第四章力系的平衡

1、 平面一般力系可以簡(jiǎn)化為主矢量和主矩。由于一個(gè)力不平面一般力系可以簡(jiǎn)化為主矢量和主矩。由于一個(gè)力不能與一個(gè)力偶平衡，因此，能與一個(gè)力偶平衡，因此，：即即 22xyo0F+F=00MF =0ROM F O000 xyzFFMMFF所有力在x和y軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。各力對(duì)任意一點(diǎn)O之矩的代數(shù)和等于零。投影方程力矩方程 yAB0000 xFFMMFF 或條件：條件：但但A，B兩矩心連線不能垂直于所選投兩矩心連線不能垂直于所選投 影軸（影軸（x軸）軸）二矩式平衡方程所有力在x軸或y軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。各力對(duì)任意一點(diǎn)A和B之矩的代數(shù)和等于零。投影方程力矩方程 0)(00BAFFFCM

2、MM條件：條件：其中其中，A，B，C三點(diǎn)不能共直線。三點(diǎn)不能共直線。三矩式平衡方程各力對(duì)任意一點(diǎn)A、B和C之矩的代數(shù)和等于零。力矩方程 對(duì)于平面一般力系，無論選擇哪種形式的平衡方對(duì)于平面一般力系，無論選擇哪種形式的平衡方程，都只能列出獨(dú)立的三個(gè)方程，故只能求出三個(gè)程，都只能列出獨(dú)立的三個(gè)方程，故只能求出三個(gè)未知量。未知量。說明：說明： 各各力作用線位于同一平面內(nèi)且互相平行的力系，稱為平面力作用線位于同一平面內(nèi)且互相平行的力系，稱為平面平行力系。平行力系。 如力在如力在 x 軸上的投影均恒等于零，平面平行力系只有兩個(gè)軸上的投影均恒等于零，平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立方程。獨(dú)立方程。0)(00FMFy

3、 00BAFFMMA，B連線不能與連線不能與各力平行。各力平行。() ()22 0=0FFxyR=+邋F00 xyFF 平面匯交力系各力作用線交于一點(diǎn)，可以合成為一個(gè)平面匯交力系各力作用線交于一點(diǎn)，可以合成為一個(gè)合力，因此，合力，因此，即即所有力在x和y軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。投影方程 00BAFFMM其中力系匯交點(diǎn)其中力系匯交點(diǎn)O與與兩矩心兩矩心A，B不得共直線。不得共直線。 00AFMFx 其中力系匯交點(diǎn)其中力系匯交點(diǎn)O與矩心與矩心A點(diǎn)的連線不得點(diǎn)的連線不得垂直于垂直于x軸。軸。解：解： 1）解除簡(jiǎn)支剛架解除簡(jiǎn)支剛架A、B處的約束，取分離處的約束，取分離體體ACB，并畫出受力，并畫出

4、受力圖；圖； 2）選取合適的坐標(biāo)選取合適的坐標(biāo)軸；軸；aaC(a)(b)ABDDCABxyFAFFFB圖4-1 試求例試求例2.2所示簡(jiǎn)支剛架的所示簡(jiǎn)支剛架的A、B支座反力，已知作用于支座反力，已知作用于剛架剛架C點(diǎn)一集中力點(diǎn)一集中力F。剛架的尺寸如圖。剛架的尺寸如圖4-1（a）所示。）所示。 yB0:cos45020:sin45022xoAAoABAFFFFFFFFFFF3）建立平衡方程并求解：建立平衡方程并求解：aaC(a)(b)ABDDCABxyFAFFFB圖 4-1所求得的所求得的FA為負(fù)值，說明為負(fù)值，說明FA的方向應(yīng)該指向左下方。的方向應(yīng)該指向左下方。說明：說明：m0 平面力偶系可

5、以合成為一個(gè)合力偶，平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，。 因此，平面力偶系平衡的因此，平面力偶系平衡的必要與充分條件必要與充分條件是力偶系的是力偶系的合力偶之矩為零，即合力偶之矩為零，即力偶系所有力偶的合力偶之矩為零。力偶矩方程平面力偶系的平衡方程AB圖4-2(a)(b)lBAFFmBAm2112mm 如圖所示簡(jiǎn)支梁如圖所示簡(jiǎn)支梁AB，A端為固定鉸支座約束，端為固定鉸支座約束，B端為可端為可動(dòng)鉸支座約束。在梁上作用了矩為動(dòng)鉸支座約束。在梁上作用了矩為m1=10kNm和和m2=20kNm的兩個(gè)力偶，梁的跨度的兩個(gè)力偶，梁的跨度l=5m，=30o，試求梁，試求梁A、B支座支座的反力。的反力。解：解：

