離散時間信號的傅立葉變換(DTFT)-數(shù)字信號處理

1、2.22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT）2.2.1 DTFT2.2.1 DTFT定義定義離散時間序列的傅立葉變換 是的連續(xù)函數(shù)，且是周期的，周期為2。 0nnjje )n(x)e (XdeeXnxnjj)(21)()e (Xj2.22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT）四種形式的傅立葉變換1）連續(xù)、非周期x（t） 連續(xù)、非周期2）連續(xù)、周期x（t） 離散、非周期dte ) t (x)j (Xtj2/T2/Tt0jk0dte ) t (xT1)k(X2.22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DT

2、FTDTFT）3）離散、非周期x（n） 連續(xù)、周期4）離散、周期 離散、周期0nnjje )n(x)e (X1N0nnkN2je )n(x)k(X2.22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT）o 總結：若x在時域是周期的，那么在頻域X一定是離散的，o 若x在時域是非周期的，那么X一定是連續(xù)的。o 第四種變換在時域和頻域都是離散的，且都是周期的，周期都為N點，在計算機上能方便地利用DFT來實現(xiàn)信號的頻譜分析。2.22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT） 時域卷積定理： y(n)=x(n)*h(n) 頻域卷積定理： 若 y(

3、n)= x(n) h(n) ，則)e (H)e (X)e (Yjjj)e (H)e (X)e (Yjjj2.22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT） Parseval（巴塞伐）定理：信號在時域的總能量等于其頻域的總能量，頻域的總能量等于 在一個周期內的積分。d)e (E21d)e (X21)n(xxj2j2n222j)e (X2.22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT）2.DTFT2.DTFT的反變換公式的反變換公式傅立葉系數(shù)展開式為 deeXnxnjj)(21)(nnjnjeC)e (XdeeXCnjjn)(212.

4、22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT）Wiener-khinchin （維納-辛欽）定理： 若x(n)是功率信號，其自相關函數(shù)的定義為： 功率信號x(n)的功率譜 為： NNnx)mn(x)n(x1N21)m(r)e (PjX1N2)e (Xlime )mn(x)n(x1N21lim)e (P2jN2NmjNNnNmjx2.2 2.2 離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT）此式稱為確定性信號的維納-辛欽定理，它說明功率信號x(n)的自相關函數(shù)和其功率譜是一對傅立葉變換信號的總功率 NnNn0)n(x)n(xN2d)e (P

5、21Pjxx2.22.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFTDTFT）o 小結：不管x(n)是實信號還是復信號，其功率譜 始終是的實函數(shù)，即功率譜失去了相位信息。2.2.2 2.2.2 信號截短對信號截短對DTFTDTFT的影響的影響例：將一個n=-+的無限長信號x (n) 截短，最簡單的方法是用一個窗函數(shù)去乘該信號，若所用的窗函數(shù)為矩形窗，即2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）那么，xN(n)=x (n)d (n),實現(xiàn)了對x (n)的自然截短。 解：先研究d (n)的

6、頻譜特點：為其他值n1N, 1 , 0n01)n(d)ee (e)ee (ee1e1ee )n(d)e (D2/j2/j2/j2/Nj2/Nj2/Njjnj1N0nnj1N0nnjj2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）即：記 )2/sin()2/Nsin(e)e (D2/ )1N(jj)2/sin()2/Nsin()e (Dgj2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT） 可理解為 的增益，可正可負，當=0時， 當N/2=k時，=2k/N時， 在=0兩邊第一個過零點間的部分稱為 的主瓣，對矩形窗來說，該主瓣寬度B=4/N，主瓣以外部分（|

7、2/N）稱為 的邊瓣，顯然，N增大時，主瓣寬度B減小，當N時， 趨于（），這時相當于對信號沒有截短。 )e (Dgj)e (DjN)e (Dgj0)e (Dgj)e (Dgj)e (Dj)e (Dj)e (Dj2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）若xN(n)=x (n) d (n) ，那么卷積的結果是 的主瓣對 起到了“平滑”的作用，降低了 中譜峰的分辨能力。加窗對頻域分析帶來的另一個影響是頻譜泄露（leakage）)e (D)e (X)e (XjjjN)e (Dj)e (Xj)e (Xj2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）例如：

8、假設x (n)為兩個正弦信號之和，那么起頻譜在1，2處各有一個譜線，若 的主瓣寬度4/N大于|2-1|，那么在 中將分辨不出這兩根譜線，這是由于窗函數(shù)d（n）過短，而使其頻譜的主瓣過寬，邊瓣過大所引起的，若增加數(shù)據(jù)長度N，使4/N|2 -1 |，那么，這兩個譜峰可分辨出。)e (Dgj)e (XjN2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）例：令即 是頻域的矩形函數(shù)，所以，對應的 x (n)為 sinc 函數(shù)，現(xiàn)對x (n)用矩形窗d（n），n=0，30來截短，試分析截短后對x (n)頻譜的影響。4 . 04 . 0031)e (Xj)e (Xj2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）解：記 xN(n)=x (n) d (n) 從結果可以看出， 在 原來為零的位置 |04）處以不再為零，這是由于不再零，這是由于 的邊瓣所產(chǎn)生的，這種現(xiàn)象稱為頻譜的泄露。 )e (D)e (X)e (XjjjN)e (XjN)e (Xj)e (Dj2.2離散時間信號的傅立葉變換（離散時間信號的傅立葉變換（DTFT） 邊瓣越大，且衰減得越慢，泄露就越嚴重，在頻譜分析中，泄露往往會模糊原來的形狀，窗函數(shù)過大的邊瓣有可能產(chǎn)生虛假的峰值，這些都是不希望的。 但在實際工