電阻電路的一般分析方法

1、3 .1 電路的圖3.2-3 .3 支路電流法3.4 網(wǎng) 孔 電 流 法3.5 回路電流法3.6 結(jié)點電壓法第第3章章 電阻電路的一般分析電阻電路的一般分析 前面二章，我們學習了電路的基本定律，前面二章，我們學習了電路的基本定律，歐姆定律，基爾霍夫定律，可以分析簡單的電歐姆定律，基爾霍夫定律，可以分析簡單的電路。路。 我們還學習了電阻電路的等效變換，通過我們還學習了電阻電路的等效變換，通過電阻的串并聯(lián)和電阻的串并聯(lián)和Y- 的等效變換，電壓源和電流的等效變換，電壓源和電流源的等值變換可以求解電路中的電壓和電流等源的等值變換可以求解電路中的電壓和電流等物理量。物理量。 本章，我們介紹的分析方法，不

2、要求改變本章，我們介紹的分析方法，不要求改變電路的結(jié)構(gòu)，例如：我們可以選擇一組合適的電路的結(jié)構(gòu)，例如：我們可以選擇一組合適的變量（電壓或電流），然后，根據(jù)變量（電壓或電流），然后，根據(jù)KCL，KVL列獨立的方程組列獨立的方程組-電路方程，然后求解各個變電路方程，然后求解各個變量。量。 3-1 3-1電路的圖電路的圖 怎樣根據(jù)電路的連接性質(zhì)來選擇電路方程的獨立怎樣根據(jù)電路的連接性質(zhì)來選擇電路方程的獨立變量？需要應用圖論的初步知識。變量？需要應用圖論的初步知識。 KCL和和KVL分別表明了支路電流之間和支路電壓分別表明了支路電流之間和支路電壓之間的約束關(guān)系。之間的約束關(guān)系。 由于這些約束關(guān)系與構(gòu)成

3、電路元件的性質(zhì)無關(guān)，由于這些約束關(guān)系與構(gòu)成電路元件的性質(zhì)無關(guān)，因此，在研究這些約束關(guān)系時可以不考慮元件的特征。因此，在研究這些約束關(guān)系時可以不考慮元件的特征。 我們可以用我們可以用線段線段來代替電路中的每個元件，這段來代替電路中的每個元件，這段線段稱為線段稱為支路支路，也可以說：這里的支路是一條抽象的，也可以說：這里的支路是一條抽象的線段，把它畫成直線或曲線無關(guān)緊要。線段，把它畫成直線或曲線無關(guān)緊要。 線段的端點稱為線段的端點稱為結(jié)點，結(jié)點，每條支路的兩端都連到相每條支路的兩端都連到相應的結(jié)點上應的結(jié)點上。 這樣得到的幾何結(jié)構(gòu)圖稱為這樣得到的幾何結(jié)構(gòu)圖稱為“圖形圖形”或稱為或稱為“圖圖”（gr

4、aph），），如圖所示。如圖所示。 1Rus1+-is22R3R4R5R6R 在圖的定義中，結(jié)點和支路各自是一個整體，任在圖的定義中，結(jié)點和支路各自是一個整體，任一條支路必須終止在結(jié)點上，注意：移去一條支路并一條支路必須終止在結(jié)點上，注意：移去一條支路并不把結(jié)點也移去，允許有孤立結(jié)點的存在。但移去結(jié)不把結(jié)點也移去，允許有孤立結(jié)點的存在。但移去結(jié)點，必須把與該結(jié)點連接的支路全部移去。點，必須把與該結(jié)點連接的支路全部移去。1Rus1+-is22R3R4R5R6R 上圖電路模型中，有上圖電路模型中，有6個電阻，兩個電源，如果認個電阻，兩個電源，如果認為每一個二端元件構(gòu)成電路的一個支路，圖為每一個二端

5、元件構(gòu)成電路的一個支路，圖(b)就是該就是該電路的圖。它共有電路的圖。它共有5個結(jié)點和個結(jié)點和8條支路。條支路。 我們還可以把元件的串聯(lián)組合作為一條支路，畫出我們還可以把元件的串聯(lián)組合作為一條支路，畫出它的圖如圖（它的圖如圖（c）。）。 (a)(b)1Rus1+-is22R3R4R5R6R(a)(c)它共有它共有4個結(jié)點和個結(jié)點和7條支路。條支路。所以當用不同的元件結(jié)構(gòu)定義電路的一條支路時，所以當用不同的元件結(jié)構(gòu)定義電路的一條支路時，該電路的圖將不同，結(jié)點數(shù)和支路數(shù)也將不同。該電路的圖將不同，結(jié)點數(shù)和支路數(shù)也將不同。1Rus1+-is22R3R4R5R6R(d)我們還可以把元件的并聯(lián)組合作為一

6、條支路，我們還可以把元件的并聯(lián)組合作為一條支路，畫出它的圖如圖（畫出它的圖如圖（d）。）。 在電路中通常規(guī)定每一條支路的電流參考方向，在電路中通常規(guī)定每一條支路的電流參考方向，電壓的參考方向取關(guān)聯(lián)參考方向。如果把電路的圖電壓的參考方向取關(guān)聯(lián)參考方向。如果把電路的圖的每一條支路也取一個方向，這個方向就是支路電的每一條支路也取一個方向，這個方向就是支路電流的參考方向。這樣電路的圖就稱為流的參考方向。這樣電路的圖就稱為“有向圖有向圖”，而沒有方向的圖則稱為而沒有方向的圖則稱為“無向圖無向圖”。1Rus1+-is22R3R4R5R6R1Rus1+-is22R3R4R5R6R+-US1R1R2R3R4R

7、512312345123 3-2 3-2KCLKCL，KVLKVL的獨立方程數(shù)的獨立方程數(shù) 1 2 3 4654321支路和結(jié)點加以編號支路和結(jié)點加以編號給出支路的方向給出支路的方向(電流與電壓參考方向關(guān)聯(lián)電流與電壓參考方向關(guān)聯(lián))這是一個電路的圖這是一個電路的圖,是是一個有向圖一個有向圖,支路數(shù)支路數(shù)=?結(jié)點數(shù)結(jié)點數(shù)=? 1 2 3 465432100004543652321641 iiiiiiiiiiiiKCL個個結(jié)結(jié)點點應應用用對對 一個支路和兩個結(jié)點相連，一個結(jié)點的電流如果一個支路和兩個結(jié)點相連，一個結(jié)點的電流如果流進（流進（+），另一個結(jié)點一定是流出（），另一個結(jié)點一定是流出（-），在

8、以上四），在以上四個方程中，每個電流出現(xiàn)兩次，一正一負，因此個方程中，每個電流出現(xiàn)兩次，一正一負，因此4個個方程相加，方程相加，0=0，也就是一個方程是不獨立的。但任，也就是一個方程是不獨立的。但任意三個是獨立的意三個是獨立的 對具有對具有n個結(jié)點的電路，在任意個結(jié)點的電路，在任意n-1個結(jié)點個結(jié)點上可以得出上可以得出n-1個獨立的個獨立的KCL方程，相應的方程，相應的n-1個結(jié)點稱為獨立結(jié)點。個結(jié)點稱為獨立結(jié)點。討論了獨立結(jié)點后，我們可以應用討論了獨立結(jié)點后，我們可以應用KCL列出列出n-1個獨立個獨立方程，接下來對回路應用方程，接下來對回路應用KVL，需要討論獨立回路。需要討論獨立回路。為

9、了確定獨立回路的個數(shù)，我們先討論一些基本概念：為了確定獨立回路的個數(shù)，我們先討論一些基本概念：連通圖連通圖如果在圖如果在圖G的任意兩個結(jié)點之間，至少存在的任意兩個結(jié)點之間，至少存在一條由支路構(gòu)成的路徑，則圖一條由支路構(gòu)成的路徑，則圖G稱為連通圖，稱為連通圖，否則就稱為非連通圖。否則就稱為非連通圖。654321結(jié)點結(jié)點1，2，3，4和相應的支和相應的支路構(gòu)成了路構(gòu)成了4個結(jié)點的連通圖，個結(jié)點的連通圖，結(jié)點結(jié)點5，6和相應的支路構(gòu)成和相應的支路構(gòu)成了了2個結(jié)點的連通圖，個結(jié)點的連通圖，結(jié)點結(jié)點1，2，3，4，5，6和相和相應的支路構(gòu)成了應的支路構(gòu)成了6個結(jié)點的個結(jié)點的非連通圖，非連通圖，回路回路

10、從圖從圖G的某一個結(jié)點出發(fā)，沿一些支路的某一個結(jié)點出發(fā)，沿一些支路移動，到達另一個結(jié)點，形成了一條路徑，移動，到達另一個結(jié)點，形成了一條路徑，如果這條路徑的起點和終點重合，且經(jīng)過的如果這條路徑的起點和終點重合，且經(jīng)過的其它結(jié)點都各不相同，那么這條路徑就是一其它結(jié)點都各不相同，那么這條路徑就是一條閉合的路徑，構(gòu)成條閉合的路徑，構(gòu)成G的一個回路。的一個回路。4321567812345支路（支路（1，5，8）構(gòu)成回路）構(gòu)成回路（2,5,6）（）（1,2,3,4）（）（1,2,6,8）（4,7,8）（）（3,6,7）（）（1,5,7,4）（3,4,8,6）（）（2,3,7,5）（）（1,2,6,7,4

11、）（1,2,3,7,8）（）（2,3,4,8,5）（）（1,5,6,3,4）共有共有13個不同的回路，但獨立回路個不同的回路，但獨立回路數(shù)遠少于總回路數(shù)。數(shù)遠少于總回路數(shù)。對每個回路都可以應用對每個回路都可以應用KVL列方程，列方程，4321567812345對對(1,5,8),(2,5,6)列方程，列方程，支路支路5出現(xiàn)兩次，通過加出現(xiàn)兩次，通過加或減總可以消去或減總可以消去5支路的支路的電壓，余下電壓，余下(1,8,6 ,2)，可，可見見(1,5,8),(2,5,6) ,(1,8,6 ,2)只有兩個是獨立的。只有兩個是獨立的。一個圖的回路數(shù)很多一個圖的回路數(shù)很多, 如何確定它的一組獨立回路

12、如何確定它的一組獨立回路有時不太容易有時不太容易, 我們要引進我們要引進“樹樹”的概念來幫助我的概念來幫助我們尋找獨立的回路組。們尋找獨立的回路組。在討論獨立回路前，討論樹，樹支在討論獨立回路前，討論樹，樹支，連支連支我們在圖中移去某些支路，我們在圖中移去某些支路，使余下的圖形中包含全部結(jié)使余下的圖形中包含全部結(jié)點和部分支路，樹連通而又點和部分支路，樹連通而又不包含回路。不包含回路。4321567812345樹是這樣定義的：樹是這樣定義的：一個連通圖一個連通圖G的樹的樹T包含包含G的全部結(jié)點和部分支路，的全部結(jié)點和部分支路，而樹而樹T本身是連通的而又不包含回路。本身是連通的而又不包含回路。對上

13、圖，符合以上定義的樹有很多對上圖，符合以上定義的樹有很多 4321567812345567812345563112345573112345樹樹567812345252812345不是樹，有回路不是樹，有回路不是樹，不連通不是樹，不連通567812345563112345573112345樹樹 滿足樹的定義的連通圖不止一個，構(gòu)成滿足樹的定義的連通圖不止一個，構(gòu)成樹的支路稱為樹支，觀察以下幾個樹，我們樹的支路稱為樹支，觀察以下幾個樹，我們發(fā)現(xiàn)樹支數(shù)均為發(fā)現(xiàn)樹支數(shù)均為4。 可見樹就是用最少的樹支把所有的結(jié)點可見樹就是用最少的樹支把所有的結(jié)點連在一起，并且不構(gòu)成任何回路的圖形。連在一起，并且不構(gòu)成任何

