數(shù)學(xué)高等代數(shù)第五版!10

1、第一章 基本概念1.1 集合1.2 映射1.3 數(shù)學(xué)歸納法1.4 整數(shù)的一些整除性質(zhì)1.5 數(shù)環(huán)和數(shù)域課外學(xué)習(xí)1: 山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村 /maths/PDF/1.htm評(píng)析數(shù)學(xué)進(jìn)程中的三次危機(jī)在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要?？低袪枺–antor,集合論的奠基人，18451918）算術(shù)給予我們一個(gè)用之不竭的、充滿有趣真理的寶庫。-高斯（Gauss,1777-1855）數(shù)可以說成是統(tǒng)治整個(gè)量的世界，而算術(shù)的四則可以被認(rèn)為是作為數(shù)學(xué)家的完全的裝備。-麥斯韋(James Clark Maxwell 1831-1879) 1.1集合內(nèi)容分布1

2、.1.1 集合的描述性定義1.1.2 集合的表示方法1.1.3 集合的包含和相等1.1.4 集合的運(yùn)算及其性質(zhì)教學(xué)目的 掌握集合概念、運(yùn)算、證明集合相等的一般方法重點(diǎn)、難點(diǎn) 集合概念、證明集合相等1.1.1 集合的描述性定義表示一定事物的集體，我們把它們稱為集合或集，如“一隊(duì)”、“一班”、“一筐”. 組成集合的東西叫這個(gè)集合的元素. 我們常用大寫拉丁字母A，B，C，表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，表示元素. 如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作 ；或者說A包含a，記作Aa如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作 ；或者說A不包含a，記作例如，設(shè)A是一切偶數(shù)所成的集合，那么4A， 而

3、 . 一個(gè)集合可能只含有有限多個(gè)元素，這樣的集合叫做有限集合. 如，前十個(gè)正整數(shù)的集合；一個(gè)學(xué)校的全體學(xué)生的集合；一本書里面的所有漢字的集合等等這些都是有限集合. 如果一個(gè)集合是由無限多個(gè)元素組成的，就叫做無限集合. 如，全體自然數(shù)的集合；全體實(shí)數(shù)的集合；小于的全體有理數(shù)的集合等等都是無限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示為：1.1.2 集合的表示方法枚舉法:例如,我們把一個(gè)含有n個(gè)元素的集合的有限集合 表示成： . 前五個(gè)正整數(shù)的集合就可以記作 .枚舉僅用來表示有限集合.擬枚舉:自然數(shù)的集合可以記作 , 擬枚舉可以用來表示能夠排列出來的的集合, 像自然數(shù)、整數(shù)概括原則:如果一個(gè)集A是由

4、一切具有某一性質(zhì)的元素所組成的，那么就用記號(hào)來表示. 例如 表示一切大于-1且小于1的實(shí)數(shù)的所組成的集合. 常用的數(shù)集：全體整數(shù)的集合，表示為Z全體有理數(shù)的集合，表示為Q全體實(shí)數(shù)的集合，表示為R全體復(fù)數(shù)的集合，表示為C1.1.3 集合的包含和相等設(shè)A，B是兩個(gè)集合，如果A的每一元素都是B的元素，那么就說是的子集，記作 （讀作屬于），或記作 （讀作包含）. 根據(jù)這個(gè)定義，是的的子集必要且只要對(duì)于每一個(gè)元素x，如果 ，就有 . 例如，一切整數(shù)的集合是一切有理數(shù)的集合的子集，而后者又是一切實(shí)數(shù)的集合的子集. A是B的子集，記作：如果A不是B的子集，就記作： 或 . 因此，A不是B的子集，必要且只要A

