工程力學習題

1、例：求圖示陰影部分的面積對例：求圖示陰影部分的面積對y軸的靜矩。軸的靜矩。CL6TU6Sbhaahay242解：解：b ha2422例：求圖示矩形對對稱軸例：求圖示矩形對對稱軸y、z的慣性矩。的慣性矩。CL6TU7解：解：IzAyA2dzdzz b zhh222/d bh312例：求圖示圓平面對例：求圖示圓平面對y、z軸的慣性矩。軸的慣性矩。CL6TU8IIyzIIIyzpdoIApA2dpI下面求極慣性矩 2022dd/2302dd/2244dd432IApA2d對于空心圓，外徑為 ，內(nèi)徑為Dd 2222ddD/()Dd4432D44132()極慣性矩：實心圓：Idp432空心圓：IDdDp

2、()()444432321 例：求圖示平面圖形形心主慣性軸的方位例：求圖示平面圖形形心主慣性軸的方位及形心主慣性矩的大小。及形心主慣性矩的大小。 解：解：將原平面圖形分成上中下三個矩形。過形心建立參考坐標系yCzIIIyyy212IIIzzz 2254012405225605122564582565123234.mmcm4IIyzyz22 405275225247500247514.mmcm4 24051240527556012323.393333393344mmcm.由tan.22224753933256536180 IIIyzyz得形心主慣性軸的方位角或0373527 .形心主慣性矩的大小

3、為：IIIIIIIyzyzyzyz0022582681224.cm例：用解析法求圖示單元體的例：用解析法求圖示單元體的(1)指定斜截面上的正應力和切應力指定斜截面上的正應力和切應力;(2)主應力值及主方向，并畫在單元體上；主應力值及主方向，并畫在單元體上；(3)最大切應力值。最大切應力值。單位：單位：MPaxyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossi nsi ncos.解：解：xyxxyxyxxyx 8 04 06 022221 0 22222 2 0M P a, M P a M P a, = 3 0M P aM P ac

4、o ssinsinco s.ma xmi nt a n.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa , , MPa123或min 65maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或max 1050225.maxmin xyx2

5、8522MPa例：用圖解法求圖示單元體的例：用圖解法求圖示單元體的(1)指定斜截面上的正應力和切應力指定斜截面上的正應力和切應力;(2)主應力值及主方向，并畫在單元體上；主應力值及主方向，并畫在單元體上；(3)最大切應力值。最大切應力值。單位：單位：MPa使用圖解法求解使用圖解法求解 作應力圓，從應力圓上可量出：作應力圓，從應力圓上可量出： 102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.ma xmi nt a n.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa , , MPa123或min 65maxmintan.xyxy

6、xxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或max 1050225.例：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大切應力例：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大切應力（應力單位為（應力單位為MPa）。）。解：解：max.13247 2MP242 2.MPa2MPa 50例題

7、例題 圖示結構，試求桿件圖示結構，試求桿件ABAB、CBCB的的應力。已知應力。已知 F F=20kN=20kN；斜桿；斜桿ABAB為直為直徑徑20mm20mm的圓截面桿，水平桿的圓截面桿，水平桿CBCB為為15151515的方截面桿。的方截面桿。F FA AB BC C 0yFkN3 .281N解：解：1 1、計算各桿件的軸力。、計算各桿件的軸力。（設斜桿為（設斜桿為1 1桿，水平桿為桿，水平桿為2 2桿）桿）用截面法取節(jié)點用截面法取節(jié)點B B為研究對象為研究對象kN202N 0 xF4545045cos21 NN045sin1 FN1 12 2F FB BF F1N2Nxy4545kN3

8、.281NkN202N2 2、計算各桿件的應力。、計算各桿件的應力。MPa90Pa109010204103 .286623111ANMPa89Pa1089101510206623222ANF FA AB BC C45451 12 2F FB BF F1N2Nxy4545 IbhZ312IdZ464IDdDZ()()44446464162hbW 323dW)1 (3243DWl8-1 8-1 材料拉伸時的力學性質材料拉伸時的力學性質oabcef明顯的四個階段明顯的四個階段1 1、彈性階段、彈性階段obobP比例極限比例極限Ee彈性極限彈性極限tanE2 2、屈服階段、屈服階段bcbc（失去抵（失

9、去抵抗變形的能力）抗變形的能力）s屈服極限屈服極限3 3、強化階段、強化階段cece（恢復抵抗（恢復抵抗變形的能力）變形的能力）強度極限強度極限b4 4、局部頸縮階段、局部頸縮階段efefPesbl8-1 8-1 材料拉伸時的力學性質材料拉伸時的力學性質三三 卸載定律及冷作硬化卸載定律及冷作硬化1 1、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載oabcefPesb2 2、過彈性范圍卸載、再加載、過彈性范圍卸載、再加載ddghf 即材料在卸載過程中即材料在卸載過程中應力和應變是線形關系，應力和應變是線形關系，這就是這就是卸載定律卸載定律。 材料的比例極限增高，材料的比例極限增高，延伸率降低，

