bezier曲線學習教案

1、會計學1bezier曲線曲線第一頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。)(xfy 0),(yxf第1頁/共34頁第二頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。,)(),(),()(battytxyxtpabatt 1 , 0)(ttpp區(qū)間a,b規(guī)范化為0,1,)()(battyytxx參數表示第2頁/共34頁第三頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。0tt 0tnkdttPddttPdttkkttkk, 1 , 0,)()(00nC 傳統的、嚴格的連續(xù)性傳統的、嚴格的連續(xù)性第3頁/共34頁第四頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。nG第4頁/共34頁第五頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。第5頁/共34

2、頁第六頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。第6頁/共34頁第七頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。第7頁/共34頁第八頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。橋梁建筑物以及日用品的設計第8頁/共34頁第九頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。 曲線字形輪廓描述 地圖圖形管理系統 真實感圖形的繪制BezierBezier曲線應用曲線應用還有那些應用?第9頁/共34頁第十頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。 1 , 0)()(0,ttBPtCnknkknktttknknttCtBknkknkknnk, 1 ,01 ,0)1()!( !)1()(,控制點階數Bernstein基函數參數第10頁/共34頁第

3、十一頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。Bezier曲線曲線是參數多項式曲線，它由一組控制多邊形的頂點唯一的確定?？刂贫噙呅胃黜旤c，只有第一個和最后一個在曲線上在曲線上其它頂點，用于控制曲線的階次和形狀。改變頂點的位置就會改變曲線的形狀(便于修改)增加頂點，則增加了曲線段的階次(靈活)Bezier曲線的定義第11頁/共34頁第十二頁，編輯于星期五：二十一點 十二分?？刂泣c對曲線形狀的修改Bezier曲線曲線是面向幾何的，充分發(fā)揮人的主觀能動性和創(chuàng)造性，通過直觀交互使人對設計對象的控制達到直接的幾何化程度。Bezier曲線的定義第12頁/共34頁第十三頁，編輯于星期五：二十一點 十二分?？刂泣c對

4、曲線階次的修改Bezier曲線的定義第13頁/共34頁第十四頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。一次Bezier曲線101 , 111 , 00101 ,)1 ()()()()(tPPttBPtBPtBPtPkkk二次Bezier曲線 0,1t 0010221211 )()()()()(21022, 222, 112, 00202,PPPtttBPtBPtBPtBPtPikk第14頁/共34頁第十五頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。三次Bezier曲線P(t）= B0,3(t)P0 + B1,3(t)P1+ B2,3(t)P2B3,3(t)P3其中 B0,3(t)(1-t)3 B1,3(t)

5、3t(1-t)2 B2,3(t)3t2(1-t) B3,3(t)t3 32102300010033036313311 t tPPPPttPBezier曲線的定義第15頁/共34頁第十六頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。 1 , 0,0)(,ttBnk 非負性nktttknknttCtBknkknkknnk, 1 ,01 ,0)1()!( !)1()(,其它001)0(,kBnk其它01)1(,nkBnk0！=1，00=1。 端點的性質第16頁/共34頁第十七頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(,tttknknttCtBknkknkknnk)(,)1

6、()1 (knnknknnnknttCtB 對稱性)1 ()(,tBtBnknnkkknttknnknn)1 ()!()!(!kknttkknn)1 (!)!(!推導：t01-t0第17頁/共34頁第十八頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。)()()1 ()(1, 11,ttBtBttBnknknk 1 , 0,1)(0,ttBnknknknkknkknnkttCtB00,)1 ()(權性 遞推性knkknnkttCtB)1 ()(,)()()1 (1, 11,ttBtBtnknkknkknknttCC)1 ()(11111)1 ()1 (knkknttCtknkkntttC)1 (111nt

7、t)1 (1t0第18頁/共34頁第十九頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。)1)()!( !)1 ()!( !)(11,kknknknkttknknknttkknkntB)1()1(1)1 ()!1() 1()!1()!1(knkttknknn)()(1,1, 1tBtBnnknk 導函數knkttknknn)1()1 ()!) 1(!)!1( 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(,tttknknttCtBknkknkknnk)()()(1,1, 1,tBtBntBnknknk第19頁/共34頁第二十頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。nnnnnPPBPBC) 1 () 1 () 1 (

8、,0, 0端點性質端點性質 曲線的起點和終點同控制多邊形的起點和終點重合當 t1 時，對Bernstein多項式只有kn 的項為1，其它項均為0, 將t0代入Bezier曲線表達式：01, 10, 0)0()0()0(PPBPBCnn第20頁/共34頁第二十一頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。 1 , 0)()(0,ttBPtCnknkk)()()(1,1, 1,tBtBntBnknknknknknkktBtBPntC01,1,1)()()( Bezier曲線中對t求一階導數：一階導數一階導數)()()()()()(1,1, 11, 111, 011, 001, 10tBPtBPtBPtBP

