第二章分離變量法非齊次邊界

1、2.5 2.5 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理 處理非齊次邊界條件問題的基本原則基本原則是: 選取一個(gè)輔助函數(shù) , 通過函數(shù)之間的代換: 使得對(duì)新的未知函數(shù) 邊界條件為齊次的. ,w x t,u xtv xtw xt,v x t例1振動(dòng)問題 )()()()(),(002102xuxutututxfuautttlxxxxtt（I） 解：)()(,tBxtAtxw取 txltttxw112)()(,故要求滿足(I)的邊界條件，即)()()()()(0)(21ttBltAttBtA 解得 ttBltttA112)()()()( 思路: 作代換 ,( , )( , )u x tv x tw

2、x t 選取w(x,t)使v(x,t)的邊界條件化為齊次代入(I)，得 的定解問題(II) ,v x t令 ,( , )( , )v x tu x tw x t2121001210121( )( )( )|0,|0|( )( )( )( )( )|( )( )( )( )( )ttxxxx lttxva vtttlvvxvxtttxlxvxtttxl ),(txf000000),(txf如果仍取 的線性函數(shù)作為 ，則有 xw 120,xxxxlwA ttwA tt 此時(shí)除非 ，否則這兩式互相矛盾。 tt21 2,w x tA t xB t x )(10tuxx )(2tulxx 當(dāng)x0和x=

3、=l 滿足第二類邊界條件注意：應(yīng)取例 定解問題22222000, 0,0;|0,|;|0,|0 xx lttuuaAxlttxuuBuut 其中A, B為常數(shù). ,u x tv x tw x 解:令2( )ttxxva vwxA 代入方程，得 選 滿足 xw 200|0,|xx la wxAwwB 它的解為 22222AAlBw xxxaal 于是 滿足的方程為： txv, 22222000, 0,0;|0,|0;|,|0 xx lttvvaxlttxvvvvw xt 利用分離變量法，求解得 1,(cossin)sinnnnnananv x tCtDtxlllnBnaAlnnaAlCncos2

4、222223322其中從而，原定解問題的解為 2221,cossin22nnAAlBnanu x txxCtxaalll 0.nD 一. 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 原則:邊界條件的表達(dá)式最簡單.二. 若邊界條件是非齊次的, 引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的。三. 對(duì)于齊次邊界條件、非齊次方程的定解問題，可將問題分解為兩個(gè), 其 一是方程齊次, 并具有原定解條件的定解問題 (分離變量法)； 其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題(特征函數(shù)法).一般的定解問題的解法一般的定解問題的解法22222000sin, 0,0;|0,|;|0,|0 x xx x ltt tuuaAtxl ttxuuBuu例

5、例 求下列定解問題的解求下列定解問題的解其中其中 為常數(shù)。為常數(shù)。, ,A B解解 1 1）邊界條件齊次化，令）邊界條件齊次化，令 ,u x tU x tG x t2,2BG x txl于是 滿足如下定解問題( , )U x t2222220200sin, 0,0;|0,|0;|,|02xxxx ltt tUUa BaAtxlttxlUUBUxUl 2）將問題分解為兩個(gè)定解問題。設(shè),U x tV x tW x t非齊次方程非齊次方程齊次邊界條件齊次邊界條件定解問題定解問題022222002sin, 0,0;( )|0,|0|0;|0,xxxx ltt tVVa BaAtxlttxlIIVVVV

6、滿足定解問題( , )V x t其中( , )W x t滿足定解問題222022002, 0,0;( )|0,|0;|,|02xxxx ltt txltIWWWWaBWxWtxl 3）求解問題 (I), (II) 。首先，利用分離變量法求解問題 (I) 。222lnn ,cos,nnnXxAxl1, 2,n cos sinnnnananT tCtDtll 000T tCD t 將 疊加，利用初始條件確定系數(shù)( , )nW x t01,(cossin)cos2nnnCanannW x tCtDtxlll計(jì)算得0,0,1,2nDn200212202,2312cos( 1),2(1,2,)llnnB

7、BlCx dxllBnBlCxxdxlllnn 其次，利用特征函數(shù)法求解問題 (II) 。 01,( )cosnnnV x tv tvtxl2021cosnnVnvvxtl222221cosnnVnnvxxll 由于代入問題（II）的方程及初始條件，得 2201cossinnnnnana Bvtvtv txAtlll(0)0, (0)0,(0,1,2,)nnvvn比較系數(shù) 2000sin(0)0, (0)0,a BvtAtlvv 20;00, 00nnnnnavtvtlvv解得220sin( )(),2( )0,(1,2,)nAta Bv tttlv tn所以，0( , )( ).V x tv

8、 t4）綜合上述結(jié)果, 得到原問題的解( , ).u x t( , )( , )( , )( , ),u x tG x tV x tW x t2221221sin( , )()222()( 1)coscos6nnBAta Bu x txttllBlBlnantxnll如對(duì)非齊次邊界條件振動(dòng)問題 )()()()(),(002102xuxutututxfuautttlxxxxtt txltttxw112)()(,取,令 ,( , )( , )v x tu x tw x t2000( , )|0,|0|( ), |( )ttxxxx lttva vf x tvvvx vx 則 )()(000),(0002xuxuuulxtxfuautttlxxxxtt (I)(I) 如對(duì)非齊次振動(dòng)方程定解問題如對(duì)非齊次振動(dòng)方程定解問題22222000( , )|0|0,|0 xxlttV