5、中至少有一個(gè)元素不屬于B，即：例如，一節(jié)可以用被有整除的整數(shù)所成的集合，不是一切偶數(shù)所成的集合的子集，因?yàn)?屬于前者但不屬于后者. 集合1，2，3不是2，3，4，5的子集. 根據(jù)定義，一個(gè)集合A總是它自己的子集，即：如果集合A與B的由完全相同之處的元素組成部分的，就說A與B相等，記作：A=B. 我們有例如，設(shè)A=1，2，B是二次方程 的根的集合，則A=B. 1.1.4 集合的運(yùn)算及其性質(zhì)并運(yùn)算 設(shè)A，B是兩個(gè)集合. 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A與B的并集（簡稱并），記作 . 如圖1所示. AB例如，A=1，2，3，B =1，2，3，4，則又例如，A是一切有理數(shù)的集合，B是一切無

6、理數(shù)的集合，則 是一切實(shí)數(shù)的集合. 顯然，或根據(jù)定義，我們有交運(yùn)算 由集合A與B的公共元素所組成的集合叫做A與B的交集(簡稱交)，記作： ，如圖2所示.顯然，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，則我們有兩個(gè)集合A與B不一定有公共元素，我們就說它們的交集是空集. 例如，設(shè)A是一切有理數(shù)的集合，B是一切無理數(shù)的集合，那么 就是空集. 又如方程 的實(shí)數(shù)根的集合為空集. 空集是任意集合的子集. 運(yùn)算性質(zhì):交換律 :; 結(jié)合律 :; 分配律 :我們選取一個(gè)來證明.例1 證明證明 設(shè) ，那么 且 ，于是 且至少屬于B與C 中的之一. 若 ，那么因?yàn)?，所以， ；同樣，若 ，則 . 不論哪一種情形

7、都有 . 所以反之，若 ，那么 或者 . 但 ， ，所以不論哪一種情形都有 ，所以這就證明了上述等式. 兩個(gè)集的并與交的概念可以推廣到任意n個(gè)集合上去，設(shè) 是給定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的一切公共元素所成的集合叫做的 交. 的并和交分別記為： 和 . 我們有差運(yùn)算：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，令也就是說， 是由一切屬于A但不屬于B 的元素所組成的，稱為A與B 的差. 注意：并沒有要求B是A的子集. 例如，積運(yùn)算：設(shè)設(shè)A，B是兩個(gè)集合，令稱為A與B的笛卡兒積（簡稱為積）. 是一切元素對(duì)（a, b ）所成的集合，其中第一個(gè)位置的元素a取自A，第二個(gè)位置的元素b取自B. 12 映射

8、一、內(nèi)容分布1.2.1 映射的概念及例1.2.2 映射的相等及像1.2.3 映射的合成1.2.4 單射、滿射、雙射二、教學(xué)目的 掌握映射的概念, 映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。1.2.1 映射的概念及例定義1 設(shè)A，B 是兩個(gè)非空的集合，A到B 的一個(gè)映射指的是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，通過這個(gè)法則，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素 x，有集合B中一個(gè)唯一確定的元素 y 與它對(duì)應(yīng). 用字母f，g，表示映射. 用記號(hào) 表示f 是A到B的一個(gè)映射. 如果通過映射f，與A中元素x對(duì)應(yīng)的B中元素是y，那么就寫作 這時(shí)y 叫做 x 在f 之下的象，記作 .

9、例1 令Z是一切整數(shù)的集合. 對(duì)于每一整數(shù)n，令 與它對(duì)應(yīng). 那 f 是Z到Z的一個(gè)映射，例2 令R是一切實(shí)數(shù)的集合，B是一切非負(fù)實(shí)數(shù)的集合 對(duì)于每一 ，令 與它對(duì)應(yīng)； 那么 f 是R到B的一個(gè)映射. ，例3 設(shè) 這是A到B的一個(gè)映射. 例4 設(shè)A是一切非負(fù)被減數(shù)的集合，B是一切實(shí)數(shù)的集 合. 對(duì)于每一 ，令 與它對(duì)應(yīng). f 不是A 到B的映射， 因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 不能由x唯一確 定. 例5 令A(yù)=B等于一切正整數(shù)的集合. 不是A到B的一個(gè)映射，因?yàn)?.例6 設(shè)A是任意 一個(gè)集合，對(duì)于每一 ，令 與它對(duì)應(yīng)：這自然是A到A的一個(gè)映射，這個(gè)映射稱為集合A的恒等映射. 注意: A與B可以是相同的集合，也

10、可以是不同的集合 對(duì)于A的每一個(gè)元素x，需要B中一個(gè)唯一確定的元素與它對(duì)應(yīng). 一般說來，B中的元素不一定都是A中元素的象. A中不相同的元素的象可能相同. 1.2.2 映射的相等及像設(shè) 是一個(gè)映射. 對(duì)于 ，x的象 . 一切這樣的象作成B的一個(gè)子集，用 表示： ，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象. 例7令 ， . 那么 . 設(shè) ， 都是A到B的映射，如果對(duì)于每一 ，都有 ，那么就說映射f與g是相等的. 記作1.2.3 映射的合成設(shè) 是A到B 的一個(gè)映射， 是B 到C 的一個(gè)映射. 那么對(duì)于每一個(gè) ，因而是C中的一個(gè)元素. 因此，對(duì)于每一 ，就有C 中唯一的確定的元素 與它對(duì)應(yīng)，這樣就得到

11、A到C 的一個(gè)映射，這映射是由 和 所決定的，稱為 f 與g 的合成（乘積），記作 . 于是有 對(duì)于一切 ,f 與g 的合成可以用下面的圖示意：fgABC例8 設(shè)那么 例9 設(shè) A=1，2，3 那么 設(shè)給映射 ， ， ，有 . 但是，一般情況下 ， 設(shè)A是非空集合 ， 稱為設(shè)A上的 恒等映射。設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，用 和 表示A和B的恒等映射. 設(shè) 是A到B的一個(gè)映射. 顯然有： ， .1.2.4 單射、滿射、雙射定義2 設(shè)f 是A到B的一個(gè)映射，如果，那么說稱f 是A到B上的一個(gè)映射，這里也稱f 是一個(gè)滿映射，簡稱滿射. 是滿射必要且只要對(duì)于B中的每一元素y，都有A中元素x 使得 . 關(guān)于

12、映射，只要求對(duì)于A中的每一個(gè)元素x，有B中的一個(gè)唯一確定的元素y與它對(duì)應(yīng)，但是A中不同的元素可以有相同的象. 定義3 設(shè) 是一個(gè)映射，如果對(duì)于A中任意兩個(gè)元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就稱f是A到B的一個(gè)單映射，簡稱單射. 如果既是滿射，又是單射，即如果f 滿足下面兩個(gè)條件， 對(duì)于一切，那么就稱f 是A 到B 的一個(gè)雙射. 一個(gè)有限集集合的A到自身的雙射 叫做A的一個(gè)置換. 定理1.2.1 令 是集合A 到B 的一個(gè)映射. 那么以下兩個(gè)條件是等價(jià)的： f是一個(gè)雙射； 存在B到A的一個(gè)映射g ，使得 ， 再者，當(dāng)條件成立時(shí)，映射g是由f 唯一確 定的. 證 如果成立. 因?yàn)閒 是滿射，所以對(duì)于

13、B的每一個(gè)y，有 ，使得 又因?yàn)閒 是單射，所以這個(gè)x 是由y唯一確定的：即如果還有 使得 ，那么 . 我們規(guī)定，如果 . 則g是B到A的一個(gè)映射. 設(shè) . 而 . 我們有 所以 . 設(shè) ，而 . 那么 . 于是所以 . 故成立. 反過來，設(shè)成立. 先證明f 是滿射. 設(shè) ，令 . 由于 ，所以即f是滿射. 再證f 是單射設(shè) 而 由于 ，所以這說證明了f 是單射. 因此，f 是A到B 的雙射. 最后，設(shè)成立. 令 和 都具有性質(zhì):， 那么由和，我們有 所以 g 是由 f 唯一確定的. 定理被證明. ， 設(shè)f 是A到B的一個(gè)映射，我們把滿足定理1.2.1條件的映射 叫做f 的逆映射. 由定理1.

