如何用梅遜公式求傳遞函數(shù)

1、7/4/20221第四節(jié) 控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖7/4/20222 信號(hào)流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)較為方便。一、信號(hào)流圖及其等效變換組成：信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。見下圖： 信號(hào)流圖的概念信號(hào)流圖的概念)(1sG)(2sG)(sH)(sR)(sN-+)(sC)(sERE1GPN2GQCH1117/4/20223xyGxyG上圖中， 兩者都具有關(guān)系: 。支路對(duì)節(jié)點(diǎn) 來(lái)說(shuō)是輸出支路，對(duì)節(jié)點(diǎn)y來(lái)說(shuō)是輸入支路。 )()()(sxsGsyx 節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)表示信號(hào)，輸入節(jié)點(diǎn)表示輸入信號(hào)，輸出節(jié)點(diǎn) 表示輸出信號(hào)。 支路：連接節(jié)點(diǎn)之間的線

2、段為支路。支路上箭頭方向表示信號(hào)傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號(hào)流圖的概念信號(hào)流圖的概念7/4/20224信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)： 輸出節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。如： X8。 混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7?；旌瞎?jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。它上面的信號(hào)是所有輸入支路引進(jìn)信號(hào)的疊加。 通路：沿支路箭頭方向穿過(guò)各個(gè)相連支路的路線，起始點(diǎn)和終點(diǎn)都在節(jié)點(diǎn)上。若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，且起點(diǎn)和終點(diǎn)不是同一節(jié)點(diǎn)稱為開通路。起點(diǎn)在源點(diǎn)，終點(diǎn)在阱點(diǎn)的開通路叫前向通路。 輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))：只有輸出支

3、路的節(jié)點(diǎn)。如：X1，X9。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9X7/4/20225 回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，但起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)的通路稱為回路。 互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，這種回路稱為互不接觸回路。信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ) 通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。 回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9X7/4/20226信號(hào)流圖的等效變

4、換信號(hào)流圖的等效變換 串聯(lián)支路合并：abab1x2x3x3x1x 并聯(lián)支路的合并：ab1x2xba2x1x 回路的消除：a1x2x3x1x2x3xabcbcb17/4/20227 混合支路的清除：ab1x2x3x4xcdadbdacbc1x4x4x4x1x2xabcacbc2x3x3x1x2x 自回路的消除：a1x2x3xb1x3x4xab1bbab1x3x4xb11信號(hào)流圖的等效變換信號(hào)流圖的等效變換7/4/20228n節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點(diǎn)自左向右順序設(shè)置，每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之代數(shù)和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的變量表示。n支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流

5、經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。n信號(hào)在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。n對(duì)于給定的系統(tǒng),節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此信號(hào)流圖不是唯一的。信號(hào)流圖的性質(zhì)7/4/20229信號(hào)流圖的繪制信號(hào)流圖的繪制信號(hào)流圖的繪制： 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖 列出系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的拉氏方程，按變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系繪制 先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖所示。然后畫出信號(hào)流圖如下圖所示。)(sue)(sug)(suf)(1su)(2su)(sua1G2G3GfG)(s)(sMcuGmG例1：速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：gue1u2uaucM11G2G3GuGmG1fGeu12ac1123um1f7/4/202210例

6、2: 已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖所示。然后畫出信號(hào)流圖如下圖所示。1bdelk1gfhmRCV1V2V3bdemghk)(SClf)(SR1V2V3V7/4/202211信號(hào)流圖的繪制信號(hào)流圖的繪制1bdelk1gfhmRCV1V2V3例2: 按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程為:bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV按方程可繪制信號(hào)流圖。7/4/202212梅遜公式梅遜公式 用梅遜公式可不必簡(jiǎn)化信號(hào)流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達(dá)式為：nkkkPP11式中： 總傳輸

7、（即總傳遞函數(shù)）； 從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù)； 第k個(gè)前向通道的總傳輸； 流圖特征式；其計(jì)算公式為：PnkP二、梅遜增益公式7/4/202213.1fedcbaLLLLLL（正負(fù)號(hào)間隔）式中： 流圖中所有不同回路的回路傳輸之和； 所有互不接觸回路中，每次取其中兩個(gè)回 路傳輸乘積之和； aLcbLL 所有互不接觸回路中，每次取其中三個(gè)回路傳輸乘積之和；fedLLL 第k個(gè)前向通道的特征余子式；其值為 中除去與第k個(gè)前向通道接觸的回路后的剩余部分。k梅遜公式梅遜公式nkkkPP117/4/202214梅遜公式梅遜公式|例例2-13a解：前向通道有一條； 有一個(gè)回路； ugGGGGPu32

8、11,fuaGGGGGL3211,111321fuaGGGGGLfuukkkgGGGGGGGGGPPsusP321321111111)()()()(susg例2-13a：求速度控制系統(tǒng)的總傳輸 。（不計(jì)擾動(dòng)）nkkkPP1gue1u2uaucM11G2G3GuGmG1fGeu12ac1123um1f7/4/202215梅遜公式梅遜公式|例例2-13解：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號(hào)流圖如下：例2-13：繪出兩級(jí)串聯(lián)RC電路的信號(hào)流圖并用Mason公式計(jì)算總傳遞函數(shù)。11RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R1111iueuu2

