如何用梅遜公式求傳遞函數(shù)

1、7/4/20221第四節(jié) 控制系統(tǒng)的信號流圖7/4/20222 信號流圖可以表示系統(tǒng)的結構和變量傳送過程中的數(shù)學關系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。在求復雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成。見下圖： 信號流圖的概念信號流圖的概念)(1sG)(2sG)(sH)(sR)(sN-+)(sC)(sERE1GPN2GQCH1117/4/20223xyGxyG上圖中， 兩者都具有關系: 。支路對節(jié)點 來說是輸出支路，對節(jié)點y來說是輸入支路。 )()()(sxsGsyx 節(jié)點：節(jié)點表示信號，輸入節(jié)點表示輸入信號，輸出節(jié)點 表示輸出信號。 支路：連接節(jié)點之間的線

2、段為支路。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號流圖的概念信號流圖的概念7/4/20224信號流圖的術語信號流圖的術語幾個術語： 輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如： X8。 混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7?；旌瞎?jié)點相當于結構圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加。 通路：沿支路箭頭方向穿過各個相連支路的路線，起始點和終點都在節(jié)點上。若通路與任一節(jié)點相交不多于一次，且起點和終點不是同一節(jié)點稱為開通路。起點在源點，終點在阱點的開通路叫前向通路。 輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支

3、路的節(jié)點。如：X1，X9。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9X7/4/20225 回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點相交不多于一次，但起點和終點為同一節(jié)點的通路稱為回路。 互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。信號流圖的術語信號流圖的術語 通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。 回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9X7/4/20226信號流圖的等效變

4、換信號流圖的等效變換 串聯(lián)支路合并：abab1x2x3x3x1x 并聯(lián)支路的合并：ab1x2xba2x1x 回路的消除：a1x2x3x1x2x3xabcbcb17/4/20227 混合支路的清除：ab1x2x3x4xcdadbdacbc1x4x4x4x1x2xabcacbc2x3x3x1x2x 自回路的消除：a1x2x3xb1x3x4xab1bbab1x3x4xb11信號流圖的等效變換信號流圖的等效變換7/4/20228n節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設置，每個節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。n支路相當于乘法器，信號流

5、經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。n信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關系。n對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設置是任意的，因此信號流圖不是唯一的。信號流圖的性質7/4/20229信號流圖的繪制信號流圖的繪制信號流圖的繪制： 根據(jù)結構圖 列出系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的拉氏方程，按變量間的數(shù)學關系繪制 先在結構圖上標出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。)(sue)(sug)(suf)(1su)(2su)(sua1G2G3GfG)(s)(sMcuGmG例1：速度控制系統(tǒng)的結構圖為：gue1u2uaucM11G2G3GuGmG1fGeu12ac1123um1f7/4/202210例

6、2: 已知結構圖如下，可在結構圖上標出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。1bdelk1gfhmRCV1V2V3bdemghk)(SClf)(SR1V2V3V7/4/202211信號流圖的繪制信號流圖的繪制1bdelk1gfhmRCV1V2V3例2: 按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學關系繪制。如前例所對應的代數(shù)方程為:bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV按方程可繪制信號流圖。7/4/202212梅遜公式梅遜公式 用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達式為：nkkkPP11式中： 總傳輸

7、（即總傳遞函數(shù)）； 從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù)； 第k個前向通道的總傳輸； 流圖特征式；其計算公式為：PnkP二、梅遜增益公式7/4/202213.1fedcbaLLLLLL（正負號間隔）式中： 流圖中所有不同回路的回路傳輸之和； 所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回 路傳輸乘積之和； aLcbLL 所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；fedLLL 第k個前向通道的特征余子式；其值為 中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分。k梅遜公式梅遜公式nkkkPP117/4/202214梅遜公式梅遜公式|例例2-13a解：前向通道有一條； 有一個回路； ugGGGGPu32

8、11,fuaGGGGGL3211,111321fuaGGGGGLfuukkkgGGGGGGGGGPPsusP321321111111)()()()(susg例2-13a：求速度控制系統(tǒng)的總傳輸 。（不計擾動）nkkkPP1gue1u2uaucM11G2G3GuGmG1fGeu12ac1123um1f7/4/202215梅遜公式梅遜公式|例例2-13解：先在結構圖上標出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關系畫出信號流圖如下：例2-13：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。11RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R1111iueuu2

9、IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC217/4/202216圖中，有一個前向通道；2221111sCRCRP 有三個回路；sCRsCRsCRLa122211111有兩個互不接觸回路；221212211111sCCRRsCRsCRLLcb2212112221111111sCCRRsCRsCRsCR11（因為三個回路都與前向通道接觸。）1)(112122112212111sCRCRCRsCCRRPPkkk總傳輸為：梅遜公式梅遜公式|例例2-13nkkkPP11111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuI

10、ouI1I11R21RsC11sC217/4/202217梅遜公式梅遜公式|例例2-13討論：信號流圖中，a點和b點之間的傳輸為1，是否可以將該兩點合并。使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并。因為a、b兩點的信號值不一樣。111iueuu2IouI1Iab11R21RsC11sC21上圖中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC217/4/202218梅遜公式梅遜公式|例例2-14例2-14：使用Mason公式計算下述結構圖的傳遞函數(shù))()(

11、,)()(sRsEsRsC解：在結構圖上標出節(jié)點，如上圖。然后畫出信號流圖，如下：+-1G2G3G4G1H2HRECRCE1G2G3G1H2H21HH4G7/4/202219回路有三，分別為：有兩個不接觸回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk梅遜公式梅遜公式|例例2-14求 ：前向通道有二，分別為:)()(sRsC,3211GGGP 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4Gnkk

12、kPP17/4/202220梅遜公式梅遜公式|例例2-14求 ：)()(sRsERCE1G2G3G1H2H21HH4G（蘭線表示）23111, 1HGP 不變。1,221432HHGGP（紅線表示）2143231HHGGHGP注意：上面講 不變，為什么？ 是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達式。對于一個給定的系統(tǒng)，特征表達式總是不變的，可以試著求一下。nkkkPP17/4/202221梅遜公式注意事項梅遜公式注意事項注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對輸入的增益。而輸出對混合節(jié)點（中間變量）的增益不能直接應用梅森公式。也就是說對混合節(jié)點，不能簡單地通過引出一條增益為一的支路，而把非輸入

13、節(jié)點變成輸入節(jié)點。對此問題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：一、把該混合節(jié)點的所有輸入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分別用梅森公式求取輸出節(jié)點及該節(jié)點對輸入節(jié)點的傳遞函數(shù)，然后把它們的結果相比，即可得到輸出對該混合節(jié)點的傳遞函數(shù)。7/4/202222梅遜公式梅遜公式|例例2-15例2-15：數(shù)數(shù)有幾個回路和前向通道。RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H148211472114321221HGGGGHGGGGHGGGGHG 有四個回路，分別是：14821147211432122,HGGGGHGGGGHGGGGHG它們都是互相接觸的。43211GGGGP 47212GGGGP 48213

14、GGGGP 43254GGGGP 47255GGGGP 48256GGGGP 4367GGGP 4868GGGP 472269GGGHGP 有九條前向通道，分別是：7/4/202223梅遜公式梅遜公式|例例2-15 對應的結構圖為：-+RC5G6G1G2G3G8G4G7G2H1H為節(jié)點RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H注意：信號流圖與結構圖的對應關系；仔細確定前向通道和回路的個數(shù)。作業(yè)：2-12，2-137/4/202224小結小結 信號流圖的組成；術語； 信號流圖的繪制和等效變換； 梅遜公式極其應用； 信號流圖和結構圖之間的關系。小結7/4/202225梅遜公式的推導梅遜

15、公式的推導附錄：梅遜公式的推導1bdelk1gfhmRCV1V2V3如前例已知信號流圖如圖所示，所對應的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程RfbVVVkdehglm01101321bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV7/4/202226于是可求得該方程組的系數(shù)行列式mkedlhmhgklhkedlmmkekedlhdlgklmhhmkemhdlgklhmkdehglm)(11)1 ()1 ()1)(1 (1101和 RbgdlmfbdegbRdlfRdebRfRmdefRglbRm)1 ()1 (1012梅遜公式的推導梅遜公式的推導7/4/20222

16、7根據(jù)克萊姆法則得 mkedlhmhgklhkedlmRbgdlmfbdeVC)(1)1 (22于是傳遞函數(shù)為mkedlhmhgklhkedlmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2 分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓撲結構有著密切的關系。從拓撲結構的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。 梅遜公式的推導梅遜公式的推導7/4/202228圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路和、和、和） 1bdelk1gfhmRCV1V2V3gklhkedlmLii所有單獨回路增益之和為 兩兩互不接觸回路增益乘積之和為 dlhmhmkeLLkjkj,而值恰好為 mkedlhmhgklhkedlmLLLkjkjii)(11,可見，傳遞函數(shù)的分母取決于信號流圖的拓撲結構特征。 梅遜公式的推導梅遜公式的推導7/4/202229 如果把中與第k條前向通道有關的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR