第二章z變換與離散時(shí)間傅里葉變換

1、第二章第1講1版權(quán)所有 違者必究第二章第1講2抽樣信號(hào)nnTnTtnTxnTttxttxtxnTxnx)()()()()()()( )()(nSTdenTt)(nnsTenTxsX)()(nnznxnxzX)()()(ZSTeZ 0nnznxnxzX)()()(Z)()(sXzXSTez版權(quán)所有 違者必究第二章第1講3 z變換的收斂域變換的收斂域 一般，序列的Z變換 并不一定對(duì)任何z值都收斂，z平面上使上述級(jí)數(shù)收斂的區(qū)域稱(chēng)為“收斂域”。 我們知道，級(jí)數(shù)一致收斂的條件是絕對(duì)值可和，因此z平面的收斂域應(yīng)滿足nnznx)( )nnx n zM Z變換的收斂域變換的收斂域版權(quán)所有 違者必究第二章第1講

2、4 z變換的收斂域jImzRx+Rx-Rez0 Rx-|z|Rx+ 這就是收斂域，一個(gè)以Rx-和Rx+為半徑的兩個(gè)圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，Rx-和Rx+稱(chēng)為收斂半徑，Rx-和Rx+的大小，即收斂域的位置與具體序列有關(guān)，特殊情況為Rx-等于0，Rx+為無(wú)窮大，這時(shí)圓環(huán)變成圓或空心圓。因?yàn)閷?duì)于實(shí)數(shù)序列， 因此，|z| 值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對(duì)可和條件，這個(gè)范圍一般表示為nnnnznxznx)()(版權(quán)所有 違者必究第二章第1講5這里主要討論以下四種序列：a 有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列序列 (序列x(n)只在有限長(zhǎng)度n1n2 內(nèi)有值，其余為零)其Z變換X（z）是有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)和，只要級(jí)數(shù)每一項(xiàng)有界，有限項(xiàng)和也

3、有界，所以有限長(zhǎng)序列z變換的收斂域取決于|z|-n，n1nn2。 顯然 |z| 在整個(gè)開(kāi)域（0，）都能滿足以上條件，因此有限長(zhǎng)序列的收斂域是除 0 及兩個(gè)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)n0 和n0不收斂）以外的整個(gè) z 平面：nnnnnxnx其它0)()(2121)()(nnnnznxzX 0|z|版權(quán)所有 違者必究第二章第1講6b 右邊序列右邊序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nn1時(shí)，x（n）=0 收斂域： ，為收斂半徑Rx-以外的z平面， 1)()(nnnznxzX如果對(duì)n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，則根據(jù)條件 （n1nn2），收斂域可進(jìn)一步擴(kuò)大為包括0點(diǎn)或點(diǎn)的半開(kāi)域： 0|00021nzn

4、znz xRz 版權(quán)所有 違者必究第二章第1講7右邊序列中最重要的一種序列是 “因果序列” ，即n1 0的右邊序列，因果序列只在n0有值，n0時(shí)，x（n）=0，其z變換為： 收斂域： Z 變換的收斂域包括 點(diǎn)是因果序列的特征。0)()(nnznxzX|Rx-z版權(quán)所有 違者必究第二章第1講8c 左邊序列左邊序列 序列 x（n）只在nn2有值，n n2時(shí)，x（n）=0 收斂域： |Z|Rx+ ， 在收斂半徑為Rx+的圓內(nèi)。d 雙邊序列雙邊序列 可看作一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列之和，因此雙邊序列 z 變換的收斂域是這兩個(gè)序列 z 變換收斂域的公共部分。2)()(nnnznxzXnnznxzX)()

5、(111)()(nnnnnnznxznx版權(quán)所有 違者必究第二章第1講9 如果Rx+Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域: Rx-|z|Rx-如Rx+Rx-，無(wú)公共收斂區(qū)間，X（z）無(wú)收斂域，不收斂.Z 變換收斂域的特點(diǎn)：變換收斂域的特點(diǎn)： 1） 收斂域是一個(gè)圓環(huán)，有時(shí)可向內(nèi)收縮到原點(diǎn)，有時(shí)可向外收斂域是一個(gè)圓環(huán)，有時(shí)可向內(nèi)收縮到原點(diǎn)，有時(shí)可向外擴(kuò)展到擴(kuò)展到，只有，只有x（n）=（n）的收斂域是整個(gè)）的收斂域是整個(gè) z 平面。平面。 2） 在收斂域內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，X（z）在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上都是）在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上都是 解析函數(shù)。解析函數(shù)。 ImzjRez0ImzjRe

6、z0Rez0Imzj版權(quán)所有 違者必究第二章第1講10 例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收斂域?yàn)檎麄€(gè)閉域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比級(jí)數(shù)求和 nnzznzX11)()(0nNnNnnNzzzzznRzX10)1(2111)()(|0,11)(1zzzzXN版權(quán)所有 違者必究第二章第1講11解：Reza00)()()(nnnnnzaznuazX1za|az 或|)(11)(azazzzXza1|1)(zzznuImzj版權(quán)所有 違者必究第二章第1講12解：1az|az 或ImzjReza01)() 1()(nnnnnzaznuazX01)(1