9、IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC217/4/202216圖中，有一個(gè)前向通道；2221111sCRCRP 有三個(gè)回路；sCRsCRsCRLa122211111有兩個(gè)互不接觸回路；221212211111sCCRRsCRsCRLLcb2212112221111111sCCRRsCRsCRsCR11（因?yàn)槿齻€(gè)回路都與前向通道接觸。）1)(112122112212111sCRCRCRsCCRRPPkkk總傳輸為：梅遜公式梅遜公式|例例2-13nkkkPP11111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuI

10、ouI1I11R21RsC11sC217/4/202217梅遜公式梅遜公式|例例2-13討論：信號(hào)流圖中，a點(diǎn)和b點(diǎn)之間的傳輸為1，是否可以將該兩點(diǎn)合并。使得將兩個(gè)不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并。因?yàn)閍、b兩點(diǎn)的信號(hào)值不一樣。111iueuu2IouI1Iab11R21RsC11sC21上圖中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC217/4/202218梅遜公式梅遜公式|例例2-14例2-14：使用Mason公式計(jì)算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù))()(

11、,)()(sRsEsRsC解：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖。然后畫出信號(hào)流圖，如下：+-1G2G3G4G1H2HRECRCE1G2G3G1H2H21HH4G7/4/202219回路有三，分別為：有兩個(gè)不接觸回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk梅遜公式梅遜公式|例例2-14求 ：前向通道有二，分別為:)()(sRsC,3211GGGP 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4Gnkk

12、kPP17/4/202220梅遜公式梅遜公式|例例2-14求 ：)()(sRsERCE1G2G3G1H2H21HH4G（蘭線表示）23111, 1HGP 不變。1,221432HHGGP（紅線表示）2143231HHGGHGP注意：上面講 不變，為什么？ 是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，特征表達(dá)式總是不變的，可以試著求一下。nkkkPP17/4/202221梅遜公式注意事項(xiàng)梅遜公式注意事項(xiàng)注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對(duì)輸入的增益。而輸出對(duì)混合節(jié)點(diǎn)（中間變量）的增益不能直接應(yīng)用梅森公式。也就是說(shuō)對(duì)混合節(jié)點(diǎn)，不能簡(jiǎn)單地通過(guò)引出一條增益為一的支路，而把非輸入

13、節(jié)點(diǎn)變成輸入節(jié)點(diǎn)。對(duì)此問(wèn)題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：一、把該混合節(jié)點(diǎn)的所有輸入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分別用梅森公式求取輸出節(jié)點(diǎn)及該節(jié)點(diǎn)對(duì)輸入節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，然后把它們的結(jié)果相比，即可得到輸出對(duì)該混合節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)。7/4/202222梅遜公式梅遜公式|例例2-15例2-15：數(shù)數(shù)有幾個(gè)回路和前向通道。RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H148211472114321221HGGGGHGGGGHGGGGHG 有四個(gè)回路，分別是：14821147211432122,HGGGGHGGGGHGGGGHG它們都是互相接觸的。43211GGGGP 47212GGGGP 48213

14、GGGGP 43254GGGGP 47255GGGGP 48256GGGGP 4367GGGP 4868GGGP 472269GGGHGP 有九條前向通道，分別是：7/4/202223梅遜公式梅遜公式|例例2-15 對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖為：-+RC5G6G1G2G3G8G4G7G2H1H為節(jié)點(diǎn)RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H注意：信號(hào)流圖與結(jié)構(gòu)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系；仔細(xì)確定前向通道和回路的個(gè)數(shù)。作業(yè)：2-12，2-137/4/202224小結(jié)小結(jié) 信號(hào)流圖的組成；術(shù)語(yǔ)； 信號(hào)流圖的繪制和等效變換； 梅遜公式極其應(yīng)用； 信號(hào)流圖和結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系。小結(jié)7/4/202225梅遜公式的推導(dǎo)梅遜

15、公式的推導(dǎo)附錄：梅遜公式的推導(dǎo)1bdelk1gfhmRCV1V2V3如前例已知信號(hào)流圖如圖所示，所對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程RfbVVVkdehglm01101321bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV7/4/202226于是可求得該方程組的系數(shù)行列式mkedlhmhgklhkedlmmkekedlhdlgklmhhmkemhdlgklhmkdehglm)(11)1 ()1 ()1)(1 (1101和 RbgdlmfbdegbRdlfRdebRfRmdefRglbRm)1 ()1 (1012梅遜公式的推導(dǎo)梅遜公式的推導(dǎo)7/4/20222

16、7根據(jù)克萊姆法則得 mkedlhmhgklhkedlmRbgdlmfbdeVC)(1)1 (22于是傳遞函數(shù)為mkedlhmhgklhkedlmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2 分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號(hào)流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系。從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，信號(hào)流圖的主要特點(diǎn)取決于回路的類型和數(shù)量。而信號(hào)流圖所含回路的主要類型有兩種：?jiǎn)为?dú)的回路和互不接觸回路。 梅遜公式的推導(dǎo)梅遜公式的推導(dǎo)7/4/202228圖中所示信號(hào)流圖共含有五個(gè)單獨(dú)回路和三對(duì)互不接觸回路（回路和、和、和） 1bdelk1gfhmRCV1V2V3gklhkedlmLii所有單獨(dú)回路增益之和為 兩兩互不接觸回路增益乘積之和為 dlhmhmkeLLkjkj,而值恰好為 mkedlhmhgklhkedlmLLLkjkjii)(11,可見，傳遞函數(shù)的分母取決于信號(hào)流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。 梅遜公式的推導(dǎo)梅遜公式的推導(dǎo)7/4/202229 如果把中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR