立體幾何大題

1、立體幾何1 【2015高考新課標2，理19】（本題滿分12分）如圖，長方體中,，點，分別在，上，過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形DD1C1A1EFABCB1（）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）詳見解析；（）【考點定位】1、直線和平面平行的性質；2、直線和平面所成的角【名師點睛】根據(jù)線面平行和面面平行的性質畫平面與長方體的面的交線；由交線的位置可確定公共點的位置，坐標法是求解空間角問題時常用的方法，但因其計算量大的特點很容易出錯，故坐標系的選擇是很重要的，便于用坐標表示相關點，先求出面的法向量，利用求直線與平面所成角的正弦值

2、2 【2015江蘇高考，16】（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，已知，設的中點為，.求證：（1）； （2）.ABCDEA1B1C1【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題分析（1）由三棱錐性質知側面為平行四邊形,因此點為的中點，從而由三角形中位線性又因為，平面，平面，所以平面又因為平面，所以因為，所以矩形是正方形，因此因為，平面，所以平面又因為平面，所以【考點定位】線面平行判定定理，線面垂直判定定理【名師點晴】不要忽視線面平行的判定定理中線在面外條件證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線, 常利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質，或者構造

3、平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行. 證明線面垂直時，不要忽視面內兩條線為相交線這一條件證明直線與平面垂直的關鍵在于熟練把握空間垂直關系的判定與性質，注意平面圖形中的一些線線垂直關系的靈活利用，這是證明空間垂直關系的基礎3 【2015高考安徽，理19】如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點，過的平面交于F. （）證明：； （）求二面角余弦值.【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（）證明：依據(jù)正方形的性質可知，且，從而為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定定理知面，再由線面平行的性質定理知.（）因為四邊形，均為正方形，所以，且，可以建以為原點，分別以為軸，軸，軸單位正向量的平面直角坐

4、標系，寫出相關的點的坐標，設出面的法向量.由得應滿足的方程組，為其一組解，所以可取.同理的法向量.所以結合圖形知二面角的余弦值為.試題解析：（）證明：由正方形的性質可知，且，所以四邊形為平行四邊形，從而，又面，面，于是面，又.設面的法向量，而該面上向量，由此同理可得.所以結合圖形知二面角的余弦值為.【考點定位】1.線面平行的判定定理與性質定理；2.二面角的求解.【名師點睛】解答空間幾何體中的平行、垂直關系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間的平行、垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理；求二面角，則通過求兩個半平面的法向量的夾角間接求解.此時建立恰

5、當?shù)目臻g直角坐標系以及正確求出各點的坐標是解題的關鍵所在.4 【2015江蘇高考，22】（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯 形，, （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長PABCDQ【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）求二面角，關鍵求出兩個平面的法向量，本題中平面法向量已知，故關鍵求平面的法向量，利用向量垂直關系可列出平面的法向量兩個獨立條件，再根據(jù)向量數(shù)量積求二面角余弦值（2）先建立直線CQ與DP所成角的函數(shù)關系式：設,則,再利用導數(shù)求其最值，確定點Q坐標，最后利用向量模求線段B

6、Q的長學優(yōu)高考網試題解析：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點的坐標為，（1）因為平面，所以是平面的一個法向量，因為，設平面的法向量為，則，即令，解得，所以是平面的一個法向量從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為（2）因為，設（），【考點定位】空間向量、二面角、異面直線所成角【名師點晴】1求兩異面直線a，b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|.2求直線l與平面所成的角可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.3求二面角 l 的大小，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n25 【2015高

7、考福建，理17】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點.()求證：平面 ； ()求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值【答案】()詳見解析；() 【解析】解法一：（）如圖，取的中點，連接，又G是BE的中點，學優(yōu)高考網又F是CD中點，由四邊形ABCD是矩形得，所以從而四邊形是平行四邊形，所以，,又，所以()如圖，在平面BEC內，過點B作,因為又因為AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ以B為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,