10、稱之為延伸率降低，稱之為冷作硬冷作硬化或加工硬化化或加工硬化。l8-1 8-1 材料拉伸時的力學性質材料拉伸時的力學性質四四 其它材料拉伸時的力學性其它材料拉伸時的力學性質質 對于沒有明對于沒有明顯屈服階段的塑顯屈服階段的塑性材料，用名義性材料，用名義屈服極限屈服極限0.20.2來來表示。表示。o%2 . 02 . 0l8-2 8-2 材料壓縮時的力學性質材料壓縮時的力學性質二二 塑性材料（低碳鋼）的壓縮塑性材料（低碳鋼）的壓縮屈服極限屈服極限S比例極限比例極限p彈性極限彈性極限e 拉伸與壓縮在屈服拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。階段以前完全相同。E E - - 彈性摸量彈性摸量l8-2 8

11、-2 材料壓縮時的力學性質材料壓縮時的力學性質三三 脆性材料（鑄鐵）的壓縮脆性材料（鑄鐵）的壓縮obc 脆性材料的抗拉與抗壓脆性材料的抗拉與抗壓性質不完全相同性質不完全相同 壓縮時的強度極限遠大壓縮時的強度極限遠大于拉伸時的強度極限于拉伸時的強度極限bc四個強度理論的強度條件可寫成統(tǒng)一形式：四個強度理論的強度條件可寫成統(tǒng)一形式：r r rrrr112123313412223231212()()()()稱為相當應力稱為相當應力 一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強度理論；塑生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強度理

12、論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，故應采用第三、第四強度性材料多發(fā)生塑性屈服，故應采用第三、第四強度理論。理論。 影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如：影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性；低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性；在高速動載荷作用下脆性提高，在低速靜載在高速動載荷作用下脆性提高，在低速靜載荷作用下保持塑性。荷作用下保持塑性。無論是塑性材料或脆性材料：無論是塑性材料或脆性材料： 在三向拉應力接近相等的情況下，都以斷在三向拉應力接近相等的情況下，都以斷裂的形式破壞，所以應采用最大拉應力理論；裂的形式破壞，所以應采用最大拉應力理論； 在三向壓應力接近相等的情

13、況下，都可以在三向壓應力接近相等的情況下，都可以引起塑性變形，所以應該采用第三或第四強度引起塑性變形，所以應該采用第三或第四強度理論。理論。對圖示的單元體對圖示的單元體,計算計算 r3 , r4解：首先求主應力解：首先求主應力,已知已知 x=70， y=30， xy=40 可求得可求得 MPaMPa 50228.572.94520502402230702307031 MParMPar5.774,44.893 30MPa70MPa40MPa50MPapDyzt一薄壁圓筒容器承受最大壓強為一薄壁圓筒容器承受最大壓強為 p , 圓筒部分的內(nèi)直徑為圓筒部分的內(nèi)直徑為 D ，厚度為厚度為 t , 且且

14、tD 。試計算圓筒部分內(nèi)壁的強度。試計算圓筒部分內(nèi)壁的強度。包圍內(nèi)壁任一點，沿直徑方向包圍內(nèi)壁任一點，沿直徑方向取一單元體，單元體的側面為取一單元體，單元體的側面為橫截面，上，下面為含直徑的橫截面，上，下面為含直徑的縱向截面，前面為內(nèi)表面?？v向截面，前面為內(nèi)表面。包含直徑的縱向截面包含直徑的縱向截面橫截面橫截面內(nèi)表面內(nèi)表面nnnpP橫截面上的應力橫截面上的應力假想地，用一垂直于軸線的平面將圓筒分成兩部分，取右邊為研假想地，用一垂直于軸線的平面將圓筒分成兩部分，取右邊為研究對象。究對象。n n面為橫截面面為橫截面 。nn研究對象研究對象右圖為研究對象的剖面圖，其上的外力為壓強右圖為研究對象的剖面

15、圖，其上的外力為壓強 p，合力，合力 P 。橫截。橫截面上只有正應力面上只有正應力4-244222DtDpDAP)( tpD4pDP.42 ( 因為因為 t D , 所以所以 A Dt )包含直徑的縱向截面上的應力包含直徑的縱向截面上的應力pmmnn1用兩個橫截面用兩個橫截面 mm , nn 從圓筒部分從圓筒部分 取出取出單位長的圓筒研究。單位長的圓筒研究。直徑平面直徑平面由截面法，假想地用由截面法，假想地用直徑平面將取出的單直徑平面將取出的單位長度的圓筒分成兩位長度的圓筒分成兩部分部分。取下半部分為取下半部分為研究對象。研究對象。包含直徑包含直徑的縱向平的縱向平面面研究對象研究對象 NN1t

16、p yOR研究對象上有外力研究對象上有外力 p , 縱截面上只有正應力縱截面上只有正應力右圖是其投影圖。右圖是其投影圖。R 是外力在是外力在 y 軸上的投影，軸上的投影，N 為縱截面為縱截面上的軸力。上的軸力。01) 12(, 0 pDtYtpD2 1tp3內(nèi)表面的應力內(nèi)表面的應力p 內(nèi)壁的強度校核：此單元內(nèi)壁的強度校核：此單元體處于三向應力狀態(tài)，故體處于三向應力狀態(tài)，故需要強度理論進行強度計需要強度理論進行強度計算。算。 1 203 123內(nèi)表面只有壓強內(nèi)表面只有壓強 p ,且為壓應力且為壓應力 tpDtpDrr3 . 22122132322214313用第三和第四強度理論校核圓筒內(nèi)壁的強度

