳導方程1.定解問題：設有一根橫截面積為的均勻細桿，沿桿長方向定

11、解問題：設有一根橫截面積為的均勻細桿，沿桿長方向有溫度差，其側面絕熱，求桿中溫度的分布變化規(guī)律有溫度差，其側面絕熱，求桿中溫度的分布變化規(guī)律 ？不妨取x軸與桿重合，根據(jù)問題的物理敘述，利用熱傳導的相關定律，可以做以下的數(shù)學表述： 因為熱量只會沿著桿長方向傳導，所以，這是一個一維問題。因為熱量只會沿著桿長方向傳導，所以，這是一個一維問題?？梢杂每梢杂?u(x,t) 表示桿上表示桿上 x 點處在點處在 t 時刻的溫度。時刻的溫度。 相關定義：Q熱量；T溫度；t時間；V體積；S面積；密度。（1）比熱容比熱容（單位物質(zhì)升高單位溫度所需熱量） （2）熱流強度熱流強度（單位時間內(nèi)垂直通過單位面積的熱量）（

12、3）熱源強度（ 單位時間內(nèi)單位體積源放出的熱量）QuktSn qnQcVTQFtV（k為熱導率熱導率，與介質(zhì)材料有關 ）3、建立方程：（1）在t時間內(nèi)引起小段x的溫度升高時，所需熱量為 () ( ,)( , )QcA x u x ttu x t 取0t tQc Aux t （2）在t時間內(nèi)沿x軸正向流入流入x處截面的熱量為 1( )( , )xQ xkux t A t （3）在t時間內(nèi)沿x軸由x +x處正向流出流出截面的熱量為 2()(, )xQ xxkuxx t A t （4）在t內(nèi)，桿內(nèi)熱源在x段產(chǎn)生的熱量為 3( , )()QF x tA x A t根據(jù)能量守恒定律 123QQQQ( ,

13、 )(, )txxc Aux tkux t A tkuxx t A tFA x t ( ,)( , )xxtk ux xxux tc uFx令， 0 x 取極限txxkFuucc( , )txxuDuf x t一維的熱傳導方程，類似可得三維擴散、熱傳導方程：2tuauf 三、穩(wěn)定場方程（泊松公式）三、穩(wěn)定場方程（泊松公式）1、定解問題：、定解問題：在充滿介電常數(shù)在充滿介電常數(shù)的介質(zhì)區(qū)域中，的介質(zhì)區(qū)域中，有體密度為有體密度為( (x,y,zx,y,z) )的電荷分布，試研究這個區(qū)域的電荷分布，試研究這個區(qū)域中的靜電場的分布特性。中的靜電場的分布特性。 2、分析：、分析：因為靜電場是有勢場，勢函數(shù)

14、因為靜電場是有勢場，勢函數(shù)V滿足滿足所以，研究電場分布特性只需確定所以，研究電場分布特性只需確定勢函數(shù)的規(guī)律即可。勢函數(shù)的規(guī)律即可。所以，確定研究對象為所以，確定研究對象為 V(x,y,z)已知：穩(wěn)定場不隨時間變化，已知：穩(wěn)定場不隨時間變化，V E0, , ( , , )rDEx y z 3、建立方程：在研究的區(qū)域中，任作一封閉曲面S，其所包圍的空間區(qū)域為，則由介質(zhì)中靜電場中的高斯定理，得 1sdd ESsdd ESE把面積分化為體積分：把面積分化為體積分： 因此 1E由E/V關系和矢量場運算得 1V 這就是介質(zhì)中的靜電場滿足的泊松方程。這就是介質(zhì)中的靜電場滿足的泊松方程。 4、幾點說明：（1

15、）如果我們所討論的區(qū)域中無電荷，得拉普拉斯方程 ：（2）穩(wěn)定的濃度分布和溫度場方程：可由0Vt22t2200ttuaufaufuauau 與 無關與 無關（有源，泊松方程）（無源，拉普拉斯方程）建立數(shù)理方程一般的三個步驟：建立數(shù)理方程一般的三個步驟：（1）對所研究的問題做數(shù)學抽象表述，從所）對所研究的問題做數(shù)學抽象表述，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，即研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，即微元作為研究微元作為研究對象對象，分析相鄰部分與這一小微元的相互作用；，分析相鄰部分與這一小微元的相互作用；（2）根據(jù)相關領域中的）根據(jù)相關領域中的物理學的規(guī)律物理學的規(guī)律（如前（如前面所用的牛頓第二定律、能量守恒定律