14、回路的圖形。 樹支數(shù)為樹支數(shù)為n-1連連枝枝4321567812345567812345樹支：樹支：5，6，7，8，除了樹支外，余下的支路稱為連，除了樹支外，余下的支路稱為連支，支，1，2，3，4就是連支，只有把連支補上才會出現(xiàn)就是連支，只有把連支補上才會出現(xiàn)回路?；芈?。樹支和連支構(gòu)成了圖樹支和連支構(gòu)成了圖G的全部支路的全部支路4321567812345圖圖G中，結(jié)點數(shù)中，結(jié)點數(shù)n=5支路數(shù)支路數(shù)b=8樹支數(shù)樹支數(shù)n-1連支數(shù)連支數(shù)b-(n-1)=b-n+1567812345左圖的樹中，每加上一左圖的樹中，每加上一條連支后就能構(gòu)成回路，條連支后就能構(gòu)成回路，這樣的回路只有一條連這樣的回路只有一

15、條連支，其余全部為樹支，支，其余全部為樹支，稱為稱為單連支回路或基本回路。單連支回路或基本回路。獨立回路獨立回路獨立回路數(shù)獨立回路數(shù)=連支數(shù)連支數(shù)=b-n+1n=4,b=6,樹支數(shù)樹支數(shù)：3,連支：連支：3 1 2 3 4654321紅色的支路是樹支，加上連支紅色的支路是樹支，加上連支后可構(gòu)成三個獨立回路如下：后可構(gòu)成三個獨立回路如下： 1 2 4431 3 1 2 45421 1 3 4654獨立回路數(shù)獨立回路數(shù)=連支數(shù)連支數(shù)=b-n+1我們之前已擁有我們之前已擁有n-1個獨立的結(jié)點方程個獨立的結(jié)點方程方程的總數(shù)方程的總數(shù)b-n+1+ n-1= b選擇不同的樹，可以得到不同的回路組選擇不同的

16、樹，可以得到不同的回路組顯然，以上的基本回路組是獨立的顯然，以上的基本回路組是獨立的平面圖：各條支路除了連接的結(jié)點外，不再交叉平面圖：各條支路除了連接的結(jié)點外，不再交叉非平面圖：支路存在交叉非平面圖：支路存在交叉 1 2 3 4654321平面圖平面圖非平面圖非平面圖12345 1 2 3 4654321對一個平面圖引入網(wǎng)孔的概念對一個平面圖引入網(wǎng)孔的概念網(wǎng)孔：自然的孔，它限網(wǎng)孔：自然的孔，它限定的區(qū)域內(nèi)不再有支路。定的區(qū)域內(nèi)不再有支路。平面圖的全部網(wǎng)孔是一平面圖的全部網(wǎng)孔是一組獨立回路。網(wǎng)孔數(shù)是組獨立回路。網(wǎng)孔數(shù)是b-n+1(1,3,4),(2,3,5),(4,5,6)是網(wǎng)孔是網(wǎng)孔(1,2,

17、4,5)不是網(wǎng)孔不是網(wǎng)孔根據(jù)根據(jù)KCL可列出可列出n-1個獨立方程個獨立方程根據(jù)根據(jù)KVL可列出獨立回路方程可列出獨立回路方程b-n+1個個全部獨立方程的總數(shù)全部獨立方程的總數(shù)n-1+ b-n+1=b 如果以支路電流如果以支路電流,和支路電壓作為變量，列和支路電壓作為變量，列方程求解各個支路的電流，各支路的電壓，這方程求解各個支路的電流，各支路的電壓，這種方法就是支路電流法種方法就是支路電流法 習題習題:3-1/b, 3-2/b, 3-3/b, 3-5/b 3-3 3-3支路電流法支路電流法 對一個具有對一個具有b條支路和條支路和n個結(jié)點的電路，以支個結(jié)點的電路，以支路電流和支路電壓為變量時，

18、有路電流和支路電壓為變量時，有2b個未知量，根個未知量，根據(jù)據(jù)KCL列列n-1個方程，根據(jù)個方程，根據(jù)KVL列列b-n+1個方程，個方程，在根據(jù)在根據(jù)VCR列出列出b個方程，共有個方程，共有2b個獨立方程，可個獨立方程，可以解出以解出2b個變量，這種方法稱為個變量，這種方法稱為2b法。法。 為了減小方程的個數(shù)，可以利用元件的為了減小方程的個數(shù)，可以利用元件的VCR將各支路的電壓直接用支路電流表示，方將各支路的電壓直接用支路電流表示，方程的未知數(shù)就降為程的未知數(shù)就降為b個個,這種方法就稱為支路電流這種方法就稱為支路電流法。法。例 計算如圖檢流計中的電流 IG解：結(jié)點數(shù)結(jié)點數(shù) n= 4,支路數(shù)支路

19、數(shù) b=6,網(wǎng)孔數(shù)網(wǎng)孔數(shù)m=3。應應根據(jù)根據(jù)KCL列列3個方程，根據(jù)個方程，根據(jù)KVL列列3個方程，個方程，共六個。共六個。對節(jié)點對節(jié)點a I1 I2 IG = 0對節(jié)點對節(jié)點b I3 + IG I4 = 0對節(jié)點對節(jié)點c I 2 + I 4 I = 0對回路對回路abda I1R1+ IGRG I3R3 = 0對回路對回路acba I2R2 I4R4 IGRG = 0對回路對回路dbcd I3R3 + I4R4 E=0 cE(R2R3 R1R4 )RG(R1+R2) (R3+R4)+ R1R2(R3+R4)+ R3R4(R1+R2)IG =abdR1R2R3R4GI1I2I3I4IGRG+I

20、E+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R612341234561234234樹樹例例1234234+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R666655554443332221111)(RiuRiiuRiuRiuRiuRiuuss 1234123456+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R6000642543321 uuuuuuuuu00)(066442255544333322111 RiRiRiRiiRiRiRiRiRiuss1234123456 00)(066442255544333322111 R