17、用第三和第四強度理論校核圓筒內(nèi)壁的強度PPPPyzsincosC為中性軸彎曲以為中性軸彎曲以YPPZPPzy_cos_sinsin)(sin)(cos)(cos)(MxlPxlPMMxlPxlPMyzzy（2）. 按基本變形求各自應力：PMyzPMzy M yIM yIzzzsin MzIM zIyyycos cossin)(yzyyzzcIzIyMIzMIyMC點總應力：000 MyIzIzysincos2、確定中性軸的位置：、確定中性軸的位置：故中性軸的方程為：故中性軸的方程為：sincosIyIzzy000設中性軸上某一點的坐標為設中性軸上某一點的坐標為 y0 、 z0，則由中性軸上，則

18、由中性軸上即0中性軸是一條通過截面形心的直線。中性軸是一條通過截面形心的直線。tgtg00zyyzzyIIMMIIyz中性軸中性軸為中性軸與Y軸夾角1D2D中性軸中性軸注： 1）中性軸仍過截面形心； 2）中性軸把截面分為受拉、 受壓兩個區(qū)域； 3）同一橫截面上max發(fā)生在離中性軸最遠處1D2D點處；4）若截面為曲線周邊時 , 可作/于中性軸之切線， 切點為處max 例題例題 ：矩形截面的懸臂梁承受荷載：矩形截面的懸臂梁承受荷載 如圖所示。如圖所示。 試試 確定危險截面、危險點所在位置，計算梁內(nèi)最大正應確定危險截面、危險點所在位置，計算梁內(nèi)最大正應 力的值。若將截面改為直徑力的值。若將截面改為直

19、徑 D= 50 mm 的圓形，試確定的圓形，試確定 危險點位置，并計算最大正應力。危險點位置，并計算最大正應力。 xA B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 4080zyo a d b cA B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 4080zyo a d b c x解解: (1) 外力分析外力分析 此梁在此梁在 P1力作用下將在力作用下將在 XOY 平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲，平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲，在在 P2 力作用下將在力作用下將在 XOZ 平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲,故此梁的故此梁的變形為兩個平面彎曲的組合變形為兩個平面彎曲的組合- 斜彎曲斜彎曲。 -A

20、B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 分別繪出分別繪出 MZ (x) 和和 MY(x) 圖，圖，兩個平面內(nèi)的最大彎矩都發(fā)生在兩個平面內(nèi)的最大彎矩都發(fā)生在固定端固定端A截面上，其值為截面上，其值為 MZ = 1 KN.m MY = 1 KN.m A 截面為梁的危險截面。截面為梁的危險截面。1KN.m1KN.mMZ(x)My(x)M 圖圖 x(2) 繪制彎矩圖繪制彎矩圖A B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 1KN.m1KN.mMZ(x)My(x)M 圖圖 xyzMYMZA 截面為梁的危險截面。截面為梁的危險截面。MYoMZz d xa b cy（3） 應力分

21、析應力分析MZ 引起的正應力引起的正應力 MZ 的分布圖。的分布圖。z y oad b c+23.4一一23.4 MZ MYoMZz d xa b cy（3） 應力分析應力分析dz y oa b c+46. 8 My 46. 8My 引起的正應力引起的正應力 My的分布圖。的分布圖。MYoMZz d xa b cy （4）中性軸的位置）中性軸的位置z y o中性軸中性軸MYMZ 得得 = 14 o 繪制中性軸于上圖中。繪制中性軸于上圖中。41101101 1280401240803333 tgyzMMIIzyayyzzdayyzzcayyzzyyzzaMPWMWMMPWMWMMPWMWMaMP

22、WMWM4 .232 .704 .232 .70 b （5）繪制總應力分布圖）繪制總應力分布圖應力單位：應力單位：MPa a= + 70. 2 c= 70. 2 b= + 23.4 d = 23.4 zad bc y中性軸中性軸 ozyo （6）分析與討論）分析與討論 若將截面改為直徑若將截面改為直徑 D = 50 mm 的圓形，則截面的慣性矩的圓形，則截面的慣性矩 IZ =IY,45o 因為危險截面上因為危險截面上 MZ =M y= 1KN.m 則中性軸位置則中性軸位置 = 45o 梁將發(fā)生平面彎曲。梁將發(fā)生平面彎曲。MyMZ中性軸中性軸zyo（6）分析與討論）分析與討論 若將截面改為直徑若

23、將截面改為直徑 D = 50 mm 的圓形，則截面的慣性矩的圓形，則截面的慣性矩 IZ =IY, 因為危險截面上因為危險截面上 MZ =M y= 1KN.m 則中性軸位置則中性軸位置 = 45oMyMZ M中性軸中性軸 危險點是危險點是 e 、f 兩點。兩點。 aMP 11510503210411411933max22 .WM.MMMmKNyz 合成彎矩為合成彎矩為45oef45o e= + 115 MPa f= 115 MPa1）中性軸仍垂直于撓曲線所在平面；2）若則,zyII即撓曲線與外力P不在同一平面，故稱若則,zyII則為平面彎曲因圓、正方形，其因圓、正方形，其zyII 故不會產(chǎn)生斜彎

