WxsCH3剛體的平面運動a

1、2022年年7月月4日日3-1 3-1 剛體的平面運動方程及運動分解剛體的平面運動方程及運動分解3-2 3-2 平面運動剛體上各點的速度分析平面運動剛體上各點的速度分析3-3 3-3 平面運動剛體上各點的平面運動剛體上各點的加加速度分析速度分析3-4 3-4 運動學綜合應用運動學綜合應用1.1.剛體平面運動的特點剛體平面運動的特點 在運動中，在運動中，剛體上的任意剛體上的任意一點與某一固一點與某一固定平面始終保定平面始終保持相等的距離，持相等的距離，且作平面曲線且作平面曲線運動，這種運運動，這種運動稱為動稱為。xyoz),(AAyx),(MMMzyxMAMAMAyyxxSzM = const

2、這些平行平面上與這些平行平面上與公垂線的交點具有相公垂線的交點具有相同的運動軌跡、速度同的運動軌跡、速度和加速度。和加速度。 剛體上平行于固定平剛體上平行于固定平面的所有平行平面具有面的所有平行平面具有相同的運動規(guī)律；相同的運動規(guī)律；2.2.計算模型的簡化計算模型的簡化 把研究剛體的平面運把研究剛體的平面運動轉(zhuǎn)化為研究平面圖形動轉(zhuǎn)化為研究平面圖形S S的運動。的運動。3.3.平面運動的分解平面運動的分解xy 在平面圖形上任取一點在平面圖形上任取一點A(或或B)為為基點基點(base point) ，建立一平動坐標系，建立一平動坐標系Axy (或或Bxy ) 。xy說明：說明：1. 基點為平移坐

3、標系（動系）的原點，基點固基點為平移坐標系（動系）的原點，基點固定于剛體上，基點應該是運動特征容易確定定于剛體上，基點應該是運動特征容易確定的點；的點；2. 平動坐標系平動坐標系Axy的載體為一假想剛體，該剛的載體為一假想剛體，該剛體上的平動坐標系體上的平動坐標系原點原點A始終與平面運動剛始終與平面運動剛體上的體上的基點基點A重合；重合；3. 平動與基點選擇有關，轉(zhuǎn)動與基點選擇無關平動與基點選擇有關，轉(zhuǎn)動與基點選擇無關；4. 平動時須指明基點的位置，而轉(zhuǎn)動時不必平動時須指明基點的位置，而轉(zhuǎn)動時不必.4.4.平面運動剛體的運動方程平面運動剛體的運動方程 tfxA1oxy tfyA2 tf3基點的

4、運動方程基點的運動方程剛體繞基點轉(zhuǎn)剛體繞基點轉(zhuǎn)動的運動方程動的運動方程定系定系Oxy x y動系動系Axy三個自由度三個自由度1. 從點的合成運動觀點分析：可將平面運動剛體從點的合成運動觀點分析：可將平面運動剛體上除基點以外的任意一點作為動點，上除基點以外的任意一點作為動點，動系為動系為平平移坐標系移坐標系Axy ,動坐標軸的方向始終不變，一動坐標軸的方向始終不變，一般設般設平行于定系平行于定系；2. 牽連運動為牽連運動為過基點的平移坐標系過基點的平移坐標系Axy的的平移平移運動；運動；相對運動為相對運動為以基點為圓心，以動點到基以基點為圓心，以動點到基點的距離為半徑的點的距離為半徑的圓周運動

5、圓周運動；二者二者的結(jié)果。的結(jié)果。ABvBABaBeBrvvvAvBAvBv x yAvAvBAvBv= +AM AMAM平面圖形內(nèi)直線平面圖形內(nèi)直線AM上上任意點的速度分布圖任意點的速度分布圖例1 已知： 。求圖示瞬時(位置)的 。解：BvBAvAvAvAvBAvBvBvBAvAv456075AB桿作平面運動桿作平面運動以以A為基點，為基點，B為動點為動點分析動點分析動點B的三種運動速度的三種運動速度RABAB作速度三角形求解未知量作速度三角形求解未知量vB=1.12RBC解BvBAvAvAvsmvvAB/56. 130cossmvvABA/9 . 030sin1 5 ./ABradssra