21、iRiRiRiiRiRiRiRiRiuss SKKKssuiRRiRiRiRiRiRiRiuRiRiRi0664422555544331332211 SKKKssuiRRiRiRiRiRiRiRiuRiRiRi0664422555544331332211RKiK為為k個支路的電阻上的電壓，個支路的電阻上的電壓，iK的參考方向與回的參考方向與回路方向一致時取路方向一致時取“+”，不一致時取，不一致時取“-”， 等式右邊等式右邊usk為第為第k個支路的電源電壓，如果有電流源個支路的電源電壓，如果有電流源則等值變換為電壓源。注意由于移項到等式的右邊，則等值變換為電壓源。注意由于移項到等式的右邊，因此

22、當因此當usk方向與回路方向一致時取方向與回路方向一致時取“-”，不一致時，不一致時取取“+”， 電壓降為正電壓降為正電位升為正電位升為正KVL的另一種表達式：任一回路中，電阻電壓的代數(shù)的另一種表達式：任一回路中，電阻電壓的代數(shù)和等于電源電壓的代數(shù)和。和等于電源電壓的代數(shù)和。電壓降電壓降電位升電位升 SKKKssuiRRiRiRiRiRiRiRiuRiRiRi0664422555544331332211+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R6+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R6000654432621 iiiiiiiii00)

23、(066442255544333322111 RiRiRiRiiRiRiRiRiRiuss加上對結(jié)點加上對結(jié)點1，2，3列出的列出的KCL方程，有方程，有支路電流法的求解步驟：支路電流法的求解步驟：1。選定各支路電流的參考方向。選定各支路電流的參考方向2。列。列KCL方程方程3。選獨立回路，規(guī)定回路繞行方向，列。選獨立回路，規(guī)定回路繞行方向，列KVL方程方程 支路電流法要求支路的電壓均能以支路電流表示。支路電流法要求支路的電壓均能以支路電流表示。當一條支路僅含電流源而不存在與之并聯(lián)的電阻時，當一條支路僅含電流源而不存在與之并聯(lián)的電阻時，就無法將支路電壓以支路電流表示。這種無并聯(lián)電阻就無法將支路

24、電壓以支路電流表示。這種無并聯(lián)電阻的電流源稱為無伴電流源，處理方法以后討論。的電流源稱為無伴電流源，處理方法以后討論。 3-4 3-4網(wǎng)孔電流法網(wǎng)孔電流法 網(wǎng)孔電流法是以網(wǎng)孔電流作為電路的變量，利網(wǎng)孔電流法是以網(wǎng)孔電流作為電路的變量，利用基爾霍夫電壓定律列寫網(wǎng)孔電壓方程，進行網(wǎng)孔用基爾霍夫電壓定律列寫網(wǎng)孔電壓方程，進行網(wǎng)孔電流的求解。然后再根據(jù)電路的要求，進一步求出電流的求解。然后再根據(jù)電路的要求，進一步求出其它物理量。其它物理量。適用平面電路適用平面電路+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2圖示電路圖示電路n=2,b=3網(wǎng)孔數(shù)網(wǎng)孔數(shù)2沿網(wǎng)孔連續(xù)流動的假想電流稱為網(wǎng)孔電流

25、。任一支沿網(wǎng)孔連續(xù)流動的假想電流稱為網(wǎng)孔電流。任一支路電流等于流經(jīng)該支路的網(wǎng)孔電流的代數(shù)和路電流等于流經(jīng)該支路的網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2如果我們設網(wǎng)孔電流為如果我們設網(wǎng)孔電流為一組獨立的變量，就可一組獨立的變量，就可以應用以應用KVL列網(wǎng)孔的電列網(wǎng)孔的電壓方程，求出網(wǎng)孔電流。壓方程，求出網(wǎng)孔電流。 網(wǎng)孔電流是一個假想沿著各自網(wǎng)孔內(nèi)循環(huán)網(wǎng)孔電流是一個假想沿著各自網(wǎng)孔內(nèi)循環(huán)流動的電流，設網(wǎng)孔的電流為流動的電流，設網(wǎng)孔的電流為im1；網(wǎng)孔的網(wǎng)孔的電流為電流為im2。網(wǎng)孔電流在實際電路中是不存在的，網(wǎng)孔電流在實際電路中是不存在的，但它是一個很有用的

26、用于計算的量。選定圖中但它是一個很有用的用于計算的量。選定圖中電路的支路電流參考方向，再觀察電路可知電路的支路電流參考方向，再觀察電路可知:+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2 電路中所有支路的電路中所有支路的電流都可以用網(wǎng)孔電流電流都可以用網(wǎng)孔電流來表示。來表示。支路支路1，只有網(wǎng)孔電流，只有網(wǎng)孔電流im1流過，流過， i1= im1支路支路3，只有網(wǎng)孔電流，只有網(wǎng)孔電流im2流過，流過， i3= im2注意：因為網(wǎng)注意：因為網(wǎng)孔電流參考方孔電流參考方向和支路電流向和支路電流一致取一致取“+”支路支路2，有網(wǎng)孔電流，有網(wǎng)孔電流im1流過，參考方向和支路電流參流過，參考

27、方向和支路電流參考方向相同，取考方向相同，取“+”。有網(wǎng)孔電流。有網(wǎng)孔電流im2流過，參考方流過，參考方向和支路電流參考方向相反，取向和支路電流參考方向相反，取“-”。 i2= im1- im2+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2以網(wǎng)孔電流作為變量，以網(wǎng)孔電流作為變量，只需要列網(wǎng)孔的電壓方只需要列網(wǎng)孔的電壓方程，網(wǎng)孔電流從結(jié)點流程，網(wǎng)孔電流從結(jié)點流進，流出自動滿足進，流出自動滿足KCL 32221322122111322233212211)()(ssmmmssmmmssssuuRiiRiuuRiiRiuuRiRiuuRiRiKVL有有對對網(wǎng)網(wǎng)孔孔應應用用為為變變量量的的

