第二節(jié)換元積分法

1、第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法問題問題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一類換元法一、第一類換元法設(shè)設(shè))(uf具有原函數(shù)，具有原函數(shù)， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法湊微分法）)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式定理定理1 11 1()()()1( )nnnnnxf axb dxf axb axub dxnaf u dunaaxb 例例1 1 求求.2sin

2、 xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2 2 求求.231dxx 例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 例例4 4 求求.25812dxxx 例例5 5 求求.11dxex 例例6 6 求求.)11(12dxexxx 例例7 7 求求tan.xdx tanln|cos|xdxxC 類似地，類似地，cotln|sin|xdxxC 例例8 8 求

3、求.cos11 dxx例例9 9 求求.cossin52 xdxx例例1010 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例1111 求求.csc xdx.)cotln(cscCxx 解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 類似地可推出類似地可推出sec

4、ln(sectan.)xdxxxC 解解例例1212 設(shè)設(shè) 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 例例1313 求求4sec.xdx 例例1414 求求33tansec.xxdx 小結(jié)小結(jié) 常用簡化技巧:(1) 分項積分:(2) 降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx萬能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnx

5、xfnd)(11利用積化和差; 分式分項;利用倍角公式 , 如問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）二、第二類換元法二、第二類換元法其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，( )( ) ( )( )txf x dxftt dt 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又設(shè)又設(shè))()(ttf 具

6、有原函數(shù)，具有原函數(shù)，定理定理2 2第二類積分換元公式第二類積分換元公式例例1515 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx ).0(122 adxax例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )ta

7、nln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t).0(122 adxax例例1717 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例1818 求求.)1(13dxxx 例例1919 求求.11dxex 例例2020 求求dxxx

8、 )2(17例例2121 求求.1124dxxx 基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 小結(jié)小結(jié):1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln2. 常用基本積分公式的補充 (P20