24、曲故不會產(chǎn)生斜彎曲斜彎曲討論 例題例題: 懸臂吊車如圖所示。橫梁用懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。工字鋼制成。 其抗彎剛度其抗彎剛度W=237cm3,橫截面面積橫截面面積A=35.5cm2， 總荷載總荷載P=34KN，橫梁材料的許用應力，橫梁材料的許用應力 =12.5MPa。 校核橫梁校核橫梁AB的強度。的強度。ABCD1.2m1.2m300解：分析解：分析AB的受力的受力ABDPNABRS300ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS30002 . 14 . 230sin00 PNmABANAB=PRAHARA=0.5PHA=0.866PAB為平面彎曲與壓縮組合變形。為平面

25、彎曲與壓縮組合變形。中間截面為危險截面。最大中間截面為危險截面。最大壓應力發(fā)生在該截面的上邊緣。壓應力發(fā)生在該截面的上邊緣。壓縮正應力壓縮正應力APAHA866. 0 最大彎曲正應力最大彎曲正應力WPWRzzAW6 . 02 . 1max ABCD1.2m1.2m30037.946 . 0866. 0maxMPaWPAPzc鑄鐵壓力機框架，立柱橫截面尺寸如圖所示，材料的許用鑄鐵壓力機框架，立柱橫截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應力拉應力 t t 30MPa30MPa，許用壓應力，許用壓應力 c c 120MPa120MPa。試按立柱。試按立柱的強度計算許可載荷的強度計算許可載荷F F。2mm15

26、000A mm750z 47mm1031. 5yImm1251z解：解：（1 1）計算橫截面的形心、）計算橫截面的形心、 面積、慣性矩面積、慣性矩（2 2）立柱橫截面的內(nèi)力）立柱橫截面的內(nèi)力FFNN.m10425107535033FFMFF350F350NF1z1yy2mm15000A mm750z 47mm1031. 5yImm1251z（3 3）立柱橫截面的最大應力）立柱橫截面的最大應力max. tmax. cPa66710151031.5075.0104253530max.FFFAFIMzNyt（2 2）立柱橫截面的內(nèi)力）立柱橫截面的內(nèi)力FFNN.m104253

27、FMPa93410151031.5125.0104253531max.FFFAFIMzNycF350NFM （4 4）求壓力）求壓力F Fmax. tmax. cFt667max.Fc934max.F350NFMttF 667max.N4500066710306676tFccF 934max.N128500934101209346cF45kNN45000F許許可可壓壓力力為為 三、三、 拉（壓）彎組合變形拉（壓）彎組合變形 PSSl 2l 2P PyPx 受力特點受力特點 作用在桿件上的作用在桿件上的 外力既有軸向拉外力既有軸向拉 ( 壓壓 ) 力力,還有橫向力還有橫向力,桿將發(fā)生拉伸桿將發(fā)生

28、拉伸 (壓縮壓縮 ) 與彎曲組合與彎曲組合 以上圖以上圖 (a) 為例分析橫截面上的正應力為例分析橫截面上的正應力在在S的作用下產(chǎn)生拉伸變形的作用下產(chǎn)生拉伸變形在在P的作用下產(chǎn)生彎曲變形的作用下產(chǎn)生彎曲變形(a)(b)PS2l2lS(c)AN zIMy ASAN與拉伸對應的正應力與拉伸對應的正應力與彎曲對應的正應力與彎曲對應的正應力zIMy (a)(b)PS2l2lSzIMyAN 桿件各點處的應力為桿件各點處的應力為(c)AN zIyM (a)(b)PS2l2lS(d)當當 max max(e) max(f) 討論：討論：(c)AN zIMy (a)(b)PS2l2lS 由于危險點處的應力狀態(tài)

29、仍為單軸應力狀態(tài)，故其由于危險點處的應力狀態(tài)仍為單軸應力狀態(tài)，故其 強度條件為強度條件為 當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，應分別建當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，應分別建 立桿件的抗拉、立桿件的抗拉、 壓強度條件。壓強度條件。 ccTTWMANWMANmaxmaxmaxmax 例題例題: 懸臂吊車如圖所示。橫梁用懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。工字鋼制成。 其抗彎剛度其抗彎剛度W=237cm3,橫截面面積橫截面面積A=35.5cm2， 總荷載總荷載P=34KN，橫梁材料的許用應力，橫梁材料的許用應力 =12.5MPa。 校核橫梁校核橫梁AB的強度。的強度。ABCD1.