28、方方程程以以上上就就是是以以網(wǎng)網(wǎng)孔孔電電流流作作 3223221212221132221322122111)()()()(ssmmssmmssmmmssmmmuuRRiRiuuRiRRiuuRiiRiuuRiiRi+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2如果，我們定義如果，我們定義R11為網(wǎng)孔為網(wǎng)孔1的自阻，就是網(wǎng)孔的自阻，就是網(wǎng)孔1所有電阻所有電阻之和，這里之和，這里R11 = R1+ R2如果，我們定義如果，我們定義R22為網(wǎng)孔為網(wǎng)孔2的自阻，就是網(wǎng)孔的自阻，就是網(wǎng)孔2所有電阻所有電阻之和，這里之和，這里R22= R2+ R3如果，我們定義如果，我們定義R12和和R21

29、為為網(wǎng)孔網(wǎng)孔1和和2的互阻，就是網(wǎng)孔的互阻，就是網(wǎng)孔1和和2共有的電阻，這里共有的電阻，這里R12 = R21 =-R2為何取負號？為何取負號？+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2如果，我們定義如果，我們定義R12和和R21為為網(wǎng)孔網(wǎng)孔1和和2的互阻，就是網(wǎng)孔的互阻，就是網(wǎng)孔1和和2共有的電阻，這里共有的電阻，這里R12 = R21 =-R2 由于網(wǎng)孔的繞行方向和網(wǎng)孔電流的方向一致由于網(wǎng)孔的繞行方向和網(wǎng)孔電流的方向一致R11和和R22總總是正的，是正的，im2R2代表代表im2在網(wǎng)孔在網(wǎng)孔1引起的壓降，它和網(wǎng)孔引起的壓降，它和網(wǎng)孔1的繞的繞行方向相反了，因此取負號，行方

30、向相反了，因此取負號，R12=-R2 32232212122211)()(ssmmssmmuuRRiRiuuRiRRi im1R2代表代表im1在網(wǎng)孔在網(wǎng)孔2引起的壓降，它和網(wǎng)孔引起的壓降，它和網(wǎng)孔2的繞的繞行方向相反了，因此取負號，行方向相反了，因此取負號，R21=-R2+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2 32232212122211)()(ssmmssmmuuRRiRiuuRiRRi改寫以上方程得：改寫以上方程得： 2222212111212111smmsmmuiRiRuiRiR互電阻具有對稱性互電阻具有對稱性：R12=R21，R23=R32互電阻極性互電阻極性：

31、彼此網(wǎng)孔電流流過這些支路的方向一致：彼此網(wǎng)孔電流流過這些支路的方向一致 為為“+”，相反為，相反為“-” 如果把網(wǎng)孔電流均規(guī)定為順時針（或逆時針）如果把網(wǎng)孔電流均規(guī)定為順時針（或逆時針）方向，互電阻全部為方向，互電阻全部為“-”沒有受控源時沒有受控源時+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2 32222111ssssssuuuuuu 2222212111212111smmsmmuiRiRuiRiR電壓升電壓升：us11， us22為網(wǎng)孔內(nèi)電壓源的代數(shù)和，各電壓為網(wǎng)孔內(nèi)電壓源的代數(shù)和，各電壓源產(chǎn)生的電流和網(wǎng)孔電流相同時取源產(chǎn)生的電流和網(wǎng)孔電流相同時取“+”，也就是電，也就是電

32、壓升為壓升為“+”1.自電阻網(wǎng)孔電流自電阻網(wǎng)孔電流+互電阻相鄰網(wǎng)孔電流互電阻相鄰網(wǎng)孔電流 =該網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和該網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和 2.自電阻為正，互電阻有正有負，兩網(wǎng)孔電流流過互電阻時自電阻為正，互電阻有正有負，兩網(wǎng)孔電流流過互電阻時方向相同取正方向相同取正, 方向相反時取負。方向相反時取負。 寫出通式：寫出通式：smmmmmmmmmmsmmmmmsmmmmmuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR .2211222222121111212111（2）按照網(wǎng)孔電流方程的一般形式列出各網(wǎng)孔電）按照網(wǎng)孔電流方程的一般形式列出各網(wǎng)孔電 流方程。自電阻始終取正值，互電阻前的符流方程。自電

33、阻始終取正值，互電阻前的符 號由通過互電阻上的兩個網(wǎng)孔電流的流向而號由通過互電阻上的兩個網(wǎng)孔電流的流向而 定，兩個網(wǎng)孔電流的流向相同，取正；否則定，兩個網(wǎng)孔電流的流向相同，取正；否則 取負。等效電壓源是理想電壓源的代數(shù)和，取負。等效電壓源是理想電壓源的代數(shù)和， 電壓升為電壓升為“+”。（3）聯(lián)立求解，解出各網(wǎng)孔電流。）聯(lián)立求解，解出各網(wǎng)孔電流。（4）根據(jù)網(wǎng)孔電流再求待求量。）根據(jù)網(wǎng)孔電流再求待求量。（1）選定各網(wǎng)孔電流的參考方向。）選定各網(wǎng)孔電流的參考方向。求解步驟求解步驟（2）按照網(wǎng)孔電流方程的一般形式列出各網(wǎng)孔電）按照網(wǎng)孔電流方程的一般形式列出各網(wǎng)孔電 流方程。自電阻始終取正值，互電阻取負

34、。流方程。自電阻始終取正值，互電阻取負。 等效電壓源是理想電壓源的代數(shù)和，電壓升等效電壓源是理想電壓源的代數(shù)和，電壓升 為為“+”。（3）聯(lián)立求解，解出各網(wǎng)孔電流。）聯(lián)立求解，解出各網(wǎng)孔電流。（4）根據(jù)網(wǎng)孔電流再求待求量。）根據(jù)網(wǎng)孔電流再求待求量。（1）選定各網(wǎng)孔電流的參考方向為瞬時針方向。）選定各網(wǎng)孔電流的參考方向為瞬時針方向。例：用網(wǎng)孔分析法求解各支路電流。用網(wǎng)孔分析法求解各支路電流。 已知已知R1 = 5 、R2 = 10 、R3 =20 。R1R3R2 +20V + 10VIm1Im2i1i3i2第一網(wǎng)孔的自電阻： R11 = R1 + R3 = 25第一和第二網(wǎng)孔的互電阻： R12