8、0,0)，F(xiàn)(2,2,1)因為AB平面BEC，所以為平面BEC的法向量，設為平面AEF的法向量.又由取得.從而所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為解法二：()如圖，取中點，連接，又是的中點，可知，又（）同解法一【考點定位】1、直線和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷和性質；3、二面角【名師點睛】本題考查直線和平面平行的證明和二面角求法，直線和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性質來證，注意線線平行、線面平行、面面平行的轉化；利用坐標法求二面角，主要是空間直角坐標系的建立要恰當，便于用坐標表示相關點，求出半平面法向量夾角后，要觀察二面角是銳角還是鈍角，正確寫出二面角的余

9、弦值6 【2015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱-中，在底面的射影為的中點，為的中點.（1）證明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.試題分析：（1）根據(jù)條件首先證得平面，再證明，即可得證；（2）作，且，可證明為二面角的平面角，再由余弦定理即可求得，從而求解.試題解析：（1）設為的中點，由題意得平面，故平面，由，分別，的中點，得且，從而，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面；（2）作，且，連結，由，得，由，得，由，得，因此為二面角的平面角，由，得，由余弦定理得，.【考點定位】1.線面垂直的判定與性質；2.二面角的求解【名師點睛】本題主要考查了線面垂

10、直的判定與性質以及二面角的求解，屬于中檔題，在解題時，應觀察各個直線與平面之間的位置關系，結合線面垂直的判定即可求解，在求二面角時，可以利用圖形中的位置關系，求得二面角的平面角，從而求解，在求解過程當中，通常會結合一些初中階段學習的平面幾何知識，例如三角形的中位線，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等，在復習時應予以關注.7 【2015高考山東，理17】如圖，在三棱臺中，分別為的中點.（）求證：平面；（）若平面， ， ,求平面與平面 所成的角（銳角）的大小.【答案】（I）詳見解析；（II） 【解析】試題分析：（I）思路一：連接，設，連接，先證明，從而由直線與平面平行的判定定理得平面

11、；思路二：先證明平面 平面 ，再由平面與平面平行的定義得到平面.（II）思路一：連接，設，連接，證明 兩兩垂直, 以 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作 于點 ，作 于點 ，連接，證明 即為所求的角，然后在三角形中求解.試題解析： (I)證法一：連接，設，連接，在三棱臺中，為的中點可得學優(yōu)高考網所以四邊形為平行四邊形則為的中點又為的中點所以 又平面 平面所以平面證法二：在三棱臺中，由為的中點因為 平面 所以 平面 （II）解法一：設 ，則 在三棱臺中，為的中點由 ，可得四邊形 為平行四邊形，因此 又平面 所以平面 在中，由 ，是中點，所以 因此 兩

12、兩垂直,以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 所以 可得 故 設 是平面 的一個法向量，則學優(yōu)高考網由 可得 可得平面 的一個法向量因為 是平面 的一個法向量，所以 所以平面與平面所成的解(銳角)的大小為 解法二：作 于點 ，作 于點 ，連接 由 平面 ，得 又 所以平面 因此所以 即為所求的角所以平面與平面所成角（銳角）的大小為 .【考點定位】1、空間直線與平面的位置關系；2、二面角的求法；3、空間向量在解決立體幾何問題中的應用.【名師點睛】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質，全面考查立幾何中的證明與求解，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾

13、何問題是一種成熟的方法，要注意建立適當?shù)目臻g直角坐標系以及運算的準確性.8 【2015高考天津，理17】（本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，側棱,且點M和N分別為的中點.(I)求證：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長【答案】(I)見解析； (II) ； (III) .【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，依題意可得，又因為分別為和的中點，得.學優(yōu)高考網(I)證明：依題意，可得為平面的一個法向量， 由此可得，又因為直線平面，所以平面(II)，設為平面的法向量，則，即，不妨設，可得，設為平面的一個法向量，則，又，得，不妨設，可得【

14、考點定位】直線和平面平行和垂直的判定與性質，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應用.【名師點睛】本題主要考查直線和平面平行和垂直的判定與性質，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應用.將立體幾何向量化，體現(xiàn)向量工具的應用，即把幾何的證明與計算問題轉化為純代數(shù)的計算問題，是向量的最大優(yōu)勢，把空間一些難以想象的問題轉化成計算問題，有效的解決了一些學生空間想象能力較差的問題.9 【2015高考重慶，理19】如題（19）圖，三棱錐中，平面分別為線段上的點，且 （1）證明：平面 （2）求二面角的余弦值?！敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證線線垂直，題中由