7、)(nnnnazaz|)(111)(azazzzXaz版權(quán)所有 違者必究第二章第1講13解：03113131)()()()(nnnnnnnnnzzzzX031131)()(nnznnz31zz3zz3|31 z)(3(3)(313831zzzzzzzzXRez310Imzj3版權(quán)所有 違者必究第二章第1講14逆逆Z Z變換變換從給定的Z變換表達(dá)式(包括收斂域)求原序列的過(guò)程稱(chēng)為逆z變換。其實(shí)質(zhì)是求X(z)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)。dzzzXjnxcn1)(21)(式中C為收斂域中的一條逆時(shí)針環(huán)繞原點(diǎn)的閉合曲線。 版權(quán)所有 違者必究第二章第1講15逆逆Z Z變換變換是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍

8、線C內(nèi)的一組極點(diǎn)是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C外的一組極點(diǎn) kakb,)(Re)(1kknazzXsnx,)(Re)(1kknbzzXsnx如果 還滿足在 有二階或二階以上的零點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)輔助定理，有: z1)(nzzX)(nx若被積函數(shù) 是有理分式，一般采用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算圍線積分 。根據(jù)留數(shù)定理， 等于圍線C內(nèi)全部極點(diǎn)留數(shù)之和，即: 1)(nzzX版權(quán)所有 違者必究第二章第1講16逆逆Z Z變換變換在具體利用留數(shù)定理進(jìn)行圍線積分計(jì)算時(shí)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)及n值靈活選用公式來(lái)計(jì)算，可使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。例如，在n小于某一值時(shí)，被積函數(shù)在圍線內(nèi)部z=0處可能具有高階極點(diǎn)，這時(shí)采用圍線外部的極

9、點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算將方便得多。 如果 為單階極點(diǎn)，按留數(shù)定理: kzznkkkknzzXzzzzzXs11)()(,)(Rekz如果 為 階極點(diǎn)，則其留數(shù)為: kzznmkmmknzzXzzdzdmzzzXs)()()!1(1,)(Re1111kzm版權(quán)所有 違者必究第二章第1講17 求原序列x(n)已知某序列的Z變換為: azazzX11)1 ()(解:dzzazjdzzazjnxcncn121)1 (21)(111并且當(dāng) 時(shí)，z=0處不是極點(diǎn)，被積函數(shù)僅有單階極點(diǎn)a，在收斂域內(nèi)取圍線C包含極點(diǎn)a，可求得:0naz 由于收斂域?yàn)?，可知該序列必定是因果序列。)()(0,1Re)(nuanxnaaza

10、zsnxnnn或例例1:1:逆逆Z Z變換變換版權(quán)所有 違者必究第二章第1講18逆逆Z Z變換變換例例2 2：)()(1 ()(11azazazazazzzzXnnn又| ,)1)(1()(111azaazazzX求原序列x(n)已知序列的Z變換為：解：Rez0Imzja1/a收斂域|z|=|a|圍線C| | |1aza 所給收斂域 為環(huán)域 原序列 必為雙邊序列)(nx|z|=|1/a|在收斂域內(nèi)作包圍原定的圍線C版權(quán)所有 違者必究第二章第1講19逆逆Z Z變換變換當(dāng) 時(shí)，只有一個(gè)單階極點(diǎn)z=a,其圍線積分為：0n01,)(1Re)(21naaazazazasnxnn當(dāng)n則則xR0( )( )

11、,max,11nxmzZx mX zzRz版權(quán)所有 違者必究第二章第1講34求序列 的z變換，并確定其收斂域。)()cos()(0nunrnxn解：解：rrezzrenuerZrrezzrenuerZazaznuaZjjnjnjjnjnn00000011111)(11)(11)(221010110)cos2(1)cos(1111121)()cos(00zrzrzrzrezrenunrZjjnrz 線性性線性性版權(quán)所有 違者必究第二章第1講35xRznxZzXnunxnx),()(),()()(設(shè)求 的z變換和收斂域。nmmxny0)()(解：解：) 1()()()()(100nynymxmxn

12、xnmnm)1()()(nynyZnxZ)()()(1zYzzYzX 1 ,max)(11)(1xRzzXzzY即序列的移序列的移位性位性版權(quán)所有 違者必究第二章第1講36).(|)1ln()(1nxZazazzX變換的逆求解：解：121)(azazdzzdX111)()(azazdzzdXznnxZaznunanxnn)1()1()(1) 1()()(111111111nuaaazzaZazazZnX(z)對(duì)z進(jìn)行微分：Z域微分性逆Z變換版權(quán)所有 違者必究第二章第1講37用卷積定理求 )()(nunx設(shè))()(nuanhn1a)()()(nhnxny1|11)()(1zznuZzX|11)(