6、 1）取取AB梁作為研究對(duì)象，梁作為研究對(duì)象，分析受力并畫出受力圖；分析受力并畫出受力圖； 2）建立力偶系的平衡方程建立力偶系的平衡方程并求解：并求解：o12AAB21o0:cos30 50 =5cos304 3 kN3mmmFFFmm AB圖4-2(a)(b)lBAFFmBAm2112mmABF圖4-3(a)CqD2m1m1m 如圖所示簡(jiǎn)支梁，如圖所示簡(jiǎn)支梁，A處固定鉸支座約束，處固定鉸支座約束，B處可動(dòng)鉸支座處可動(dòng)鉸支座約束。在約束。在AC段作用了荷載集度為段作用了荷載集度為q=5kN/m的均布荷載，在的均布荷載，在D點(diǎn)處作用一集中力點(diǎn)處作用一集中力F=10kN，=60o，各尺寸如圖，各尺

7、寸如圖4-3（a）所）所示。試求示。試求A、B支座的約束反力。支座的約束反力。yxABFFF圖 4-3(b)CFqDABA 0:cos32 10132 120kN2ABBMFFqFFq F解：解： 1）解除簡(jiǎn)支梁解除簡(jiǎn)支梁A、B處的約處的約束，取分離體束，取分離體ACB，并畫出，并畫出受力圖；受力圖； 2）選取合適的坐標(biāo)軸及矩選取合適的坐標(biāo)軸及矩心；心； 3）建立平衡方程，并求解：建立平衡方程，并求解： yxABFFF圖4-3(b)CFqDABA0:sin0sin10 3kN0:cos202coskxAxBAxByAyBAyBFFFFFFFFqFFFqF 20kNBF 1). 1). 選取研究

8、對(duì)象，取分離體，畫受力圖。選取研究對(duì)象，取分離體，畫受力圖。2). 2). 根據(jù)受力圖中力系的特點(diǎn)，靈活地選取投影軸和根據(jù)受力圖中力系的特點(diǎn)，靈活地選取投影軸和 矩心或矩軸。矩心或矩軸。（1 1） 使盡可能多的未知力與投影軸垂直；使盡可能多的未知力與投影軸垂直；（2 2） 使盡可能多的未知力作用線通過矩心或使盡可使盡可能多的未知力作用線通過矩心或使盡可能多的未知力與矩軸共面，以求做到列出一個(gè)平衡方能多的未知力與矩軸共面，以求做到列出一個(gè)平衡方程，就能求解一個(gè)未知量，避免解聯(lián)立方程。程，就能求解一個(gè)未知量，避免解聯(lián)立方程。3). 3). 列平衡方程解出所需的未知量。列平衡方程解出所需的未知量。圖

9、示圖示為一管道支架，其上擱有管道，設(shè)每一支架為一管道支架，其上擱有管道，設(shè)每一支架所所承受的管重承受的管重G1=12kN，G27kN，且架重不計(jì)。且架重不計(jì)。求求: : 支座支座A和和C處的約束反力，尺寸如圖所示。處的約束反力，尺寸如圖所示。030cm30cmFFFGG解：解： 1）以支架連同管道一起以支架連同管道一起作為研究對(duì)象受力分析；作為研究對(duì)象受力分析； 2）選取合適的坐標(biāo)軸及選取合適的坐標(biāo)軸及矩心；矩心； 3）建立平衡方程，并求建立平衡方程，并求解：解： AC12C120cos3060tan3030600226 NooMFGGFGGk F030cm30cmFFFGGACAC0cos3

10、00cos3022.5 NxoxoxFFFFFk 0AyC12A12C0sin300sin306 NyoyFFFGGFGGFk 030cm30cmFFFGG0yFA1A6030 06 NyyFGFk 0DFM棄去而代之以棄去而代之以: :030cm30cmFFFGG采用二矩式平衡方程解采用二矩式平衡方程解: :將平衡方程將平衡方程保留平衡方程保留平衡方程: :AD00MMFF030cm30cmFFFGG再列出平衡方程：再列出平衡方程： CA1212Ao0:60tan3030600222.5 N2tan30oxxMFGGGGFkF 試求圖示懸臂梁固定支座A的約束反力。梁上受集中力F和線荷載作用，