15、平面，可知，再分析已知由得，這樣與垂直的兩條直線都已找到，從而可得線面垂直；（2）求二面角的大小，可心根據(jù)定義作出二面角的平面角，求出這個平面角的大小，本題中，由于，平面，因此兩兩垂直，可以他們?yōu)檩S建立空間直角坐標系，寫出圖中各點的坐標，求出平面和平面的法向量，向量的夾角與二面角相等或互補，由此可得結論學優(yōu)高考網試題解析：(1)證明：由PC平面ABC，DE平面，故PCDE由CE，CD=DE得為等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD內兩條相交直線，故DE平面PCD (2)解：由（）知，CDE為等腰直角三角形，DCE，如（）圖，過點作DF垂直CE于，易知DFFCEF，又已知

16、EB，故FB 由ACB得DFAC，故ACDF以為坐標原點，分別以的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則(0,0,0,)，(0,0,3)，(,0,0),(0,2,0)，(1,1,0)，設平面的法向量，從而法向量，的夾角的余弦值為，故所求二面角A-PD-C的余弦值為.【考點定位】考查線面垂直，二面角考查空間想象能力和推理能力【名師點晴】立體幾何解答題的一般模式是首先證明線面位置關系(一般考慮使用綜合幾何方法進行證明)，然后是與空間角有關的問題，綜合幾何方法和空間向量方法都可以，但使用綜合幾何方法要作出二面角的平面角，作圖中要伴隨著相關的證明，對空間想象能力與邏輯推理能力有較高的要求

17、，而使用空間向量方法就是求直線的方向向量、平面的法向量，按照空間角的計算公式進行計算，也就是把幾何問題完全代數(shù)化了，這種方法對運算能力有較高的要求兩種方法各有利弊，在解題中可根據(jù)情況靈活選用10 【2015高考四川，理18】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設的中點為，的中點為（1）請將字母標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）（2）證明：直線平面（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）點F、G、H的位置如圖所示.（2）詳見解析.（3）【解析】（1）點F、G、H的位置如圖所示.所以，且，且，所以，所以是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面.（3）連結AC

18、，過M作于P. 在正方形中，所以.過P作于K，連結KM，所以平面，從而.學優(yōu)高考網所以是二面角的平面角.設，則，在中，.在中，.所以.即二面角的余弦值為.（另外，也可利用空間坐標系求解）【考點定位】本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行的判定與性質、空間面面夾角的計算等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力.【名師點睛】立體幾何解答題的考查內容，不外乎線面、面面位置關系及空間夾角與距離的計算. （1）注意ABCD是底面，將平面展開圖還原可得點F、G、H的位置. （2）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，應考慮證明MN平行于平面BDH內的一條直線.連結O、M，易得是平行四邊形，

19、從而，進而證得平面.（3）要作出二面角的平面角，首先要過M作平面AEGC的垂線，然后再過垂足作棱EG的垂線，再將垂足與點M連結，即可得二面角的平面角. 11 【2015高考湖北，理19】九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接 （）證明：試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（）若面與面所成二面角的大小為，求的值【答案】（）詳見解析；（）.故是面與面所成二面角的平面角， 設，有，在RtPDB中, 由, 得, 則 , 解得. 所

20、以 故當面與面所成二面角的大小為時，. （解法2）（）如圖2，以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系. 設，則，點是的中點，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 則, 所以.由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為. （）由，所以是平面的一個法向量；由（）知，所以是平面的一個法向量. 若面與面所成二面角的大小為，學優(yōu)高考網則，解得. 所以 故當面與面所成二面角的大小為時，. 【考點定位】四棱錐的性質，線、面垂直的性質與判定，二面角.【名師點睛】立體幾何是高考的重點和熱點內容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固