30、2m1.2m300解：分析解：分析AB的受力的受力ABDPNABRS300ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS30002 . 14 . 230sin00 PNmABANAB=PRAHARA=0.5PHA=0.866PAB為平面彎曲與壓縮組合變形。為平面彎曲與壓縮組合變形。中間截面為危險截面。最大中間截面為危險截面。最大壓應力發(fā)生在該截面的上邊緣。壓應力發(fā)生在該截面的上邊緣。壓縮正應力壓縮正應力APAHA866. 0 最大彎曲正應力最大彎曲正應力WPWRzzAW6 . 02 . 1max ABCD1.2m1.2m30037.946 . 0866. 0maxMPaWPAPzc鑄鐵壓力機

31、框架，立柱橫截面尺寸如圖所示，材料的許用鑄鐵壓力機框架，立柱橫截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應力拉應力 t t 30MPa30MPa，許用壓應力，許用壓應力 c c 120MPa120MPa。試按立柱。試按立柱的強度計算許可載荷的強度計算許可載荷F F。2mm15000A mm750z 47mm1031. 5yImm1251z解：解：（1 1）計算橫截面的形心、）計算橫截面的形心、 面積、慣性矩面積、慣性矩（2 2）立柱橫截面的內(nèi)力）立柱橫截面的內(nèi)力FFNN.m10425107535033FFMFF350F350NF1z1yy2mm15000A mm750z 47mm

32、1031. 5yImm1251z（3 3）立柱橫截面的最大應力）立柱橫截面的最大應力max. tmax. cPa66710151031.5075.0104253530max.FFFAFIMzNyt（2 2）立柱橫截面的內(nèi)力）立柱橫截面的內(nèi)力FFNN.m104253FMPa93410151031.5125.0104253531max.FFFAFIMzNycF350NFM （4 4）求壓力）求壓力F Fmax. tmax. cFt667max.Fc934max.F350NFMttF 667max.N4500066710306676tFccF 934max.N128500934101209346cF

33、45kNN45000F許許可可壓壓力力為為 P 定義：作用在直桿上的外力，當其作用線與桿的軸線平行定義：作用在直桿上的外力，當其作用線與桿的軸線平行 但不重合時，將同時引起軸向拉伸（壓縮）和平面但不重合時，將同時引起軸向拉伸（壓縮）和平面 彎曲兩種基本變形。彎曲兩種基本變形。 偏心拉伸（壓縮）偏心拉伸（壓縮）例題：正方形截面立柱的中間處開一個槽，使截面例題：正方形截面立柱的中間處開一個槽，使截面面積為原來截面面積的一半。求：開槽后立柱的的最面積為原來截面面積的一半。求：開槽后立柱的的最大壓應力是原來不開槽的幾倍。大壓應力是原來不開槽的幾倍。aaPP11aaaaPP11aa解：未開槽前立柱為軸向

34、壓縮解：未開槽前立柱為軸向壓縮aPaPAPAN4)2(221 開槽后立柱危險截面為偏心壓縮開槽后立柱危險截面為偏心壓縮11PPa/2aPaaPaaaPWMAN222226122 aaPP11aaaPaPAPAN4)2(221 aPaaPaaaPWMAN222226122 未開槽前立柱的最大壓應力未開槽前立柱的最大壓應力開槽后立柱的最大壓應力開槽后立柱的最大壓應力84222 aPaP 偏心拉伸或壓縮：偏心拉伸或壓縮：NAPcd 62cdaPWMyy62dcbPWMzz任意橫截面上的內(nèi)力：NPMPaMPbyz ,121233dcybPcdzPadcPIyMIzMANzzyy6622maxmaxdc

35、bPcdaPdcPWMWMANzzyytc 例：偏心拉伸桿，例：偏心拉伸桿，彈性模量為彈性模量為E，尺寸、，尺寸、受力如圖所示。求：受力如圖所示。求： 最大拉應力和最最大拉應力和最大壓應力的位置和數(shù)大壓應力的位置和數(shù)值。值。 解：解：(1)NPMPhMPbyz,22zzyyctWMWMANmaxmaxPbhPhbhPbhb26262275PbhPbh最大拉應力發(fā)生在最大拉應力發(fā)生在AB線上各點線上各點最大壓應力發(fā)生在最大壓應力發(fā)生在CD線上各點線上各點例題：例題： 圖示傳動軸，傳遞功率P=7.5Kw,軸的轉速n=100r/min。A、B為帶輪。輪A帶處于水平位置；輪B帶處于鉛垂位置。Fp1=

36、Fp1、 Fp2= Fp2為帶拉力。已知Fp1 Fp2， Fp2=1500N,兩輪直徑均為D=600mm,軸材料的許用應力=80Mpa。試按第三強度理論設計軸的直徑。解：一、簡化外力：NmnNT2 .7161005 .795499549:外加扭矩2)(21DFFTPP又：5400,3900121PpPFFF求出各支反力如圖。二、分析危險截面：由計算簡圖可見，軸在外力作用下，產(chǎn)生x0y面內(nèi)（z為中性軸）x0z面內(nèi)（y為中性軸）彎曲及繞x軸的扭轉xxy1） x0y面內(nèi)彎曲（ z為中性軸）2）x0z面內(nèi)彎曲（y為中性軸）1800N3600N5400NMzB=36000.4=1440Nmxyz5400