11、線荷載最大集度為qA，梁長(zhǎng)度為l。 Aolx600MAxAyFFqAF010:cos6002xAxAxFFFFF解：解： 1）以懸臂梁作為研究對(duì)象以懸臂梁作為研究對(duì)象受力分析；受力分析； 2）選取合適的坐標(biāo)軸及矩選取合適的坐標(biāo)軸及矩心；心； 3）建立平衡方程，并求解：建立平衡方程，并求解： 021( )0:sin600233126AAAAAlMMFlq lMFlq l F選選A為矩心建立力矩方程為矩心建立力矩方程 Aolx600MAxAyFFqAF00 :1sin 60023122yAyAAyAFFFq lFFq l 由若干個(gè)物體借助某些約束方式連接而成的系統(tǒng)。由若干個(gè)物體借助某些約束方式連接

12、而成的系統(tǒng)。 外約束：物體系統(tǒng)受到外界物體的約束。外約束：物體系統(tǒng)受到外界物體的約束。 內(nèi)約束：物體系統(tǒng)內(nèi)，各個(gè)物體的相互聯(lián)系。內(nèi)約束：物體系統(tǒng)內(nèi)，各個(gè)物體的相互聯(lián)系。 外力：系統(tǒng)以外的物體作用于系統(tǒng)的力稱為該系統(tǒng)外力：系統(tǒng)以外的物體作用于系統(tǒng)的力稱為該系統(tǒng) 的外力。的外力。 內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體間的相互作用稱為內(nèi)力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體間的相互作用稱為內(nèi)力。 物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成物體系統(tǒng)的每個(gè)物體物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成物體系統(tǒng)的每個(gè)物體也處于平衡。也處于平衡。 若物體系統(tǒng)由個(gè)物體組成，則對(duì)于平面一若物體系統(tǒng)由個(gè)物體組成，則對(duì)于平面一般力系：般力系： 有個(gè)獨(dú)立的平衡方程有個(gè)獨(dú)立的平衡方程 可以求

13、解可以求解3個(gè)未知數(shù)。個(gè)未知數(shù)。 每對(duì)內(nèi)力均為平衡力，在研究物體系統(tǒng)的平衡每對(duì)內(nèi)力均為平衡力，在研究物體系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，內(nèi)力不應(yīng)出現(xiàn)在受力圖和平衡方程中。問題時(shí)，內(nèi)力不應(yīng)出現(xiàn)在受力圖和平衡方程中。注意：注意： 按構(gòu)造特點(diǎn)與荷載傳遞規(guī)律可將物體系統(tǒng)分為：按構(gòu)造特點(diǎn)與荷載傳遞規(guī)律可將物體系統(tǒng)分為： 主要部分（基本部分）：是指能獨(dú)立承受荷載主要部分（基本部分）：是指能獨(dú)立承受荷載并維持平衡的部分。并維持平衡的部分。 次要部分（附屬部分）：是指必須依賴于主要次要部分（附屬部分）：是指必須依賴于主要部分才能承受荷載并維持平衡的部分。部分才能承受荷載并維持平衡的部分。 Fq有主次之分的物體系統(tǒng)有主次之分

14、的物體系統(tǒng)CFDE(1)ABFCF(2)HEAFDBq有主次之分的物體系統(tǒng)有主次之分的物體系統(tǒng)有主次之分的物體系統(tǒng)有主次之分的物體系統(tǒng)qEDCAACBBABF(3)(4)Aq(b)CBqDEACDE(a)BqFFFF 作用在主要部分上的荷載，不傳遞給次要部分，作用在主要部分上的荷載，不傳遞給次要部分，也不傳遞給與它無關(guān)的其他主要部分；也不傳遞給與它無關(guān)的其他主要部分； 作用在次要部分上的荷載，一定要傳遞給與它作用在次要部分上的荷載，一定要傳遞給與它相關(guān)的部分。相關(guān)的部分。 研究有主次之分的物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，應(yīng)先分研究有主次之分的物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，應(yīng)先分析次要部分，后分析主要部分或整體。析次要部