21、定，思路簡潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時，兩個向量夾角與二面角相等還是互補是這種解法的難點，也是學生的易錯易誤點解題時正確判斷法向量的方向，同指向二面角內或外則向量夾角與二面角互補，一個指向內另一個指向外則相等12 【2015高考陜西，理18】（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，是的中點，是與的交點將沿折起到的位置，如圖 （I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值【答案】（I）證明見解析；（II）(II)由已知，平面平面，又由（I）知，所以為二面角的平面角，所以.如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，因為，所以得 ，.設平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為

22、，則，得，取，得，取，從而，學優(yōu)高考網即平面與平面夾角的余弦值為.考點：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標系；4、空間向量在立體幾何中的應用.【名師點晴】本題主要考查的是線面垂直、二面角、空間直角坐標系和空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線13 【2015高考新課標1，理18】如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AE

23、EC.（）證明：平面AEC平面AFC；（）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【答案】（）見解析（）又AEEC，EG=，EGAC，在RtEBG中，可得BE=，故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如圖，以G為坐標原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F(xiàn)（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 12分【考點

24、定位】空間垂直判定與性質；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力【名師點睛】對空間面面垂直問題的證明有兩種思路，思路1：幾何法，先由線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；思路2：利用向量法，通過計算兩個平面的法向量，證明其法向量垂直，從而證明面面垂直；對異面直線所成角問題，也有兩種思路，思路1：幾何法，步驟為一找二作三證四解，一找就是先在圖形中找有沒有異面直線所成角，若沒有，則通常做平行線或中位線作出異面直線所成角，再證明該角是異面直線所成角，利用解三角形解出該角.14 【2015高考北京，理17】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點() 求證：；() 求二面

25、角的余弦值；() 若平面，求的值【答案】(I)證明見解析；（II）；（III）【解析】試題分析：證明線線垂直可尋求線面垂直，利用題目提供的面面垂直平面平面，借助性質定理證明平面EFCB，進而得出線線垂直，第二步建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，設平面AEB的法向量，利用線線垂直，數(shù)量積為零，列方程求出法向量，再根據(jù)二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于，要想平面，只需，利用向量的坐標，借助數(shù)量積為零，求出的值，根據(jù)實際問題予以取舍.（）由（I）知平面EFCB，則，若平面，只需，又，解得或，由于，則.考點：本題考點為線線垂直的證明和求二面角

26、，要求學生掌握空間線線、線面的平行與垂直的判定與性質，利用法向量求二面角以及利用數(shù)量積為零解決垂直問題.【名師點睛】本題考查線線、線面垂直及求二面角的相關知識及運算，本題屬于中檔題，熟練利用有關垂直的判定定理和性質定理進行面面垂直、線面垂直、線線垂直之間的轉化與證明，另外利用空間向量解題時，要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，準確寫出空間點的坐標，利用法向量求二面角，利用數(shù)量積為零，解決線線、線面垂直問題.15 【2015高考廣東，理18】如圖2，三角形所在的平面與長方形所在的平面垂直，.點是邊的中點，點、分別在線段、上，且，（1）證明：；（2）求二面角的正切值；（3）求直線與直線所成角的余弦值【答案】（

27、1）見解析；（2）；（3）【解析】（1）證明： 且點為的中點， ，又平面平面，且平面平面，平面， 平面，又平面， ；（2） 是矩形， ，又平面平面，且平面平面，平面， 平面，又、平面， ， 即為二面角的平面角，在中， 即二面角的正切值為；（3）如下圖所示，連接， ，即， ， 為直線與直線所成角或其補角，在中，由余弦定理可得， 直線與直線所成角的余弦值為【考點定位】直線與直線垂直、二面角、異面直線所成角學優(yōu)高考網【名師點睛】本題主要考查平面與平面垂直，直線與平面垂直，直線與直線垂直，二面角，異面直線所成角等基礎知識和空間想象能力、轉化與化歸思想、運算求解能力，屬于中檔題，本題整體難度不大，無論是利用空間向量方法還是傳統(tǒng)的幾何法都容易入手解答，但解答過程需注意邏輯性和書寫的規(guī)范性16 【2015高考湖南，理19】如圖，已知四棱臺上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，且底面，點，分別在棱，BC上.（1）若P是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標可知問題等價于證明；（2）根據(jù)條件二