千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題(三)：第99煉歸納推理與類比推理

1、第十二章 第99煉 歸納推理與類比推理 其它高考考點(diǎn)第99煉 歸納推理與類比推理一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）歸納推理：1、歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納），簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理2、處理歸納推理的常見思路：（1）利用已知條件，多列出（或計(jì)算出）幾個(gè)例子，以便于尋找規(guī)律（2）在尋找規(guī)律的過程中，要注意觀察哪些地方是不變的（形成通式的結(jié)構(gòu)），哪些地方是變化的（找到變量），如何變化（變量變化的規(guī)律）（3）由具體例子可將猜想的規(guī)律推廣到一般情形，看是否符合題意3、常見

2、的歸納推理類型：（1）函數(shù)的迭代：設(shè)是的函數(shù)，對(duì)任意，記，則稱函數(shù)為的次迭代；對(duì)于一些特殊的函數(shù)解析式，其通常具備某些特征（特征與）有關(guān)。在處理此類問題時(shí)，要注意觀察解析式中項(xiàng)的次數(shù)，式子結(jié)構(gòu)以及系數(shù)的特點(diǎn)，以便于從具體例子中尋找到規(guī)律，得到的通式（2）周期性：若尋找的規(guī)律呈現(xiàn)周期性，則可利用函數(shù)周期性（或數(shù)列周期性）的特點(diǎn)求出某項(xiàng)或分組（按周期分組）進(jìn)行求和。（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式（求和公式）：從數(shù)列所給的條件中，很難利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行變形推導(dǎo)，從而可以考慮利用條件先求出幾項(xiàng)，然后找到規(guī)律，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式（求和公式）（4）數(shù)陣：由實(shí)數(shù)排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來確定數(shù)陣的規(guī)律及

3、求某項(xiàng)。對(duì)于數(shù)陣首先要明確“行”與“列”的概念。橫向?yàn)椤靶小保v向?yàn)椤傲小?，在?xiàng)的表示上通常用二維角標(biāo)進(jìn)行表示，其中代表行，代表列。例如：表示第行第列。在題目中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)關(guān)于某個(gè)數(shù)的位置問題，解決的方法通常為先抓住選取數(shù)的特點(diǎn)，確定所求數(shù)的序號(hào)，再根據(jù)每行元素個(gè)數(shù)的特點(diǎn)（數(shù)列的通項(xiàng)），求出前行共含有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而確定該數(shù)位于第幾行，然后再根據(jù)數(shù)之間的規(guī)律確定是該行的第幾個(gè)，即列。（二）類比推理：1、類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理（簡稱類比）2、常見的類比類型及處理方法：（1）運(yùn)算的類比：通常是運(yùn)算級(jí)數(shù)相對(duì)應(yīng)：

4、 加法乘法， 數(shù)乘（系數(shù)與項(xiàng)的乘法）指數(shù)冪 減法除法（2）運(yùn)算律的類比：在數(shù)學(xué)中的其它領(lǐng)域，如果滿足加法，乘法的交換律，以及乘法的分配律，則代數(shù)表達(dá)式部分運(yùn)算公式可推廣到該領(lǐng)域中。例如在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，滿足交換律與分配律，則：代數(shù)中的平方差公式：，和差完全平方公式： 均可推廣到向量數(shù)量積中：，在復(fù)數(shù)的運(yùn)算中，滿足交換律與分配律，則實(shí)數(shù)中的運(yùn)算公式可推廣到復(fù)數(shù)中（甚至是二項(xiàng)式定理）（3）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比：等差數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著一，二級(jí)運(yùn)算（加減，數(shù)乘），等比數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著二，三級(jí)運(yùn)算（乘除，乘方）。所以在某些性質(zhì)中體現(xiàn)出運(yùn)算上的類比。例如：設(shè)為等差數(shù)列，公差為；為等比數(shù)列，公