6、dBC/25. 2例例2：平面四連桿機構。平面四連桿機構。已知已知曲柄曲柄OA長長30cm, 以勻角速以勻角速度度6rad/s順時針轉(zhuǎn)動順時針轉(zhuǎn)動, 連桿連桿AB長長60cm 。試求圖示位置。試求圖示位置連桿連桿AB的角速度和搖桿的角速度和搖桿BC的角速度的角速度。AvBAvBvAB桿作平面運動桿作平面運動, 搖桿搖桿BC為定軸轉(zhuǎn)動為定軸轉(zhuǎn)動以以A為基點，為基點，B為動點為動點分析動點分析動點B的三種運動速度的三種運動速度OA=1.8m/sABABBCBCABBC=0.6/sin60(m)30o例3：平面四連桿機構。曲柄OA以不變的角速度 繞O軸轉(zhuǎn)動。求在圖示瞬間點C的速度。已知C、B、O在同

7、一垂線上04521OABrBCrOOOA1ooAcBAv0ABC解：AC為平面運動剛體為平面運動剛體ABABCBAABvvvrvvvABBA02245cosrAB2021ABCr0分析動點的三種運動速度分析動點的三種運動速度1ooAcAv0ABCBBvBAvAv先以先以B為動點，以為動點，以A為基點，為基點，求求 ABC45o作速度平行四邊形，求解作速度平行四邊形，求解以以C為動點，為動點，B為基點為基點求求vCCBBCvvvCBvBvcvBCABCrvvvvvCBBCBBc021022135cos26218135sinarcsin),(cBCBCvvvv1ooAcBAv0ABCBvAvBAv

8、021ABCrvB022r0作速度平行四邊形，求解作速度平行四邊形，求解135o例例4圖示的行星輪系中，大齒輪圖示的行星輪系中，大齒輪固定，半徑為固定，半徑為r1 ；行星齒輪；行星齒輪沿輪沿輪只滾不滑，半徑為只滾不滑，半徑為r2，桿，桿OA角速度為角速度為0。求：求：輪輪的角速度的角速度及其上及其上B，C 兩點的速度。兩點的速度。解解:求求AvAvDAvDAD Avvv0輪輪作平面運動作平面運動選擇動點選擇動點：二輪的交點：二輪的交點D選擇基點選擇基點：A=BAB Av= v+ v求求vB動點動點：II輪上的輪上的B點點 基點基點：A122Orrr？求求vCCAC Av= v+ vABAvAv

9、BvBAvBABAABABABvvvBAABABvv速度投影定理反映了剛體中兩點間距離不變的特性速度投影定理反映了剛體中兩點間距離不變的特性將各速度向?qū)⒏魉俣认駻B點連線投影點連線投影BABAvvv 若將各速度向若將各速度向AB連線的垂線軸投影，可連線的垂線軸投影，可以寫出什么關系？以寫出什么關系？ 可以求解哪個未知量？可以求解哪個未知量？例1 已知： 。求圖示瞬時(位置)的 。解BAABABvvAB桿為平面運動剛體，桿為平面運動剛體，分析分析A、B兩點絕對速度兩點絕對速度BAv將速度向?qū)⑺俣认駻B連線投影，連線投影，由速度投影定理得由速度投影定理得 AB解smOAvA/8 . 1BAABAB

10、vv30cosABvv sradBCvBBC/25. 260sin/6 . 030cos8 . 1例例2：平面四連桿機構。平面四連桿機構。已知已知曲柄曲柄OA長長30cm, 以勻角速以勻角速度度6rad/s順時針轉(zhuǎn)動順時針轉(zhuǎn)動, 連桿連桿AB長長60cm 。試求圖示位置。試求圖示位置搖桿搖桿BC的角速度的角速度。BCBvAvABBAv例例3 礦石軋碎機的活動夾板礦石軋碎機的活動夾板AB長長600mm，由曲柄，由曲柄OE借連桿組借連桿組帶動，使它繞帶動，使它繞A軸擺動。曲柄軸擺動。曲柄OE長長100mm，角速度為，角速度為10rad/s。連桿組由桿連桿組由桿BG，GD和和GE組成，桿組成，桿BG

