機械工程控制基礎(chǔ)第二章狀態(tài)方程

1、材料學(xué)院機械工程控制基礎(chǔ)機械工程控制基礎(chǔ)主講教師：葉春生Tel中科技大學(xué)材料學(xué)院華中科技大學(xué)材料學(xué)院機械工程控制基礎(chǔ)機械工程控制基礎(chǔ) 第一章第一章 自動控制的一般概念自動控制的一般概念 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第三章第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法控制系統(tǒng)的時域分析法 第四章第四章 頻域分析法頻域分析法 第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 第六章第六章 控制系統(tǒng)的校正控制系統(tǒng)的校正華中科技大學(xué)材料學(xué)院第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2.1系統(tǒng)的系統(tǒng)的微分方程微分方程 2.2相似原理相似原理 2.3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 2.4

2、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化 2.5反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.6 狀態(tài)方程狀態(tài)方程華中科技大學(xué)材料學(xué)院2.6 2.6 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.6.1 狀態(tài)向量與狀態(tài)空間狀態(tài)向量與狀態(tài)空間1 狀態(tài)的定義狀態(tài)的定義 所謂系統(tǒng)狀態(tài)，是指在描述對象運動的所有變所謂系統(tǒng)狀態(tài)，是指在描述對象運動的所有變量中，必定可以找到數(shù)目最小的一組變量，它們足量中，必定可以找到數(shù)目最小的一組變量，它們足以描述對象的全部運動。以描述對象的全部運動。狀態(tài)變量狀態(tài)變量: 該變量組中的每個變量稱為狀態(tài)變量。該變量組中的每個變量稱為狀態(tài)變量。 華中科技大

3、學(xué)材料學(xué)院2）數(shù)目最小的含義：是指這個變量組中的每個變量）數(shù)目最小的含義：是指這個變量組中的每個變量都是相互獨立的。都是相互獨立的。 有關(guān)有關(guān)定義的兩點說明定義的兩點說明1）足以描述系統(tǒng)全部運動的含義：只要確定了這組）足以描述系統(tǒng)全部運動的含義：只要確定了這組變量在某一初始時刻變量在某一初始時刻 的值，并且確定了從這的值，并且確定了從這一初始時刻起（一初始時刻起（ ）的輸入量函數(shù)，則對象的）的輸入量函數(shù)，則對象的全部變量在此刻和全部變量在此刻和 （ ）的運動都唯一確定了。）的運動都唯一確定了。 0tt0tt0tt華中科技大學(xué)材料學(xué)院2、狀態(tài)向量、狀態(tài)向量若一個系統(tǒng)有若一個系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量：個

4、狀態(tài)變量： ，用這用這n個狀態(tài)變量作為分量所構(gòu)成的向量個狀態(tài)變量作為分量所構(gòu)成的向量 ，就，就稱為該系統(tǒng)的狀態(tài)向量，用稱為該系統(tǒng)的狀態(tài)向量，用 表示。表示。)(,),(),(21txtxtxn)(tx)(tx)()()()(21txtxtxtnx華中科技大學(xué)材料學(xué)院3、狀態(tài)空間、狀態(tài)空間 狀態(tài)空間：狀態(tài)空間：所有所有n維狀態(tài)向量的全體便構(gòu)成了實數(shù)維狀態(tài)向量的全體便構(gòu)成了實數(shù)域上的域上的n維狀態(tài)空間。維狀態(tài)空間。 狀態(tài)軌跡：狀態(tài)軌跡：在狀態(tài)空間中，時間在狀態(tài)空間中，時間t是一個參變量，是一個參變量，某一時間某一時間t的狀態(tài)是狀態(tài)空間中的一個點，而一段時的狀態(tài)是狀態(tài)空間中的一個點，而一段時間下狀態(tài)

5、的集合稱為系統(tǒng)在這一時間段的狀態(tài)軌跡，間下狀態(tài)的集合稱為系統(tǒng)在這一時間段的狀態(tài)軌跡，有時也稱作相軌跡。有時也稱作相軌跡。4、輸入向量和輸出向量、輸入向量和輸出向量 輸入向量：輸入向量：將系統(tǒng)的各個輸入量將系統(tǒng)的各個輸入量看成一個列向量看成一個列向量 。 ) (tu)()()()(21tutututlu ：輸入量的個數(shù)：輸入量的個數(shù)l華中科技大學(xué)材料學(xué)院 輸出向量：輸出向量：將系統(tǒng)的各個輸出量看成一個列向?qū)⑾到y(tǒng)的各個輸出量看成一個列向量量 。 )(ty)()()()(21tytytytmy ：輸出量的個數(shù)：輸出量的個數(shù)m華中科技大學(xué)材料學(xué)院1、系統(tǒng)狀態(tài)變量的選取不是唯一的，但狀態(tài)的數(shù)目、系統(tǒng)狀態(tài)