37、N6520NMyB=11200.4=448NmMyD=54000.25=1350NmCBDACBDAAB3)繞x軸的扭轉：T=716.2Nm 由內(nèi)力圖可見，B輪處為危險截面TTzx1120N22maxyzBwMMMMT)(mNMzx1440)(mNMy4481350 x三、按第三強度理論設計軸直徑：1）求第三強度理論相當彎矩：NmTMMTMMyzwr166910448. 044. 1716. 032222222232）按第三強度理論設計軸直徑：33WMrr由：32333dMrr即：mMdr33633107 .59108016693232討論討論：按第四強度理論？22475. 0TMMwr323

38、44dMrr3332rMd cbFAFbsbsbslbFAQ dhFAFbsbsbs24dFAQ 為充分利用材為充分利用材料，切應力和擠壓料，切應力和擠壓應力應滿足應力應滿足242dFdhFhd8 2bs 圖示接頭，受軸向力圖示接頭，受軸向力F F 作作用。已知用。已知F F=50kN=50kN，b b=150mm=150mm，=10mm=10mm，d d=17mm=17mm，a=80mm=80mm， =160MPa=160MPa， =120MPa=120MPa， bsbs=320MPa=320MPa，鉚釘和板的材，鉚釘和板的材料相同，試校核其強度。料相同，試校核其強度。 MPa1 .4310

39、1 .4301. 0)017. 0215. 0(1050)2(63dbFAN 解：解：1.1.板的拉伸強度板的拉伸強度 dba2.2.鉚釘?shù)募羟袕姸茹T釘?shù)募羟袕姸?MPa11010110017. 01050222462322dFdFAQ3.3.板和鉚釘?shù)臄D壓強度板和鉚釘?shù)臄D壓強度MPa1471014701. 0017. 021050263bsbsbsbsdFAP 結論：強度足夠。結論：強度足夠。 dba 例：例：圖示桿，圖示桿，1 1段為直徑段為直徑 d d1 1=20mm=20mm的圓桿，的圓桿，2 2段為邊長段為邊長a=25mma=25mm的方桿，的方桿，3 3段為直徑段為直徑d d3 3

40、=12mm=12mm的圓桿。已知的圓桿。已知2 2段桿內(nèi)的應力段桿內(nèi)的應力2 2=-30MPa=-30MPa，E=210GPaE=210GPa，求整個桿的伸長，求整個桿的伸長l l解解: :PA22230251875.kN333222111AElNAElNAElNl4012.02.0025.04.0402.02.010210187502229縮短）( mm272.0BDC4m3m例題：簡單托架，BC桿為圓鋼，直徑d=20mm，BD桿為8號槽鋼。=160MPa，E=200GPa，P=60KN，試求B點的位移。解：一、分析構件受力：取B點研究P1N2NPKNPNKNPN7545454321（“-”

41、表示2N與圖示方向相反，為壓力）B1N2NP二、分析計算B點的位移：假想把B節(jié)點松開，B222222111111BBAELNBBAELN受力后B點移到B其位移2121BBBBBB2BB1B3B4BBDC3mP4msin231BBctgBBBB3231232cosBBBBBBBB3311mBBAELNcmAmBBAELN349322222222362931111111083.11024.10102005107524.101015.2102041020031045查型鋼表得mctgBBBBBB31223311109.3)cos(sinmBBBBBB321211045.4例例 求梁的轉角方程和撓度方

42、程，并求最大轉角和最大撓度，求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：lFaFlFbFByAy,2 2）彎矩方程）彎矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：maxvab1x2xACDFxAyFByFAByB3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分111)(xlFbxMvEI 121112)(CxlFbxEIvEI1113116DxCxlFbEIvAC AC

43、 段：段：ax 10)()(2222axFxlFbxMvEI 222222)(22)(2CaxFxlFbxEIvEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIvCB CB 段：段：lxa2maxvab1x2xACDFxAyFByFAByB4 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)0)(,22lvlx0)0(, 011vx代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件)()(,2121aaaxx )()(,2121avavaxxlFbFblCC661321 021 DDmaxvab1x2xACDFxAyFByFAByB5 5）確定轉角方程和撓度方程）確

44、定轉角方程和撓度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIvAC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIvCB CB 段：段：lxa2maxvab1x2xACDFxAyFByFAByB6 6）確定最大轉角和最大撓度）確定最大轉角和最大撓度lEIalPablEIblPablEIblPblxBxA6)(|6)(6)(|222001將將 x = 0 和和 x = l 分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角lEIal

45、PabB6)(max當當 a b 時時, 右支座處截面的轉角絕對值為最大右支座處截面的轉角絕對值為最大3)2(3221baablxEIPblblEIPbvC2220625. 0)43(48簡支梁的最大撓度應在簡支梁的最大撓度應在0 v處處01先研究第一段梁，令先研究第一段梁，令得得當當 a b時，最大撓度確實在第一段梁中時，最大撓度確實在第一段梁中梁中點梁中點C處的撓度為處的撓度為EIPblbllEIPbvxx23221max0642.0)(39|1結論結論: 在簡支梁中在簡支梁中, 不論它受什么荷載作用不論它受什么荷載作用, 只要撓曲線上只要撓曲線上無無 拐點拐點, 其最大撓度值都可用梁跨中