14、2.1，一個(gè)映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的話，逆映射是由 f 唯一確定的，以后把 f 的逆映射記作 . 有 因此，由定理1.2.1， 也是一個(gè)雙射，并且f 就是 的逆映射，即 . 如果存在集合A到集合B的一個(gè)雙射，我們有時(shí)候也說，在A與B的元素之間存在著一一對(duì)應(yīng). 例10 設(shè)A是一切非負(fù)實(shí)數(shù)所成的集合；f 是A到B 的一個(gè)映射，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， ，并且是由x 唯一確定的. 我們證明，f 是一個(gè)雙射. 設(shè) . 取 因?yàn)?，所以 ，且 ，所以 . 有 所以f 是滿射. 設(shè) 而 . 那么 由此 ，所以f 是單射. 于是由定理1.2.1，f 有逆映射. 易驗(yàn)證， 一般地，設(shè)A是一個(gè)非空的集合

15、，把AA到A的一個(gè)映射叫做集合A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算. 1.3 數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容分布最小數(shù)原理數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)教學(xué)目的掌握映射的概念, 映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。重點(diǎn)、難點(diǎn) 映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。1.3.1 最小數(shù)原理數(shù)學(xué)歸納法所根據(jù)的原理是正整數(shù)集的一個(gè)最基本的性質(zhì)最小數(shù)原理. 最小數(shù)原理 正整數(shù)集 的任意一個(gè)非空子集S必含有一個(gè)最小數(shù)，也就是這樣一個(gè)數(shù) ，對(duì)任意 都有 . 其中 表示全體正整數(shù) 的集合. 1 最小數(shù)原理并不是對(duì)于任意數(shù)集都成立的2 設(shè)c是任意一個(gè)整數(shù)，令注意那么經(jīng)代替正整數(shù)集 ，最小數(shù)原理對(duì)于 仍然成立. 也就是說， 的任意 一個(gè)非空子集必含有一個(gè)最

16、小數(shù)，特別，N的任意一個(gè)非空了集必含有一個(gè)最小數(shù). 這個(gè)原理的一般形式就是數(shù)學(xué)分析中的下（上）確界原理。數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)定理（數(shù)學(xué)歸納法原理） 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題. 如果 當(dāng)n=1時(shí). 命題成立； 假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)命題成立，當(dāng)n= k+1 時(shí)命題也成 立；那么這個(gè)命題對(duì)于一切正整數(shù)n都成立. 證 設(shè)命題對(duì)于一切正整數(shù)都成立. 令S表示使命題不成立的正整數(shù)所成的集合. 那么 . 于是，由最小數(shù)原理，S中有最小數(shù)h .因?yàn)槊}對(duì)于n=1成立，所以 從而h-1是一下正整數(shù). 因?yàn)閔是S中最小的數(shù)，所以 . 這就是說當(dāng)n=h-1時(shí)，命題成立. 于是由，當(dāng)n=h時(shí)命題也成立. 因此 . 這就導(dǎo)

17、致矛盾. 例1 證明，當(dāng) 時(shí)，n 邊形的內(nèi)角和等于(n-2).證 當(dāng)n=3 時(shí)，命題成立. 因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于= (3-2).假設(shè)時(shí)命題成立. 任意一個(gè)k+1多邊形 ，聯(lián)結(jié) ，那么 的內(nèi)角和就等于三角形 的內(nèi)角和加上k邊形 的內(nèi)角和. 前者等于，后者由歸納法假定，等于(k-2). 因此k+1多邊形 的內(nèi)角和等于+(k-2)=(k-1)=(k+1)-2). 命題得證. 定理（第二數(shù)學(xué)歸納法） 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題. 如果 當(dāng)n=1時(shí)命題成立； 假設(shè)命題對(duì)于一切小于k的自然數(shù)來說成立，則命題對(duì)于k也成立；那么命題對(duì)于一切自然數(shù)n來說都成立.數(shù)學(xué)歸納法可以推廣到良序集合上，即所謂超限歸納