15、分，后分析主要部分或整體。 CACBBAqFGFABCAGCDEqqBFED 作用在某部分上的荷載，一般要通過與其相互作用在某部分上的荷載，一般要通過與其相互連接的約束，依次傳遞到其他部分上，引起相關(guān)約連接的約束，依次傳遞到其他部分上，引起相關(guān)約束的約束反力。束的約束反力。 ：沒有被完全約束住，而能實(shí)現(xiàn)既定：沒有被完全約束住，而能實(shí)現(xiàn)既定運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)的物體系統(tǒng)稱為運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)。物體系統(tǒng)稱為運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)。這類物體系統(tǒng)，只有當(dāng)作用于其上的主動(dòng)力之這類物體系統(tǒng)，只有當(dāng)作用于其上的主動(dòng)力之間間滿足一定滿足一定關(guān)系時(shí)，才能平衡。關(guān)系時(shí)，才能平衡。ABFMO 沿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)傳動(dòng)順序逐個(gè)構(gòu)件的進(jìn)行傳遞，沿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)傳動(dòng)順序

16、逐個(gè)構(gòu)件的進(jìn)行傳遞，從而引起各構(gòu)件的約束反力。從而引起各構(gòu)件的約束反力。通常通常由已知到未知依運(yùn)動(dòng)傳動(dòng)順序逐個(gè)選取由已知到未知依運(yùn)動(dòng)傳動(dòng)順序逐個(gè)選取研究對(duì)象求解。研究對(duì)象求解。 在圖示多跨梁中，已知在圖示多跨梁中，已知qD=12kN/m，M=15kNm。試求試求A、C處的約束反力。處的約束反力。DBAMC3m3m3mDq解：解： 這是一個(gè)由主要這是一個(gè)由主要部分部分AB和次要部分和次要部分BC組成的物體系統(tǒng)，受力組成的物體系統(tǒng)，受力圖如圖所示。圖如圖所示。1 1）求解有主次之分的物體系統(tǒng)約束反力）求解有主次之分的物體系統(tǒng)約束反力CBDBACxyoBqDMqFFFFFBxCCByAxMAFAy3

17、m3m3m( a )( b ) 整體受力圖中含有整體受力圖中含有4個(gè)未知量個(gè)未知量FAx、FAy、MA及及FC，由于是平面一般力系，當(dāng)研究整體時(shí)只能列出由于是平面一般力系，當(dāng)研究整體時(shí)只能列出3個(gè)個(gè)平衡方程，不能將此平衡方程，不能將此4個(gè)未知量全部求解，故必須個(gè)未知量全部求解，故必須分開研究。分開研究。36kN/m6BDqq取次要部分取次要部分BC分析，受力圖如圖所分析，受力圖如圖所示：示：FFFCBxBCBy( b )B 由于不須求解由于不須求解B處約束力，處約束力，因此對(duì)因此對(duì)B B點(diǎn)列平衡方程：點(diǎn)列平衡方程：( )0:113303kN23BBCCMqFF 3FFFFxCyoDDBAyAA

18、xMMAq( a )3m3m3mC0:00:160,33kN211( )0:6 (36)90,23138kN mxAxyDAyCAyADcAAFFFqFFFMMqFMM F回到整體研究，列平衡方程回到整體研究，列平衡方程3kNCF 如如圖圖4-8所示兩跨靜定剛架，自重不計(jì)。已知：所示兩跨靜定剛架，自重不計(jì)。已知：F=30kN，q=10kN/m。試求。試求A、B、C、D處的約束反力。處的約束反力。這是一個(gè)由基本部分剛架這是一個(gè)由基本部分剛架AB和附屬的半剛架和附屬的半剛架CD所組成所組成的系統(tǒng)的系統(tǒng)。6m3m3m3mFqBA圖4-18CDCBD(b)(a)(c)FDqFAFxAFyBFyFCxF

19、CCFyCFx 作用在附屬部分作用在附屬部分CD上的荷載要傳遞到基本部分上的荷載要傳遞到基本部分AB上去，故上去，故應(yīng)先研究附屬部分應(yīng)先研究附屬部分CD。拆開鉸鏈。拆開鉸鏈C，AB和和CD部分的受力圖分別部分的受力圖分別如圖如圖4-15（b）和（）和（c）所示。）所示。6m3m3m3mFqBA圖4-18CDCBD(b)(a)(c)FDqFAFxAFyBFyFCxFCCFyCFx( )CDD0:33 1.5015kN=創(chuàng)=MFqFF1）分析）分析CD，以，以C為矩心，建立平衡方程為矩心，建立平衡方程( )ABCCB0:6360,0 xyMFFFFF =+-=CC0:0,30kNxAxxAxxFF