35、= R21 = 20第二網(wǎng)孔的自電阻： R22 = R2 + R3 = 30Us11 = 20VUs22 = 10V得網(wǎng)孔方程為：25Im1 20 Im2 = 20 20 Im1 + 30Im2 = 10無電流源受控源無電流源受控源Im1 =1.143AIm2 = 0.429AI1 = Im1I2 = Im2I3 = Im2 Im1R1R3R2 +20V + 10VIm1Im2i1i3i2I1 = 1.143AI2 = 0.429AI3 = 0.714A+-us1+-us5i5R3R5R6i3i4im2im3R1R2R4im1i2i1535642643642643212122121)()(0)

36、()()()()(smmmmmsmmuiRRRiRRiRRiRRRRiRuiRiRR網(wǎng)孔電流方程：不含電源、受控源電路不含電源、受控源電路例+-us1+-us5R2R4R3im1im2R1+-us4+-us6R6im3例：電路如圖所示，試求流經(jīng)30電阻的電流 I 。20 +40V 2A5030IIm1Im2解：本題電路含電流源，并且不能轉(zhuǎn)換為電壓源由于Im2是唯一流過包含電流源支路的網(wǎng)孔電流，且所選方向于電流源電流方向相反，故Im2=-2A。即網(wǎng)孔電流Im2不必再去求解，其值是已知的。網(wǎng)孔 1 的方程為：50Im1 - 30 Im2 = 40將Im2= 2A代入，得：50Im1 + 60 =

37、40Im1 =40 6050= 0.4AI = Im1 - Im2 = 0.4 -（- 2 ）= 1.6A50Im1 - 30 Im2 = 4020 +40V 2A5030IIm1Im2例:電路如圖所示，試列網(wǎng)孔方程。解：網(wǎng)孔方程為3Im1 Im2 2Im3 + U = 7 Im1 + 6Im2 3Im3 = 02Im1 3Im2 + 6Im2 U = 0Im1 Im3 = 7如果有受控源？如果有受控源？電流源兩端有電壓，列電流源兩端有電壓，列方程時考慮，注意符號方程時考慮，注意符號因為增加了一個未知量，因為增加了一個未知量，需要增加一個方程需要增加一個方程7A +7V Im2Im3Im1 +

38、 21123U7A（補充方程）解：R1R3im1im2+-us2R2i2+-u2ri2gu2控制量：含受控源電路網(wǎng)孔電流方程的列寫222321221)(smmmui riRRiRugi2212212)(Riiuiiimmmm消去u2、i2 ，整理得：若電路中含有受控源，列方程時可先將受控電流（壓）源看作獨立電流（壓）源，列完方程后再將控制變量消去。2232122212)()(0)1 (smmmmuirRRiRriRgiRg10 +6V 24+ 4V +8Ix Im1Im2Ix解：首先把受控源看成獨立源，寫出網(wǎng)孔方程，再把受控源的控制量用網(wǎng)孔電流表示，可得到：例：求 Ix。12Im1 2Im2

39、= 6 8Ix 2Im1 + 6Im2 = 4 + 8IxIx = Im212Im1 + 6Im2 = 6 2Im1 2Im2 = 4Ix = 3AIm2 = 3A習題習題: 3-7, 3-8 3-5 3-5回路電流法回路電流法 上節(jié)中，我們討論網(wǎng)孔電流法，它適用平面電上節(jié)中，我們討論網(wǎng)孔電流法，它適用平面電路，網(wǎng)孔電流是一組獨立的變量。能否尋找一組另路，網(wǎng)孔電流是一組獨立的變量。能否尋找一組另外的獨立變量，對非平面電路同樣適用。外的獨立變量，對非平面電路同樣適用。 我們知道獨立回路的一組電流也是獨立的變量，我們知道獨立回路的一組電流也是獨立的變量，回路電流是在回路中連續(xù)流動的假想電流，通常我

40、回路電流是在回路中連續(xù)流動的假想電流，通常我們選基本回路作為獨立回路?；芈冯娏骶褪窍鄳膫冞x基本回路作為獨立回路?；芈冯娏骶褪窍鄳倪B支電流。連支電流。 b-(n-1)個連支電流是一組完備的獨立變量個連支電流是一組完備的獨立變量！ 回路電流法是一種適應性很強并獲得廣泛應用回路電流法是一種適應性很強并獲得廣泛應用的分析方法。的分析方法。 如果，如果，4，5，6為樹，回路為樹，回路1，2，3，為單連支基本回路，連支，為單連支基本回路，連支電流的參考方向即為回路電流的電流的參考方向即為回路電流的參考方向。參考方向。 一個具有一個具有 b 條支路、條支路、 n 個節(jié)點個節(jié)點的網(wǎng)絡，有的網(wǎng)絡，有n-1個

41、樹支、個樹支、b-(n-1)個連個連支，因而就有支，因而就有b-(n-1)個連支電流。個連支電流。支路支路4：為回路：為回路1和和2共有，共有，3 3 1 2 4562142li1li3li214lliii 支路支路5：為回路：為回路1和和3共有，支路共有，支路5電流參考方向和回路電流參考方向和回路1相反，相反，和回路和回路2相反相反315lliii 支路支路4電流參考方向和回路電流參考方向和回路1相反，和回路相反，和回路2相同相同支路支路6：為回路：為回路1，2和和3共有，支路共有，支路6電流參考方向和回路電流參考方向和回路1相相同，和回路同，和回路2，3相反相反3216llliiii 21

42、4lliii 315lliii 3216llliiii 3 3 1 2 4562142li1li3li可見，樹支電流可以用回路電可見，樹支電流可以用回路電流表示，如果我們對結(jié)點流表示，如果我們對結(jié)點1，2，3應用應用KCL，可得可得32132163131521214llllllliiiiiiiiiiiiiiiii 可見，回路電流的假設自動滿足可見，回路電流的假設自動滿足KCL方程，只需要列方程，只需要列KVL方程即可。方程即可。n=4,b=6,樹支樹支3，連支，連支3，基本回路數(shù)，基本回路數(shù)3i5R1R5R2R3 us1+ us2R4R6us4+ +-+-us3+us1R5R3+us2 R4R