6、變量的選取不是唯一的，但狀態(tài)的數(shù)目是一定的；是一定的；2、系統(tǒng)的狀態(tài)和系統(tǒng)的輸出是兩個不同的概念。、系統(tǒng)的狀態(tài)和系統(tǒng)的輸出是兩個不同的概念。 系統(tǒng)的輸出通常有明確的物理含義，是可以測量系統(tǒng)的輸出通常有明確的物理含義，是可以測量的；的； 系統(tǒng)的狀態(tài)不一定有物理含義，不一定可以測量；系統(tǒng)的狀態(tài)不一定有物理含義，不一定可以測量； 在線性系統(tǒng)中，輸出是系統(tǒng)狀態(tài)變量中某一個或在線性系統(tǒng)中，輸出是系統(tǒng)狀態(tài)變量中某一個或某幾個的線性組合。某幾個的線性組合。華中科技大學(xué)材料學(xué)院2.6.2 狀態(tài)空間狀態(tài)空間表達式表達式 1、狀態(tài)方程的定義、狀態(tài)方程的定義所謂狀態(tài)方程，就是描述系統(tǒng)的狀態(tài)之間以及輸入所謂狀態(tài)方程，

7、就是描述系統(tǒng)的狀態(tài)之間以及輸入和狀態(tài)之間動態(tài)關(guān)系的一階微分方程組。和狀態(tài)之間動態(tài)關(guān)系的一階微分方程組。 2、狀態(tài)方程的標(biāo)準形式、狀態(tài)方程的標(biāo)準形式),;,(),;,(),;,(212121212222121111lnnnnlnlnuuuxxxfxdtdxuuuxxxfxdtdxuuuxxxfxdtdx華中科技大學(xué)材料學(xué)院 向量矩陣形式為向量矩陣形式為)(),()(tttuxfx)()()()(: )(21txtxtxttnxx狀態(tài)向量狀態(tài)向量luuutt21)(: )(uu輸入向量輸入向量)()()()(: )(21nfffff1n 維的函數(shù)向量維的函數(shù)向量華中科技大學(xué)材料學(xué)院 3、線性定常系

8、統(tǒng)的狀態(tài)方程、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程lnlnnnnnnnnllnnllnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111 向量矩陣形式為向量矩陣形式為)()()(tttBuAxxnnnnnnaaaaaaaaa212222111211Ann維的系數(shù)矩陣維的系數(shù)矩陣nlnnllbbbbbbbbb212222111211Bln維的系數(shù)矩陣維的系數(shù)矩陣華中科技大學(xué)材料學(xué)院4、輸出方程輸出方程 1）輸出方程的定義）輸出方程的定義所謂輸出方程，就是描述系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)和輸入所謂輸出方程，就是描述系統(tǒng)

9、輸出量與狀態(tài)和輸入量之間相互關(guān)系的代數(shù)方程組。量之間相互關(guān)系的代數(shù)方程組。 2）輸出方程的標(biāo)準形式）輸出方程的標(biāo)準形式),;,(),;,(),;,(2121212122212111lnmmlnlnuuuxxxgyuuuxxxgyuuuxxxgy華中科技大學(xué)材料學(xué)院 向量矩陣形式為向量矩陣形式為)(),()(tttuxgy)()()()(: )(21tytytyttmyy輸出向量輸出向量)()()()(: )(21nggggg1m維的函數(shù)向量維的函數(shù)向量華中科技大學(xué)材料學(xué)院 3）線性定常系統(tǒng)的輸出方程）線性定常系統(tǒng)的輸出方程lmlmmnmnmmmllnnllnnudududxcxcxcyudud

10、udxcxcxcyudududxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111 向量矩陣形式為向量矩陣形式為)()()(tttDuCxy mnmmnnccccccccc212222111211Cnm維的系數(shù)矩陣維的系數(shù)矩陣mlmmllddddddddd212222111211Dlm維的系數(shù)矩陣維的系數(shù)矩陣華中科技大學(xué)材料學(xué)院2.6.3 狀態(tài)空間狀態(tài)空間表達式（狀態(tài)空間模型）表達式（狀態(tài)空間模型）線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：將狀態(tài)方程和輸出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：將狀態(tài)方程和輸出方程合在一起，即方程合在一起，即)()()()()()(ttttttDu

11、CxyBuAxx 或或DCBA華中科技大學(xué)材料學(xué)院2.6.4 狀態(tài)空間狀態(tài)空間模型與傳遞函數(shù)的比較模型與傳遞函數(shù)的比較G(s)U(s)Y(s) 狀狀 態(tài)態(tài) 方方 程程 輸輸 出出 方方 程程 nxxx21傳遞函數(shù)只能描述系統(tǒng)外部的輸入輸出關(guān)系，并不傳遞函數(shù)只能描述系統(tǒng)外部的輸入輸出關(guān)系，并不能反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，我們稱之為外部描述。能反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，我們稱之為外部描述。狀態(tài)空間表達式將輸入輸出間的信息傳遞分為兩段來描述。第一段是輸入引起系狀態(tài)空間表達式將輸入輸出間的信息傳遞分為兩段來描述。第一段是輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)發(fā)生變化，用狀態(tài)方程描述；第二段是系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變化引起系統(tǒng)統(tǒng)內(nèi)部