18、原理。1.4 整數(shù)的一些整除性質(zhì)一、內(nèi)容分布 1.4.1 整除與帶余除法 1.4.2 最大公因數(shù) 1.4.3 互素 1.4.4 素?cái)?shù)的簡單性質(zhì)二、教學(xué)目的 1.理解和掌握整除及其性質(zhì)。 2.掌握最大公因數(shù)性質(zhì)、求法。 3.理解互素、素?cái)?shù)的簡單性質(zhì)。三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 整除、最大公因數(shù)性質(zhì)、互素有關(guān)的證明 。1.4.1 整除與帶余除法 設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，如果存在一個(gè)整數(shù)d，使得b=ad，那么就說a整除b（或者說b被a整除）。用符號(hào)a | b表示a整除b。這時(shí)a叫做b 的一個(gè)因數(shù)，而b叫做a的一個(gè)倍數(shù)。如果a不整除b，那么就記作 . 整除的基本性質(zhì)： 每一個(gè)整數(shù)都可以1和 - 1整除。 每一個(gè)整數(shù)a

19、都可以被它自己和它的相反數(shù) - a整除 定理1.4.1（帶余除法） 設(shè)a，b 是整數(shù)且 ，那么存在一對(duì)整數(shù)q和r，使得滿足以上條件整數(shù)q和r 的唯一確定的。證 令 。因?yàn)?，所以S 是N 的一個(gè)非空子集。根據(jù)最小數(shù)定理（對(duì)于N），S 含有一個(gè)最小數(shù)。也就是說，存在 ，使得r=b-aq是S 中最小數(shù)。于是b=aq+r，并且 。如果 ，那么 ，而 所以 。這是與r是S中最小數(shù)的事實(shí)矛盾。因此 . 假設(shè)還 ，使得 于是就有 。如果 那么由此或者 ，或者 。不論是哪一種情形，都將導(dǎo)致矛盾。這樣必須 ，從而 ，也就是說 1.4.2 最大公因數(shù)設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，滿足下列條件的整數(shù) d 叫做a與b的最大公

20、因數(shù)： ； 。 如果 一般地，設(shè) 是n 個(gè)整數(shù)。滿足下列條件的整數(shù)d 叫做 的一個(gè)最大公因數(shù)： 定理1.4.2 任意 個(gè)整數(shù) 都有最大公因數(shù)。如果d是 的一個(gè)最大公因數(shù)，那么 - d 也是一個(gè)最大公因數(shù)； 的兩個(gè)最大公因數(shù)至多只相差一個(gè)符號(hào)。證 由最大公因數(shù)的定義和整除的基本性質(zhì)，最后一個(gè)論斷是明顯的。現(xiàn)證，任意n個(gè)整數(shù) 有最大公因數(shù)。如果 ，那么0顯然就是 的最大公因數(shù)，設(shè) 不全為零?？紤]Z 的子集 I 顯然不是空集，因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)i 又因?yàn)?不全為零，所以I 含有非零整數(shù)。因此是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，于是由最小數(shù)原理， 有一個(gè)最小數(shù)d。我們說，d 就是 的一個(gè)最大公因數(shù)。 首先，因?yàn)?，

21、所以d 0并且d 有形式又由帶余除法，有 定理1.4.3 設(shè)d是 的一個(gè)最大公因數(shù)。那么存在整數(shù) ，使得 。如果某一 ，如 ，那么 而 。這與d是 中的最小數(shù)的事實(shí)矛盾。這樣，必須所有 ，即 。 另一方面，如果 。那么 。這就證明了d 是 的一個(gè)最大公因數(shù)。 證 若 ，那么d = 0，定理顯然成立。設(shè) 不全為零，由定理1.4.2的證明，知 ，.因而存在 ，使得 。 1.4.3 互素設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，如果（a, b）=1，那么就說a與b互素。一般地， 是n個(gè)整數(shù)，如果 ，那么就說這n個(gè)整數(shù) 互素。 （1） 定理1.4.4 n 個(gè)整數(shù) 互素的充分且必要條件是存在整數(shù) ，使得 證 如果 互素， 那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反過來，設(shè)等式（1）成立。令 。那么c能整除（1）式中的左端。所以c | 1，因此c =1,即 。1.4.4 素?cái)?shù)的簡單性