5、比為，則 遞推公式： 通項(xiàng)公式： 雙項(xiàng)性質(zhì)： 等間隔取項(xiàng)，在數(shù)列，中等間隔的取項(xiàng)：則成等差數(shù)列 成等比數(shù)列（4）維度的類比：平面幾何（二維）的結(jié)論與立體幾何（三維）的結(jié)論進(jìn)行類比，當(dāng)維度升高時(shí)，涉及的要素也將維度升高，例如：位置關(guān)系：平面中的線的關(guān)系空間中的面的關(guān)系，線所成的角線面角或二面角，度量：線段長度圖形的面積，圖形面積幾何體體積，點(diǎn)到線的距離點(diǎn)到平面距離衍生圖形：內(nèi)切圓內(nèi)切球，外接圓外接球，面對(duì)角線體對(duì)角線（5）平面坐標(biāo)與空間坐標(biāo)的類比：平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)，在有些坐標(biāo)運(yùn)算的問題中，只需加上豎坐標(biāo)的運(yùn)算即可完成推廣，例如： 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：平面：設(shè)，則中點(diǎn) 空間：設(shè)，

6、則中點(diǎn) 兩點(diǎn)間距離公式：平面：設(shè)，則 空間：設(shè)，則3、同一個(gè)命題，不同的角度類比得到的結(jié)論可能不同，通常類比只是提供一個(gè)思路與方向，猜想出一個(gè)命題后通過證明才能保證其正確。在有關(guān)類比的題目中通常選擇正確的命題作為類比的結(jié)論二、典型例題：例1：已知，定義 ，經(jīng)計(jì)算 照此規(guī)律，則（ ）A. B. C. D. 思路：由定義可知：即為的導(dǎo)函數(shù)，通過所給例子的結(jié)果可以推斷出，從而，所以答案：C例2：蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似的看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖，其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，第六幅圖的蜂巢總數(shù)為（ ）A. B

7、. C. D. 思路：從所給圖中可發(fā)現(xiàn)第個(gè)圖可以視為在前一個(gè)圖的基礎(chǔ)上，外面圍上一個(gè)正六邊形，且這個(gè)正六邊形的每條邊有個(gè)小正方形，設(shè)第個(gè)圖的蜂巢總數(shù)為，則可知比多的蜂巢數(shù)即為外圍的蜂巢數(shù)。即 （每條邊個(gè)，其中頂點(diǎn)被計(jì)算了兩次，所以要減），所以有，聯(lián)想到數(shù)列中用到的累加法，從而由，且 則。代入可得答案：C例3：將正整數(shù)排成數(shù)陣（如圖所示），則數(shù)表中的數(shù)字出現(xiàn)在（ ）A. 第44行第78列 B. 第45行第78列C. 第44行第77列 D. 第45行第77列思路：從數(shù)陣中可發(fā)現(xiàn)每一行的末尾均為一個(gè)完全平方數(shù)，即第行最后一個(gè)數(shù)為，所以考慮離較近的完全平方數(shù)：，所以位于第行，因?yàn)槭堑?4行的最后一個(gè)數(shù)

8、，所以為第45行中第個(gè)數(shù)，即位于第45行第78列答案：B例4：已知結(jié)論：“在中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即”，若把該結(jié)論推廣到空間，則結(jié)論為：“在三棱錐中，側(cè)棱與平面，平面所成的角為，則有（ ）A. B. C. D. 思路：本題為維度推廣題，平面中的線段所成的夾角推廣為線面角，所以可將正弦定理的邊長（一維度量）類比推廣為面積（二維度量），正弦定理中為角所對(duì)的邊長，則在三棱錐中推廣為線面角所對(duì)的側(cè)面面積，即所對(duì)的側(cè)面為平面，所對(duì)的側(cè)面為平面，所以猜測(cè)，再考慮證明其正確性。證明過程如下：證明：分別過作平面，平面的垂線，垂足分別為 由線面角的定義可知： 同理： 得證答案：C例5：三角形的面積，其