43、6 us4 + + us3 il1il3il2R1R2(R1+R2+R6+R4) il1 (R6+R4)il2 (R2+R6)il3= us1 us2 us4 (R4+R6)il1 + (R3 +R4 +R6)il2 + R6il3 = us3 + us4 (R2+R6) il1 + R6il2 + (R2 +R5 +R6)il3 = us2回路 I回路III回路 IIR31il1+R32il2+R33il3= us33R21il1+R22il2+R23il3= us22R11il1+R12il2+R13il3= us11進一步整理后得(R1+R2+R6+R4) il1 (R6+R4)il2

44、(R2+R6)il3= us1 us2 us4 (R4+R6)il1 + (R3 +R4 +R6)il2 + R6il3 = us3 + us4 (R2+R6) il1 + R6il2 + (R2 +R5 +R6)il3 = us2回路 I回路III回路 II自電阻：R11、R22、R33。它們分別是各個回路內(nèi)所 有電阻之和，如： R11= R1+R2+R6+R4；6523354322RRRRRRRR R31il1+R32il2+R33il3= us33R21il1+R22il2+R23il3= us22R11il1+R12il2+R13il3= us11+us1R5R3+us2 R4R6 u

45、s4 + + us3 il1il3il2R1R2互電阻：互電阻：R12、R13、R32?；芈分芈分g的共同電阻，無共同電阻者為零；間的共同電阻，無共同電阻者為零；互電阻的極性：互電阻的極性：由由相關(guān)兩個回路電流流經(jīng)這些支路的方相關(guān)兩個回路電流流經(jīng)這些支路的方 向是否一致決定，一致為正，相反為負；向是否一致決定，一致為正，相反為負；例如：例如：1，3兩個回路共同流過兩個回路共同流過R2，R6兩個支路，方向相反兩個支路，方向相反“-”6213RRR +us1R5R3+us2 R4R6 us4 + + us3 il1il3il2R1R2例如：例如：1，2兩個回路共同流過兩個回路共同流過R4，R6兩

46、個支路，方向相反兩個支路，方向相反“-”6412RRR +us1R5R3+us2 R4R6 us4 + + us3 il1il3il2R1R2例如：例如：2，3兩個回路共同流過兩個回路共同流過R6支路，方向相同支路，方向相同“+”623RR R31il1+R32il2+R33il3= us33R21il1+R22il2+R23il3= us22R11il1+R12il2+R13il3= us11+us1R5R3+us2 R4R6 us4 + + us3 il1il3il2R1R2互電阻的對稱性：R12=R21、R32= R23電壓升：us11、us22、us33 ?；芈穬?nèi)電壓源的代數(shù)和， 電壓

47、升的取正。233432242111ssssssuuuuuuuuu R11il1+R12il2+R1milm= us11R21il1+R22il2 +R2milm=us22Rm1il1+Rm2il2+Rmmilm= usmm一般回路方程：有m個基本回路的電路，按照相同的 規(guī)則可得m個方程如下：例VuVuRRRRRRss2,42151654321 要先確定樹要先確定樹1li2li3li+-R1+-R2R3R4R5R6us1us51li2li3li+-R1+-R2R3R4R5R6us1us5回路回路1 (1,6,5,4) 電流方向和連支電流方向和連支1相同相同213456回路回路2 (2,5,4)

48、電流方向和連支電流方向和連支2相同相同回路回路3 (3,5,6) 電流方向和連支電流方向和連支3相同相同 52215221722216533345222456111RRRRRRRRRRRRRVuuVuuVuuusssssss2225335225111 1li2li3li+-R1+-R2R3R4R5R6us1us5 24453223653113542112RRRRRRRRRRR回路回路1,2 (4,5) 電流方向相同電流方向相同 +回路回路1,3 (5,6) 電流方向相反電流方向相反 -回路回路2,3 (5) 電流方向相反電流方向相反 -R11il1+R12il2+R1milm= us11R21

49、il1+R22il2 +R2milm=us22Rm1il1+Rm2il2+Rmmilm= usmm252422542447321321321 llllllllliiiiiiiii例：選4、5、6為樹支，取各基本回路電流參考方向與其連支電流 一致。+-us1+-R1R2R6R4R5us5R3126453電路中有電流源時如何處理？電路中有電流源時如何處理？ 電路中如果有電流源和電阻的并聯(lián)組合，可等電路中如果有電流源和電阻的并聯(lián)組合，可等效為電壓源和電流的串聯(lián)組合。效為電壓源和電流的串聯(lián)組合。 電路中存在無伴電流源時，可增加一個變量，電路中存在無伴電流源時，可增加一個變量，就是電流源兩端的電壓，但因

50、為電流源所在支路的就是電流源兩端的電壓，但因為電流源所在支路的電流是已知的，因此增加了一個回路電流的附加方電流是已知的，因此增加了一個回路電流的附加方程，下面舉例說明：程，下面舉例說明：4A30V5I 1+25V19V241.5I 14A30V5I 1+25V19V241.5I 1U1U2n=3, b=5樹支樹支2, 連支連支3基本回路基本回路34A30V5I 1+25V19V241.5I 1U1U2 44642462411524231312332211RRRRRR1li2li3li45 . 15 . 125444625194663625301946112113132122321321llll

51、llllllllIIIIUIIIUUIIIIII4A30V5I 1+25V19V241.5I 1U1U2 44642462411524231312332211RRRRRR 在電路中任意選擇一個結(jié)點為參考點，其它在電路中任意選擇一個結(jié)點為參考點，其它結(jié)點與參考點之間的電壓，稱為該結(jié)點的結(jié)點電結(jié)點與參考點之間的電壓，稱為該結(jié)點的結(jié)點電壓。顯然一個壓。顯然一個n個結(jié)點的電路有個結(jié)點的電路有n-1個結(jié)點電壓。個結(jié)點電壓。 結(jié)點電壓的參考方向是由獨立結(jié)點指向參考結(jié)點電壓的參考方向是由獨立結(jié)點指向參考結(jié)點，也就是參考結(jié)點為負，獨立結(jié)點為正。結(jié)點，也就是參考結(jié)點為負，獨立結(jié)點為正。 3-6 3-6結(jié)結(jié) 點點