11、和和GD各長各長500mm。求當。求當機構在圖示位置（機構在圖示位置（ OE 、 BD水平、水平、 OG鉛垂）時，夾板鉛垂）時，夾板AB的角的角速度。速度。解：解：EG、GB均為平面均為平面運動剛體，先考慮運動剛體，先考慮EG求出求出vG，再研究，再研究GB求求解解 AB)cos(vcosvGE1560cosvvGBOGOEtan(m)sinDG.OG1580m/s.vB5330rad/s.ABvBAB8880由速度投影定理得由速度投影定理得例例4 圖示平面機構中，曲柄圖示平面機構中，曲柄OA長長100mm，以角，以角速度速度=2rad/s轉(zhuǎn)動。連桿轉(zhuǎn)動。連桿AB帶動搖桿帶動搖桿CD，并拖，并

12、拖動輪動輪E沿水平面純滾動。已知：沿水平面純滾動。已知：CD=3CB，圖示位，圖示位置時置時A，B，E三點恰在一水平線上，且三點恰在一水平線上，且CDED。 解：解：ABAABBvvOAvB30cos1、求、求BAB作平面運動，由速度投影定理可得作平面運動，由速度投影定理可得CD作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸為作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸為Csm6928. 03BBDvCDCBvvDE作平面運動作平面運動2、求、求D3、求、求E三、三、 AAvMCAvMAvMAMAvvvAMvvAMAvAC 0ACvvACcAvAvc*平面圖形內(nèi)任一點的速度等于該點隨圖形繞瞬時速度中平面圖形內(nèi)任一點的速度等于該點隨圖形繞瞬時速度中

13、心轉(zhuǎn)動的速度。心轉(zhuǎn)動的速度。DEvBvDv若以速度瞬心為基點，則若以速度瞬心為基點，則*平面圖形作瞬時定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動中心為瞬心；平面圖形作瞬時定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動中心為瞬心；*圖形上各點速度分布如同圖形繞瞬心作定軸轉(zhuǎn)動一樣；圖形上各點速度分布如同圖形繞瞬心作定軸轉(zhuǎn)動一樣；EBc1）當平面圖形沿一固定平面做無滑動的滾動時）當平面圖形沿一固定平面做無滑動的滾動時cv2）、已知圖形內(nèi)任兩點）、已知圖形內(nèi)任兩點A和和B的速度的方向的速度的方向aAoBAvBvbCABAvBv3）、已知圖形上兩點）、已知圖形上兩點A 和和B的速度相互平行，且速的速度相互平行，且速度的方向垂直于兩點的連線度的方向垂直于兩點的連線

14、AB。cBACAvBv4）某一瞬時，圖形上）某一瞬時，圖形上A、B兩點的速度相等兩點的速度相等,且且速度的方向速度的方向不與不與兩點的連線兩點的連線AB垂直垂直。AoBAvBv瞬時平動瞬時平動例例1 1 已知：已知： 。瞬心法求圖示瞬時。瞬心法求圖示瞬時( (位置位置) )的的 解確定瞬心確定瞬心CvA=AC ABvB=BC AB75o60o45oABAvyxBv例例2：橢圓尺規(guī)的橢圓尺規(guī)的A端以速度端以速度 沿沿x軸的負方向運動，軸的負方向運動，AB= 。試求。試求B端的速度，尺端的速度，尺AB的角速度及的角速度及AB中點中點D的速度。的速度。lAvcDvD解：瞬心法sinlvACvAAAB

15、ABvACBCv ABDDCvcotAvsin2sin2AAvlvlvA=AC ABvB=BC AB例例3 已知：行星輪系固定輪半徑已知：行星輪系固定輪半徑R，行星輪半徑，行星輪半徑 r（只滾不滑），曲柄角速度（只滾不滑），曲柄角速度 。求：行星輪上。求：行星輪上M點點速度。速度。解：解：行星輪作平面運動行星輪作平面運動兩輪交點兩輪交點C為瞬心為瞬心cAvMvvA= (R+r) = r AAvABD例例4：已知已知 AB 桿桿A點點的速度，桿長的速度，桿長L，求，求桿桿B端的速度、桿的端的速度、桿的角速度、桿中點角速度、桿中點D的的速度和圓盤的角速度。速度和圓盤的角速度。解：解：研究研究AB桿