46、點處的撓度值來代替其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替, 其精確度是能滿足工程要求的其精確度是能滿足工程要求的.對各段梁，都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上對各段梁，都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包含的外力來寫彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程。只增加了（前一段梁的彎矩方程。只增加了（x-a）的項。）的項。對（對（x-a）的項作積分時，應該將（）的項作積分時，應該將（x-a）項作為積分）項作為積分變量。從而簡化了確定積分常數(shù)的工作。變量。從而簡化了確定積分常數(shù)的工作。 已知簡支梁受力如圖示，已知簡支梁受力如圖示

47、，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C 截面的撓截面的撓度度v vC C ；B B截面的轉角截面的轉角 B B1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解321CCCCvvvv321BBBBvC1vC2vC32 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C C截面的截面的撓度和撓度和B B截面的轉角截面的轉角。EIqlB2431EIqlB1632EIqlB333EIqlvC384541EIqlvC4842EIqlvC1643解解vC1vC2vC33 3） 應用疊加法，將簡單載荷應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和作用時的結果求和 )(3841116483845444431EIqlE

48、IqlEIqlEIqlvviCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB 已知：懸臂梁受力如圖示，已知：懸臂梁受力如圖示，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C截面截面的撓度的撓度v vC C和轉角和轉角 C C1 1）首先，將梁上的載荷變成）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形有表可查的情形 為了利用梁全長承受均為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效了不改變原來載荷作用的效果，在果，在AB AB 段還需再加上集段還需再加上集度相同、方向相反的均

49、布載度相同、方向相反的均布載荷。荷。 CvCv2Cv1Cv2Bv,841EIqlvC,248128234222lEIqlEIqllvvBBCEIqlC631EIqlC4832 EIqlvviCiC384414213 3）將結果疊加）將結果疊加 EIqliCiC4873212 2）再將處理后的梁分解為簡單）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自載荷作用的情形，計算各自C C截截面的撓度和轉角。面的撓度和轉角。 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關，而且還與梁的材料、截面尺寸、形荷情況有關，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關。

50、所以，要想提高彎曲剛度，狀和梁的跨度有關。所以，要想提高彎曲剛度，就應從上述各種因素入手。就應從上述各種因素入手。一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度EI二、改變加載方式和支承情況二、改變加載方式和支承情況三、減小跨度或增加支承三、減小跨度或增加支承1. 1. 選擇合理的截面形狀從而選擇合理的截面形狀從而, ,增大截面的慣性矩增大截面的慣性矩I2.2.改善結構形式，減少彎矩數(shù)值改善結構形式，減少彎矩數(shù)值改改變變支支座座形形式式改改變變載載荷荷類類型型%5 .6212CCww三、拉壓超靜定問題三、拉壓超靜定問題 兩端固定的等直桿兩端固定的等直桿AB橫截面積為橫截面積為A，彈性模量為，彈性模量

51、為E，在，在C點點 處承受軸力處承受軸力P的作用，如圖的作用，如圖 所示所示 。計算約束反力。計算約束反力。PblBACRByPBRAAC這是一次超靜定問題。這是一次超靜定問題。PblBAC平衡方程為平衡方程為PRRBABACC1lAC 變形協(xié)調(diào)條件：桿的總長度不變變形協(xié)調(diào)條件：桿的總長度不變lCB = =RByPBRAACPblBAC變形幾何方程為：變形幾何方程為：llCBAC EAaRlAAC EAbRlBCB BACC1lCB = =RByPBRAACPblBAClAC 補充方程為補充方程為EAbREAaRBA平衡方程為平衡方程為PRRBAlPbRAlPaRBBACC1lCB = =RB

52、yPBRAACPblBAClAC 3 3桿材料相同，桿材料相同，ABAB桿面積為桿面積為200mm200mm2 2，ACAC桿面積為桿面積為300 mm300 mm2 2，ADAD桿面積為桿面積為400 mm400 mm2 2，若若F=30kNF=30kN，試計算各桿的應力。，試計算各桿的應力。32lllADAB列出平衡方程：列出平衡方程：0 xF0320130cos30cosNNNFNNFy030130sin30sin0即：即： 1323321NNN 2231FNN列出變形幾何關系列出變形幾何關系 ，則則ABAB、ADAD桿長為桿長為l解：解：設設ACAC桿桿長為桿桿長為F F30ABC30

53、D123F FAxy1N2N3N 即：即： 1323321NNN 2231FNN列出變形幾何關系列出變形幾何關系 F F30ABC30D123xyF FA1N2N3NxyAAxy將將A A點的位移分量向各桿投點的位移分量向各桿投影影. .得得00130cos30sinxyl xl200330cos30sinxyl 021330cos2 lll變形關系為變形關系為 2133 lll代入物理關系代入物理關系22113333232EAlNEAlNEAlN 322213NNN整理得整理得 F F30ABC30D123xyF FA1N2N3NxyAAxy 1323321NNN 2231FNN 32221