9、中為其邊長，為內(nèi)切圓半徑，利用類比法可以得出四面體的體積為（ ）A. （其中分別為四個(gè)面的面積，為內(nèi)切球的半徑）B. （為底面面積，為四面體的高）C. （其中分別為四個(gè)面的面積，為內(nèi)切球的半徑）D. （為底面邊長，為四面體的高）思路：本題為維度題，在三角形中，面積依靠內(nèi)切圓半徑與邊長求解。則在四面體中，內(nèi)切圓類比成內(nèi)切球，邊長類比為面積。所以四面體的體積與內(nèi)切球半徑與各面面積相關(guān)，即在A，C中挑選?？紤]在三角形中，可通過連接內(nèi)心與各頂點(diǎn)，將三角形分割為三個(gè)小三角形，底邊為各邊邊長，高均為半徑，所以面積，其中系數(shù)來源于三角形面積公式。進(jìn)而類比到四面體中，可通過連接內(nèi)切球的球心與各頂點(diǎn)，將四面體分

10、割為4個(gè)小四面體，以各面為底面，內(nèi)切球半徑為高。從而。系數(shù)來源于棱錐體積公式答案：C例6：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列也是等比數(shù)列.若數(shù)列是等差數(shù)列，可類比得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)為（ ）A. 是等差數(shù)列 B. 是等差數(shù)列C. 是等差數(shù)列 D. 是等差數(shù)列思路：考慮在等比數(shù)列中，很多性質(zhì)為應(yīng)用二三級(jí)運(yùn)算（乘除法，乘方開方），到了等差數(shù)列中，很多性質(zhì)可類比為一二級(jí)運(yùn)算（加減，數(shù)乘）。在本題中所給等比數(shù)列用到了乘法與開方，所以可聯(lián)想到類比等差數(shù)列，乘法運(yùn)算對(duì)應(yīng)類比為加法，開方運(yùn)算對(duì)應(yīng)類比為除法。所以該性質(zhì)為：若數(shù)列是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列。這個(gè)命題是正確的，證明如下：證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則

11、 為等差數(shù)列 為公差是的等差數(shù)列答案：B例7：對(duì)于大于1的自然數(shù)的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行一下方式的“分裂”：，仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是，則的值是（ ）A. B. C. D. 思路：觀察這幾個(gè)等式不難發(fā)現(xiàn)以下特征：（1）可分解為個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，（2）從開始這些奇數(shù)是按 順次排列的。所以在第個(gè)數(shù)時(shí)，所用的奇數(shù)的總數(shù)為個(gè)。從3開始算起，是第個(gè)奇數(shù)。當(dāng)，可知所用的奇數(shù)總數(shù)為個(gè)，當(dāng)，可知所用的奇數(shù)總數(shù)為個(gè)。所以 答案：C例8：從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個(gè)數(shù)的和可以為（ ）A. B. C. D. 思路：當(dāng)三角形在移動(dòng)

12、時(shí)，觀察其規(guī)律，內(nèi)部的數(shù)如果設(shè)第一行的數(shù)為，則第二行的數(shù)為，其和為，第三行的數(shù)為，其和為，所以這九個(gè)數(shù)的和為，代入到各個(gè)選項(xiàng)中看能否算出即可。通過計(jì)算可得：時(shí)，符合題意答案：C例9：某種游戲中，黑，白兩個(gè)“電子狗”從棱長為1的正方體的頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”，黑“電子狗”爬行的路線是，白“電子狗”爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段與第段所在直線必須是異面直線（其中），設(shè)黑“電子狗”爬完2012段，白“電子狗”爬完2011段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白“電子狗”間的距離是_思路：首先根據(jù)題目中所給規(guī)則，觀察“電子狗”所走路徑的規(guī)律。會(huì)發(fā)現(xiàn)黑“電子狗”所走的路線為，然后周而復(fù)始，以6為周期；白“電子狗”所走的路線為，也是以6為周期。從而由周期性的規(guī)律可得：，則黑電子狗到達(dá)；，所以白電子狗到達(dá)，所以只需計(jì)算即可，由正方體性質(zhì)可知 答案： 例10：把正整數(shù)按一定的規(guī)律排成了如圖所示的三角形數(shù)陣，設(shè)是位于這個(gè)三角形數(shù)中從上往下數(shù)第行，從左往右數(shù)第列的數(shù)，如 若，則 ( )A. 111 B. 110 C. 108 D. 105思