52、 電電 壓壓 法法is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R61230123456is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R61230123456 電路有電路有4個結(jié)點，參考點為個結(jié)點，參考點為0，獨立結(jié)點為，獨立結(jié)點為1，2，3，它們對結(jié)點它們對結(jié)點0的電壓分別用的電壓分別用un1,un2,un3表示表示 支路支路1的電壓的電壓u1=un1 ，支路，支路2的電壓的電壓u2=un2 支路支路3的電壓的電壓u3=un3，支路，支路4的電壓的電壓u4=un1- un2 支路支路5的電壓的電壓u5=un2- un3 ，支路，支路6的電壓的電壓u6=un1-

53、 un3有有6條支路條支路任一支路電壓等于其兩端結(jié)點電壓之差。任一支路電壓等于其兩端結(jié)點電壓之差。1230123456u1=un1 ，u2=un2 ， u3=un3，u4=un1- un2u5=un2- un3 ，u6=un1- un3可見，各支路電壓均可以用結(jié)點電壓表示可見，各支路電壓均可以用結(jié)點電壓表示對三個網(wǎng)孔應用對三個網(wǎng)孔應用KVL001221124 nnnnuuuuuuu002332235 nnnnuuuuuuu0)(0313221654 nnnnnnuuuuuuuuuKVL自動滿足，因此只需要對自動滿足，因此只需要對n-1個結(jié)點應用個結(jié)點應用KCL，待求量結(jié)點電壓，未知數(shù)待求量結(jié)點

54、電壓，未知數(shù)n-1，方程個數(shù)方程個數(shù)n-1 結(jié)點電壓法是以結(jié)點電壓為未知量，利用基爾結(jié)點電壓法是以結(jié)點電壓為未知量，利用基爾霍夫電流定律導出（霍夫電流定律導出（）個以獨立結(jié)點電壓為未）個以獨立結(jié)點電壓為未知量的方程，聯(lián)立求解，得出各結(jié)點電壓。然后進知量的方程，聯(lián)立求解，得出各結(jié)點電壓。然后進一步求出各待求量。一步求出各待求量。 結(jié)點電壓法適用于結(jié)點少、回路多的電路的分結(jié)點電壓法適用于結(jié)點少、回路多的電路的分析求解。析求解。 為了應用為了應用KCL，必須將各支路電流用結(jié)點電壓必須將各支路電流用結(jié)點電壓表示。表示。is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R6123012345

55、63333333222221111111RuuRuuiRuRuiiRuiRuisnsnsns 66316666532555421444snnsnnnniRuuiRuiRuuRuiRuuRui 123012345633332221111RuuiRuiiRuisnnsn 6631653254214snnnnnniRuuiRuuiRuui 對結(jié)點應用對結(jié)點應用KCL 000653542641iiiiiiiii0006631532333532421226631421111 snnnnsnnnnnnsnnnnsniRuuRuuRuuRuuRuuRuiRuuRuuiRu336365325163525421

56、461362416416631532333532421226631421111)111(1101)111(111)111(000RuiuRRRuRuRuRuRRRuRiiuRuRuRRRiRuuRuuRuuRuuRuuRuiRuuRuuiRussnnnnnnssnnnsnnnnsnnnnnnsnnnnsn 65333542226411133636532516352542146136241641)(0)()(GGGGGGGGGGGGuGiuGGGuGuGuGuGGGuGiiuGuGuGGGssnnnnnnssnnn 自導，自導，G11和結(jié)點和結(jié)點1有關(guān)聯(lián)的有關(guān)聯(lián)的電導，總是正的。電導，總是正的。

57、G11和結(jié)點和結(jié)點1有關(guān)聯(lián)的電導，有關(guān)聯(lián)的電導，G22和結(jié)點和結(jié)點2有關(guān)聯(lián)的電導有關(guān)聯(lián)的電導G33和結(jié)點和結(jié)點3有關(guān)聯(lián)的電導，有關(guān)聯(lián)的電導，is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R61230123456is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R6結(jié)點結(jié)點1，2之間有之間有G4相聯(lián)系相聯(lián)系G12=G21=-G4，互導總是負的互導總是負的33636532516352542146136241641)(0)()(ssnnnnnnssnnnuGiuGGGuGuGuGuGGGuGiiuGuGuGGG 5322363113GGGGGG 1230123456123

58、0123456的的為為負負的的為為正正，流流出出結(jié)結(jié)點點流流入入結(jié)結(jié)點點的的為為負負的的為為正正，流流出出結(jié)結(jié)點點流流入入結(jié)結(jié)點點3301163333226111sssssssiuGiiiii is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R633636532516352542146136241641)(0)()(ssnnnnnnssnnnuGiuGGGuGuGuGuGGGuGiiuGuGuGGG 進一步整理后得：G31un1+G32un2+G33un3= is33G21un1+G22un2+G23un3= is22G11un1+G12un2+G13un3= is11 G11u

59、n1+G12un2+G1(n-1)un(n-1) = is11 G21un1+G22un2 +G2(n-1) un(n-1) = is22. G (n-1)1un1+G (n-1)2un2+G (n-1)(n-1) un(n-1) = is (n-1)(n-1)一般結(jié)點電壓方程：有n個結(jié)點的電路，按照相同 的規(guī)則可得(n-1)個方程如下：例例列列出出結(jié)結(jié)點點方方程程,3,cos4,4,cos25 . 017313487436321VutVuAitAiRRRRRRRRssss 410321R2R3R4R5R6R7R8R7su+-+3su4si13si9,5 bn33442242322344114

60、311312112743446323352122841110, 0,GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG ttuGiuGituGiiitiiissssssssssscos8cos26cos42404cos233477443313332213411 例例5101055, 53/155 . 021, 05 . 0)3161(, 121211312161, 1312161332211322331132112332211 sssiiiGGGGGGGGG+-UO15V 3 2 2 2 6I1I2I310AI45AI512355 . 00105 . 05 . 0505 . 032