12、狀態(tài)發(fā)生變化，用狀態(tài)方程描述；第二段是系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變化引起系統(tǒng)輸出的變化，用輸出方程描述。由此可見，狀態(tài)空間表達式在一定程度上描述了輸出的變化，用輸出方程描述。由此可見，狀態(tài)空間表達式在一定程度上描述了系統(tǒng)內(nèi)部變量的變化，所以我們稱之為內(nèi)部描述。系統(tǒng)內(nèi)部變量的變化，所以我們稱之為內(nèi)部描述。華中科技大學(xué)材料學(xué)院較之傳遞函數(shù)，狀態(tài)空間描述的優(yōu)點有：較之傳遞函數(shù)，狀態(tài)空間描述的優(yōu)點有：3)3)狀態(tài)空間分析是一種時域分析方法，可用計算機狀態(tài)空間分析是一種時域分析方法，可用計算機直接在時域中進行數(shù)值計算。直接在時域中進行數(shù)值計算。2)2)由前面的分析可以看出，對于不同維數(shù)的系統(tǒng)，由前面的分析可以看出，

13、對于不同維數(shù)的系統(tǒng)，可以采用同一表達方式來進行描述，由此可見從低可以采用同一表達方式來進行描述，由此可見從低維系統(tǒng)得到的結(jié)論可以方便地推廣到高維系統(tǒng)，只維系統(tǒng)得到的結(jié)論可以方便地推廣到高維系統(tǒng)，只是計算復(fù)雜一些而已。是計算復(fù)雜一些而已。1)1)可以方便地描述多輸入可以方便地描述多輸入多輸出系統(tǒng)；多輸出系統(tǒng)；4 4）狀態(tài)空間）狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖模型的結(jié)構(gòu)圖ADBC x uxy華中科技大學(xué)材料學(xué)院2.6.5 狀態(tài)空間狀態(tài)空間表達式的非唯一性表達式的非唯一性假設(shè)假設(shè) 和和 是我們?yōu)槟骋幌到y(tǒng)選定的兩組不同狀態(tài)是我們?yōu)槟骋幌到y(tǒng)選定的兩組不同狀態(tài)變量，變量， 和和 之間有一一對應(yīng)的變換關(guān)系即可逆變之間有

14、一一對應(yīng)的變換關(guān)系即可逆變換關(guān)系，對于線性系統(tǒng)而言，這種關(guān)系就是換關(guān)系，對于線性系統(tǒng)而言，這種關(guān)系就是線性非奇異變換，既線性非奇異變換，既 與與 之間必有關(guān)系之間必有關(guān)系x*xx*xx*x*Pxx 其中其中 為非奇異常數(shù)矩陣為非奇異常數(shù)矩陣P設(shè)以設(shè)以 為狀態(tài)向量時系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為為狀態(tài)向量時系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為xDuCxyBuAxx 華中科技大學(xué)材料學(xué)院而以而以 為狀態(tài)向量時系為狀態(tài)向量時系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為*xuDxCyuBxAx*下面我們來推導(dǎo)兩者之間的對應(yīng)關(guān)系。下面我們來推導(dǎo)兩者之間的對應(yīng)關(guān)系。DuCxyBuAxx *Pxx DuCPxyBuAPxxP*Du

15、CPxyBuPAPxPx11*DDCPCBPBAPPA*1*1*設(shè)以設(shè)以 為狀態(tài)向量時系為狀態(tài)向量時系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為xDuCxyBuAxx 華中科技大學(xué)材料學(xué)院 表明，在同一系統(tǒng)中，不同的表明，在同一系統(tǒng)中，不同的狀態(tài)向量所對應(yīng)的系數(shù)矩陣之間有相似變換關(guān)系。狀態(tài)向量所對應(yīng)的系數(shù)矩陣之間有相似變換關(guān)系。APPA1*華中科技大學(xué)材料學(xué)院C Ccui1uRL2u例例 試建立下圖所示電路網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程。試建立下圖所示電路網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程。解：解： （1）描述系統(tǒng)的微分方程為）描述系統(tǒng)的微分方程為 dttduCtitutudttdiLtRi)()()()()()(212 12211111xCxuLxLxLRx選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ， ，輸入，輸入 ix 1)(22tux 1uu 華中科技大學(xué)材料學(xué)院寫成向量矩陣形式為寫成向量矩陣形式為uLxxCLLRxx 010112121輸出輸出 ，寫成向量矩陣形式為，寫成向量矩陣形式為2uy 2110 xxy華中科技大學(xué)