9、tBPtBPnnnnnnnnnnn)()()()()()(1, 111, 1121, 001tBPPtBPPtBPPnnnnnnnnknkkktBPPn11,11)()(第21頁/共34頁第二十二頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。nknkkktBPPntC11, 11)()()(在起始點t0, B0,n-1(0)1，其余項均為0，故有: C(0)n(P1P0)在終止點t1, Bn-1,n-1(1)1，其余項均為0，故有: C(1)= n(PnPn-1)即Bezier曲線在端點處的一階導數只同相近的兩個控制點有關，其方向相同于兩點的連線方向。)()()()()()(1, 111, 1121,

10、001tBPPtBPPtBPPnnnnnnn第22頁/共34頁第二十三頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。Bezier曲線中對參數t求二階導數可得：Bezier曲線的性質（三）nknkkkktBPPPnntC01,12)()2()1()( 在起始點t0處的二階導數為： C”(0)n(n1)(P22P1P0)在終止點t1處的二階導數為： C”(1)n(n1)(Pn2Pn-1Pn-2)即Bezier曲線在端點處的二階導數只同相近的三個控制點有關。二階導數二階導數第23頁/共34頁第二十四頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。凸包性 Bezier曲線各點均落在控制多邊形各頂點構成的凸包之中，這里凸包是

11、指包含所有頂點的最小凸多邊形。 當特征多邊形為凸時，Bezier曲線也是凸的；當特征多邊形有凹有凸時，其曲線的凸凹形狀與之對應。Bezier曲線的凸包性質保證了多項式曲線隨控制點平穩(wěn)前進而不會振蕩。變差縮減性 如果Bezier曲線的控制多邊形是一平面圖形，則該平面內的任意直線和Bezier曲線的交點個數不多于該直線與控制多邊形的交點個數。 第24頁/共34頁第二十五頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。1 確定曲線的階次2 計算Bernstein基函數的表達式nktttknknttCtBknkknkknnk, 1 , 0 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(, B0,3(t)(1-t)3 ；

12、 B1,3(t)3t(1-t)2 ； B2,3(t)3t2(1-t) ； B3,3(t)t33 把Bezier曲線中的Pk寫成分量坐標的形式 4 確定一合適的步長；控制t從0到1變化，求出一系列(x,y)坐標點；將其用小線段順序連接起來。第25頁/共34頁第二十六頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。BezierBezier曲線生成曲線生成 算法描述算法描述：對于二維平面的情況，只有x,y坐標分量，可以給出四點三次Bezier曲線如下的算法描述：輸入：階次，3； 控制頂點：4個，(x0,y0),（x3,y3) begin x=x0 y=y0 moveto (x,y) for t0 to 1 st

13、ep t xB0,3(t)x0B1,3(t)x1B2,3(t)x2B3,3(t)x3 yB0,3(t)y0B1,3(t)y1B2,3(t)y2B3,3(t)y3 lineto (x,y) endfor end為什么呢？第26頁/共34頁第二十七頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。三次Bezier曲線例子： 設在平面上給定的7個控制點坐標分別為:A（100,300）,B（120,200）,C（220,200）,D（270,100）,E（370,100）, F（420,200）,G（420,300）。畫出其曲線。BezierBezier曲線生成曲線生成第27頁/共34頁第二十八頁，編輯于星期五：二

14、十一點 十二分。BezierBezier曲線生成曲線生成德卡斯特里奧算法11202010211111110100PPPPPPPPPPPP11102021111010)1 ()1 ()1 (tPPtPtPPtPtPPtPtt12210220)1 (2)1 (PtPttPtP 當t從0變到1時，它表示了由三頂點P0、P1、P2三點定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P02可以定義為分別由前兩個頂點(P0,P1)和后兩個頂點(P1,P2)決定的一次Bezier曲線的線性組合。第28頁/共34頁第二十九頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。n 依次類推，由四個控制點定義的三次

15、Bezier曲線P03可被定義為分別由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合；n 由(n+1)個控制點Pi(i=0,1,.,n)定義的n次Bezier曲線P0n可被定義為分別由前、后n個控制點定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0n-1與P1n-1的線性組合：由此得到Bezier曲線的遞推計算公式BezierBezier曲線生成曲線生成 1 , 0)1 (11100ttPPtPnnnk,n, ,i,n;,kPt)P(kPPkikiiki102110111第29頁/共34頁第三十頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。Bezier曲線的光滑連接例子：例

16、子：設有兩段三次Bezier曲線，其中一段曲線由控制點P0、P1、P2、P3生成，另一條曲線由控制點Q0、Q1、Q2、Q3生成，P3(Q0)是兩段曲線的公共控制點。如果兩段曲線要達到光滑連接，需要一階參數連續(xù)，甚至二階參數連續(xù)。對于一階導數連續(xù)，第一段曲線終點處的導數為： P(1)3(P3P2) 第二段曲線起點處的導數為： Q(0)3(Q1Q0) P3P2Q1Q0 BezierBezier曲線生成曲線生成第30頁/共34頁第三十一頁，編輯于星期五：二十一點 十二分。兩段Bezier曲線光滑連接的示意圖二階導數連續(xù)二階導數連續(xù)第一段曲線終點處的二階導數為： P”(1)6(P32P2P1)第二段曲線起點處的二階導數為： Q”(0)6(Q22Q1Q0) 要達到二階導數連續(xù) P32P2P1Q22Q1Q0