16、、高斯面所用的牛頓第二定律、能量守恒定律、高斯定律等），以數(shù)學表達對微元的這種作用關系；定律等），以數(shù)學表達對微元的這種作用關系；（3）化簡、整理，取相應的極限過程化簡、整理，取相應的極限過程，得到，得到數(shù)學物理方程。數(shù)學物理方程。 作業(yè)作業(yè) 122,( , , , )()1tttxxtttxxucua ucucubua ubF x y z tNernstd在弦的橫振動問題中，若弦受到一個與速度成正比的阻尼，試導出弦的阻力振動方程為：其中， 是常數(shù)。又考慮回復力與弦的位移成正比時的情形，證明這時所得到的數(shù)理方程為：其中 是常數(shù)，此方程稱為電報方程。 設擴散物質(zhì)的源強為單位體積內(nèi)，在單位時間所產(chǎn)

17、生的擴散物質(zhì)），試根據(jù)能斯特（定律（通過題2：界面題 ：流) , tD u duD uFD 出的擴散物質(zhì)為-和能量守恒定律導出擴散方程：其中 為擴散系數(shù)。2222 01 ,01. 4,3ttttttttxxttxxMaxwellEEHcHHEcEcEHcHVa VIa IVI 真空中電磁場的方程組微分形式試由該方程導出電磁波方程：導出理想傳輸線的電報方程其中， 和 分別是理想傳輸線上的電題 ：題 ：壓和電流21,aCLCL，和 分別是單位長度上的電容和電感。2.3 定解條件一、引入定解條件的必要性：一、引入定解條件的必要性：1、從物理角度看：物理方程僅能表示一般、從物理角度看：物理方程僅能表示

18、一般性，要個性化物體的規(guī)律需要附加條件。性，要個性化物體的規(guī)律需要附加條件。2、從數(shù)學角度看：微分方程的解的任意性、從數(shù)學角度看：微分方程的解的任意性需要附加定解條件來具體化。需要附加定解條件來具體化。3、定解條件包括：、定解條件包括：初始條件和邊界條件初始條件和邊界條件。二、初始條件二、初始條件 從數(shù)學角度看，對于一個含有時間變量的微分方程，其未知函數(shù)將隨時間的不同而不同。所以必須考慮到研究對象的某個所謂“初始”時刻的狀態(tài)，我們把這個物理過程的初始狀態(tài)的數(shù)學表達式稱為初始條件初始條件。 例如：波動方程的初始條件：給出弦上各點在開始振動時刻的初始位移： 給出弦上各點的初始速度初始速度： 0(

19、, , ; )( , , )tu x y z tx y z 0( , , ; )( , , )ttu x y z tx y z2、注意：（1）初始條件應該給出整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個別地點的初始狀態(tài)：例如：兩端固定的弦振動，初始條件為： 022, 0( , )2(), 2thxlllu x thllxxll 0( , )0ttu x t（2）如果泛定方程是關于時間變量 t 的 n 階(n=1,2)方程，就必須給出 n 個初始條件，只有這樣才可能給出具體問題的定解。 例例 長為 l 的細桿導熱問題，設其初始溫度均勻，記為u0 ，試寫出該過程的初始條件。 解：由題意，得00( , )|

20、,(0)tu x tuxl三、邊界條件1、定義：由于泛定方程中的未知函數(shù)均是空間位置的函數(shù)，必須考慮研究對象所處的特定環(huán)境和邊界的物理狀況。這是因為所研究的物理量在某一位置與其相鄰位置的取值之間的關系，將會延伸到被研究的區(qū)域的邊界，與邊界狀況發(fā)生聯(lián)系。我們稱這個物理過程的邊界狀況的數(shù)學表達式為邊界條件邊界條件。 2、三類邊界條件：、三類邊界條件：（1）第一類邊界條件：）第一類邊界條件：又稱又稱狄利克萊（利，狄利克萊（利，Dirichlet）條件）條件，它直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值，即它直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值，即 (, )uf M t 邊例：長為 l 兩端固定的弦的橫振動問題： 0(