20、FF= F=-=CCy0:0,15kN=-=yAyyAyFFFF= FCC0:0,30kNxxxFFFF=-=CCy0:30,15kNyyDFFFqF=+-=2）再對(duì)基本部分）再對(duì)基本部分AB建立平衡方程求解建立平衡方程求解得：得：無主次之分的物體系統(tǒng)又有無主次之分的物體系統(tǒng)又有（1 1）支座在同一水平線上或同一鉛垂線上的系統(tǒng)；）支座在同一水平線上或同一鉛垂線上的系統(tǒng)；（2 2）支座在不同一水平線上或同一鉛垂線上的系統(tǒng)。）支座在不同一水平線上或同一鉛垂線上的系統(tǒng)。2 2）求解無主次之分的物體系統(tǒng)約束反力）求解無主次之分的物體系統(tǒng)約束反力如如圖所示三鉸剛架，其頂部受沿水平方向均勻圖所示三鉸剛架，

21、其頂部受沿水平方向均勻分布的鉛垂荷載的作用荷載集度分布的鉛垂荷載的作用荷載集度 q8kN/m。已知。已知L=12m，h=6m，f=2m，求支座，求支座A，B的反力。剛架的反力。剛架自重不計(jì)。自重不計(jì)。q=8kN/mhf解：這是一個(gè)無主次之分解：這是一個(gè)無主次之分且支座在同一水平線上或且支座在同一水平線上或同一鉛垂線上的系統(tǒng)，應(yīng)同一鉛垂線上的系統(tǒng)，應(yīng)選用先整體再部分后回到選用先整體再部分后回到整體或選另一部分為對(duì)象整體或選另一部分為對(duì)象的解題方案。的解題方案。FFFFxhyfq=8kN/m（1 1）以整體為研究對(duì)象）以整體為研究對(duì)象, , 受力分析如圖：受力分析如圖： 列平衡方程求解列平衡方程求

22、解: : ()0:021482AByByMlFlqlFqlkN F0:10,4822BAyAyMlFlqlFqlkN FyFxhFFFf（2 2）選取剛架的）選取剛架的BC部分為研究對(duì)象，受力部分為研究對(duì)象，受力分析如圖：分析如圖：取取C點(diǎn)為矩心建立點(diǎn)為矩心建立力矩方程：力矩方程：( )0:()022418(CBxByBxMFlllFhfFqFkN 負(fù)號(hào)說實(shí)際設(shè)）明方向與所方向相反0018xAxBxAxBxFFFFFkN （3 3）仍以整體為研究對(duì)象；）仍以整體為研究對(duì)象；FFFFxhyfq=8kN/m如如圖所示三鉸剛架，受水平力圖所示三鉸剛架，受水平力F F和豎向均布和豎向均布荷載荷載q的作

23、用。已知的作用。已知q10kN/m，F(xiàn)=20kN，求求A、B支座的約束力。支座的約束力。q2m4m4m4m4m2mxyoqAxAyFFByBxFFBxCyByCxFFFFF解：（解：（1 1）以整體為研究對(duì)象，受力分析如圖；）以整體為研究對(duì)象，受力分析如圖；()0:2838 4041900ABxByDBxByMFFFqFF F對(duì)于整體列平衡方程：對(duì)于整體列平衡方程： q2m4m4m4m4m2mxyoqAxAyFFByBxFFBxCyByCxFFFFF（2 2）以）以BCBC部分剛架為研究對(duì)象，受力分析如圖；部分剛架為研究對(duì)象，受力分析如圖；( )0:444 (4/2)020 0CBxByBxByMFFqFF F聯(lián)立式和求得：聯(lián)立式和求得：kNFkFByBx42N22Ax2mAy4mBy4mxyoBx4mqFFFFF2m4m（3 3）再以整體為研究）再以整體為研究對(duì)象，列平衡方程：對(duì)象，列平衡方程：0:02kN=-+=xAxBxDAxFFFFF0:80,38yAyByAyFFFqFkN 廠房組合桁架受均布荷載作用，已知廠房組合桁架受均布荷載作用，已知q=20kN，尺寸，尺寸如圖如圖4-18（a）所示，若不計(jì)各構(gòu)件重