54、3NNN聯(lián)立聯(lián)立，解得：，解得：kN6 .34323FNMPa6 .863（壓）（壓）MPa8 .262kN04. 8232FN（拉）（拉）MPa1271kN4 .253221FN（拉）（拉） ABCD 2 21 13 3l 圖示桿系，若圖示桿系，若3桿尺寸有微小誤桿尺寸有微小誤差，則在桿系裝配好后，各桿將差，則在桿系裝配好后，各桿將處于圖中位置，因而產(chǎn)生軸力。處于圖中位置，因而產(chǎn)生軸力。3桿的軸力為拉力，桿的軸力為拉力，1、2桿的軸桿的軸力為壓力。這種附加的內(nèi)力就稱力為壓力。這種附加的內(nèi)力就稱為為裝配內(nèi)力裝配內(nèi)力。與之相對應的應力稱為與之相對應的應力稱為裝配應力裝配應力。A裝裝 配配 應應

55、力力l 3代表桿代表桿3 的伸長的伸長l 1代表桿代表桿1 1或桿或桿2 的縮短的縮短 代表裝配后代表裝配后 A 點的位移點的位移 ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 (1) (1) 變形幾何方程變形幾何方程 l3 cos1l cos13ll(2) (2) 物理方程物理方程AElNl1111cos AElNl3333 ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 補充方程為補充方程為 2111333cosAElNAElNABCD 2 21 13 3Al 1 l 3 N1N3N2(4) (4) 平衡方程平衡方程0sinsin21 NN0co

56、scos213 NNNABCD 2 21 13 3Al 1 l 3l補充方程為補充方程為 2111333cosAElNAElN0sinsin21 NN0coscos213 NNN與平衡方程聯(lián)立與平衡方程聯(lián)立ABCA1B1C112aa 例題例題 ：兩鑄件用兩根鋼桿1、2連接，其間距為L=200mm。現(xiàn)要將制造得過長了e=0.11mm的銅桿3裝入鑄件之間，并保持三根桿的軸線平行且等間距a。試計算各桿內(nèi)的裝配應力。已知：鋼桿直徑 d=10mm，銅桿橫截面積為2030mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa。鑄件很厚，其變形可略去不計，故可看作剛體。leC1C3（c)A

57、BCA1B1C112ell 31變形幾何方程為變形幾何方程為C1leC3(b)ll21 l3EAlNl11 AElNl3333 代入代入eLL31 得補充方程得補充方程EAlNeAElN133-3 NN2 1列平衡方程列平衡方程0 NNN213aaxBCAN N1 1N N2 2N N3 3(d)解三個聯(lián)立方程解三個聯(lián)立方程AEN-eAEN1333ll NN21 0NNN213 即可得裝配內(nèi)力，進而求出裝配應力。即可得裝配內(nèi)力，進而求出裝配應力。 溫度應力溫度應力 例題例題 ： 圖圖 示等直桿示等直桿 AB 的兩端分別與剛性支承連結。的兩端分別與剛性支承連結。 設兩支承的距離（即桿長）為設兩支

58、承的距離（即桿長）為 l，桿的橫截面，桿的橫截面 面積為面積為 A，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為 E，線膨脹系數(shù)，線膨脹系數(shù) 為為 。試求溫度升高。試求溫度升高 T時桿內(nèi)的時桿內(nèi)的溫度應力溫度應力。B解：解：這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題變形協(xié)調(diào)條件是，桿變形協(xié)調(diào)條件是，桿的總長度不變。即的總長度不變。即0 l相應的相應的桿的變形為兩部分，桿的變形為兩部分，即由溫度升高引起的即由溫度升高引起的變形變形 lT 以及與軸向以及與軸向壓力壓力PP21 彈性變形彈性變形 lNABP1P2lNlABBAlT 變形幾何方程是變形幾何方程是0lllNT EANllN lTlT 由以上三式得溫度內(nèi)

59、力由以上三式得溫度內(nèi)力TEAN 由此得溫度應力由此得溫度應力TEAN BABP1P2lNlABBAlT 例例 桁架由三根抗拉壓剛度均為桁架由三根抗拉壓剛度均為 EA EA 的桿在的桿在 A 點絞接，點絞接， 試求由于溫度升高試求由于溫度升高 T T 而引起的溫度應力。材料的而引起的溫度應力。材料的 線膨脹系數(shù)為線膨脹系數(shù)為 。1 13 32 2AB BD DC C l1 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A 1Al 3l 1A N1N2N3解：若溫度升高解：若溫度升高 T T時節(jié)點時節(jié)點A下降至下降至 A1處處, ,則三根桿的伸長分別為則三根桿的伸長分別為l 1l 2

60、l 3, , ,且且l 1= =l 2, ,假設假設N1、N2 為壓力為壓力, ,N3 為拉力為拉力(1) (1) 平衡方程平衡方程 0coscos0213 NNNy0sinsin021 NNx1 13 32 2AB BD DC C l1 13 32 2A Al 3l 1A N1N2N3(2) (2) 變形幾何方程變形幾何方程 cos321lll1 13 32 2AB BD DC C l1 13 32 2A Al 3l 1A N1N2N3(3) (3) 物理方程物理方程 桿件變形包括溫度引起的變形和彈性變形兩部分，桿件變形包括溫度引起的變形和彈性變形兩部分， 計算時伸長為正縮短為負。計算時伸長