21、 , )0( , )0 xx lu x tu x t一維桿的熱傳導問題 ，已知：0( , )tx lu x tT ellx(, )P lx tFx（2）第二類邊界條件）第二類邊界條件：又稱為偌依曼（偌依曼（Neumann）條）條件件，它給出了未知函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)的值 (, )nuf M t 邊例例: 長為長為 l 的細桿的縱振動問題。的細桿的縱振動問題。若若 x=l 端受有外力，單位面積所端受有外力，單位面積所受的力為受的力為F(t)，另一端固定在墻上，另一端固定在墻上，試寫出在端的邊界條件。試寫出在端的邊界條件。 解：取一小微元x段為對象，由胡克（Hooke）定律，在 處 (, )xu

22、P lx tEAEAuxlx其中，E為楊氏模量，A為桿的橫截面積 所以，由牛頓第二定律得所以，由牛頓第二定律得 ttFAPA xu其中，為桿的體密度，utt為x小段加速度，取x 趨向零，得 FAP1( )xx luF tE即：若 x=l 端是自由的，即不受外力 (F=0) 0 xx lu（非齊次邊界）（齊次邊界）例例2 一維桿的導熱問題，若已知在一端 x=l 處流入的熱流強度為(t)，則在x=l處的邊界條件為: 1( )xx lutk( )x lqt 由熱流強度的定義式知 xqku （3）第三類邊界條件：）第三類邊界條件：又稱又稱混和邊界條件混和邊界條件，它給出了，它給出了未知函數(shù)和它的法線方

23、向上的導數(shù)的線性組合在邊界未知函數(shù)和它的法線方向上的導數(shù)的線性組合在邊界上的值，即上的值，即 ()(, )nuhuf M t 邊例例3. 如圖，在x=l 端受到彈性力 （K為彈簧的彈性系數(shù)）的作用時，試寫出 x=l 端的邊界條件。 ( )( , )F tKu l t llx(, )P lx tFx只需把 代入前邊公式( )( , )F tKu l t 1( )xx luF tE(0 xx lEuuK得例例4. 同樣是一維桿的導熱問題，若在 x=l 端自由冷卻，即在這個端點與周圍媒質(zhì)按牛頓冷卻定律牛頓冷卻定律（即物體冷卻時放出的熱量 -ku與物體外界的溫度差 成正比，其中為周圍媒質(zhì)的溫度。）交換

24、熱量，試寫出這個端點的邊界條件。 0 xuu邊解：根據(jù)牛頓冷卻定律，對于一維問題，在 x=l 端有0()x lx lukH uux其中，H為熱交換系數(shù)，因此，這個端點的邊界條件為 0()xx luhuukhHk導熱系數(shù)，3、其他邊值條件：、其他邊值條件：（1）銜接條件）銜接條件 在研究具有不同媒質(zhì)的問題中，方程在介質(zhì)的突變區(qū)域（即分層處由于介質(zhì)的不連續(xù)性）會失去意義，因此，除了邊界條件外，還需要增加在不同媒質(zhì)界面處的關聯(lián)性的數(shù)學表達，我們稱為銜接條件銜接條件。例1. 用兩根不同質(zhì)料的桿接成的一根桿的縱振動問題，在連接處位移相等，應力也相等，故在連接點x=x0 處位移 u 應滿足下列銜接條件:

25、0000121212x xx xx xx xuuuuEExxE為楊氏模量例2. 在靜電場問題里，兩種介質(zhì)的交界面，電勢 u 應當相等（連續(xù)），電位移矢量的法向分量也應當相等（連續(xù)），有銜接條件 121212ssssuuuunn （2）自然邊界條件）自然邊界條件不是由要研究的問題直接明確給出的，而是根據(jù)解的特定性加上去的定解條件，稱為自然邊界條件自然邊界條件。 例如，對于歐拉（Euler）方程 22(1)0 x yxyl ly它的通解是 (1)llyAxBx在區(qū)間0,a中，如 y 表示桿上的溫度，故存在自然邊界條件 0 xy有限lyAx此時：五、三類定解問題五、三類定解問題 1. 初值問題初值問題若定解