16、，桿，ABDvBvVCsinLvACvAVAABABVDDCvcotRvRvABB確定確定AB桿的速度瞬心桿的速度瞬心ABVBBCvDCBAvOO例例5：已知半徑為已知半徑為R的的圓輪在直線軌道上作純滾圓輪在直線軌道上作純滾動。輪心速度為動。輪心速度為vO 。求：求：輪緣上輪緣上A、B、C、D四點的速度。四點的速度。DCBAvOO RvO02CvACv02BvABv02DvADv例例6已知：曲柄滑塊機構中，曲柄已知：曲柄滑塊機構中，曲柄OAr，以以等角速度等角速度 0繞繞O軸轉(zhuǎn)動，軸轉(zhuǎn)動，連桿連桿ABl。在圖示情。在圖示情形下連桿與曲柄垂直。形下連桿與曲柄垂直。求：求：1. 滑塊的速度滑塊的速

17、度vB； 2. 連桿連桿AB 的角速度的角速度 AB 。 000coscosrvvABvAvBAvB0tanABAvv00tanlrABvABABvA=r 0 cos 0BAvv j cos v00rBvAvAvBAvB0tanABAvv00tanlrABvABABAB C BvABB00tanc lrvAvB00tanlrACvAAB00tanlr0sinl00cosr ， x y 解：解：AB桿為瞬時平動桿為瞬時平動AAaBaAaBAaBAanBAa ABaBA2 ABanBAAanBrBraaBBAanBAaBa+BaBeBraaa基點：基點：A動點：動點：B例1橢圓規(guī)機構中，曲柄橢圓規(guī)

18、機構中，曲柄OD以勻角速度以勻角速度 繞繞O軸軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動， 。求當。求當 時時尺尺AB的角加速度和點的角加速度和點A的加速度。的加速度。lBDADOD60ABoDxyDABoxy解：DaDanADaADal2()()nADA DA Daaaa2ABADAB2AD尺尺AB作平面運動作平面運動,以尺以尺AB上上D點為基點點為基點,以以A為動點為動點ABADAa分別寫出加速分別寫出加速度在度在 、 坐標坐標軸上的投影式軸上的投影式nADDAaaa)2cos(cossincossin0nADADDaaalllaaanADDA22260cos60coscoscos0coscossinsin22llaa

19、anADDAD0ADaADABDABoxyDaDanADaADaAa例例2 曲柄滑塊機構。已知：曲柄滑塊機構。已知： 。 求圖示位置時的滑塊加速度求圖示位置時的滑塊加速度 。 解：解：AB桿為平面運動桿為平面運動等式兩邊向等式兩邊向BA方向投影方向投影向與向與AB垂直的方向投影垂直的方向投影BanBAaAaBAaAaAaBAanBAaBa+選選A為基點，為基點，B為動點為動點aB=0.84R 2254. 0RaBA248. 0ABaBAAB例3車輪沿直線純滾動。已知半徑為R，中心O的速度為 ，加速度為 ，求車輪上速度瞬心C點的加速度。0v0a解：Rv0dtdvRRvdtddtd0010vc0a

20、oRa000adtdv取中心取中心O為基點，瞬心為基點，瞬心C為動點為動點nCOCOCOaaaa0aRvRanCO202nCCOaa0CxcoaaaRv0Ra0C0ao0acoanncoaCya0R a 向水平方向投影向水平方向投影向向CO方向投影方向投影0CCao0aACo討論討論：如何求解輪上：如何求解輪上A點的加速度點的加速度?nAOAOAOaaaaAOanAOaxy2AxOAOOaaaa2n2OAyAOvaaRR取中心取中心O為基點，為基點，A為動點為動點 0a分別向分別向x、y軸方向投影軸方向投影Rv0Ra0Aa 如果是勻速純滾動的如果是勻速純滾動的輪子，結(jié)果又如何？輪子，結(jié)果又如何

21、？外嚙合行星齒輪的機構中，外嚙合行星齒輪的機構中， , ,齒輪齒輪I的半徑為的半徑為r 。A在在 的延長線上，的延長線上，B在垂直于在垂直于 的半徑上。試求點的半徑上。試求點A和和B的的加速度。加速度。loo11OO1OO1例41o1ABO1o1ABOOvnoanAOa解：1lvO1rlrvO0)(AOa2122)(rlranAO21laO輪輪I I作平面運動作平面運動, ,以以O O點為基點點為基點, ,再分別以再分別以A A、B B為動點為動點nAOAOOAaaaa)1 (2121221)(0rllrllaaanAOAOa=const2212)(20)(1)(rllaaanBOBlraaaanBOnBOBarctanarct