13、)(1azaznuaZzHn1|1111)()()(11zazzzHzXzYdzazzzjzHzXZnync)(1(21)()()(11)(11111,)(1(Re 1 ,)(1(Re1111nuaaaaaaazzzsazzzsnnnn解：解：卷積定理逆Z變換版權(quán)所有 違者必究第二章第1講38),()(nuanxn已知)()(nubnhn)()()(nhnxny1|1|ba、其中用復(fù)卷積定理求 )()(nyZzY解：解：|11)()(1bzbznubZzHn|11)()(1azaznuaZzXndvbvzavazjdvbvvvzajnyZzYcc)(/(/211)(1121)()(111復(fù)卷積

14、定復(fù)卷積定理理版權(quán)所有 違者必究第二章第1講39在v平面中，被積函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收斂域?yàn)椋篴zvb可見(jiàn)，只有一個(gè)極點(diǎn)v2=b在圍線C內(nèi)。由留數(shù)定理求得：| |,max|11,)(/(/Re)(1bazabzbbvzavazszY版權(quán)所有 違者必究第二章第1講40Z Z變換與拉氏變換的關(guān)系變換與拉氏變換的關(guān)系Z變換與拉氏變換的關(guān)系: )(| )(sXzXaezsT這一關(guān)系實(shí)際上是通過(guò) 將S平面的函數(shù)映射到了Z平面。 sTez 若將Z平面用極坐標(biāo)表示 ，S平面用直角坐標(biāo)表示 ，代入 ，得：jrez sTez jsTerT上述關(guān)系表明：

15、 z 的模 r 僅與 s 的實(shí)部 相對(duì)應(yīng)，z 的幅角 則僅與 s 的虛部 對(duì)應(yīng)。 映射關(guān)系：映射關(guān)系：)(10)(10)(10平面單位圓外平面單位圓內(nèi)平面上的單位圓zrzrzr版權(quán)所有 違者必究第二章第1講41Z Z變換與拉氏變換的關(guān)系變換與拉氏變換的關(guān)系Tzs/102,00(S平面實(shí)軸映射到Z平面的正實(shí)軸) (S平面原點(diǎn)映射到z =1點(diǎn))(當(dāng)由- /T 增加到+ /T 時(shí),對(duì)應(yīng)于 由- 增加到+ ) 由于 是 的周期函數(shù)，S平面每增加一個(gè)寬為2 /T 的水平條帶時(shí)，對(duì)應(yīng)于Z平面從- 到+ 旋轉(zhuǎn)了一周。這樣就有： jrez 1)(z即S平面的整個(gè)虛軸都映射到了Z平面 =1 的單位圓上,因此由S

16、平面到Z平面的映射是多值映射,這些關(guān)系示于下圖示： z版權(quán)所有 違者必究第二章第1講42Z Z變換與拉氏變換的關(guān)系變換與拉氏變換的關(guān)系抽樣序列的傅立葉變換即抽樣序列的頻譜抽樣序列的傅立葉變換即抽樣序列的頻譜。由于傅立葉變換是拉氏變換在虛軸上 的特例，按照前面的SZ平面的映射關(guān)系，它映射到Z平面 =1 的單位圓上，故有 jSz)()()(jXeXzXaTjezTj12()()()jTjanX eX eXjjnTT 或定義：定義：Z平面的角變量 ，稱(chēng)為數(shù)字頻率，單位為弧度。sffT2版權(quán)所有 違者必究第二章第1講43序列的傅立葉變換是從頻域?qū)﹄x散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行分析。它是用 作為基函數(shù)對(duì)序列進(jìn)行

17、正交展開(kāi)，這與連續(xù)時(shí)間信號(hào)中的傅立葉變換用 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行展開(kāi)相似。njetje版權(quán)所有 違者必究第二章第1講44 1 1序列傅立葉正變換序列傅立葉正變換 nnjjenxnxFeX)()()(x(n)的傅立葉變換定義如下: 是 的連續(xù)函數(shù)。但由于 其中M為整數(shù)，故有 nMjnjee)2()()()()2()2(MjnMjnjeXenxeX可見(jiàn) 還是 的周期函數(shù)，周期為2 。 ()jX e版權(quán)所有 違者必究第二章第1講45序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義2 2序列傅立葉變換與序列傅立葉變換與Z Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 比較后可見(jiàn)：序列的傅立葉變換是序列的傅立葉變換是Z Z變換在變換在 時(shí)

18、時(shí)的的Z Z變換，即變換，即Z Z變換在的單位圓上變換在的單位圓上 的特殊情況。的特殊情況。jez 1zjezjzXeX)()(序列的傅立葉變換式： nnjjenxnxFeX)()()(nnznxzX)()(序列的Z變換定義式： 版權(quán)所有 違者必究第二章第1講46序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義由于單位圓上的由于單位圓上的Z Z變換就等于抽樣序列的傅立葉變變換就等于抽樣序列的傅立葉變換，也就是序列的頻譜，因此，換，也就是序列的頻譜，因此，序列的傅立葉變序列的傅立葉變換也就是序列的頻譜。換也就是序列的頻譜。由于序列的傅立葉變換直由于序列的傅立葉變換直接給出了序列的頻譜，在頻譜分析與數(shù)字濾

19、波器接給出了序列的頻譜，在頻譜分析與數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中經(jīng)常用到，因此它是信號(hào)處理的重要工具設(shè)計(jì)中經(jīng)常用到，因此它是信號(hào)處理的重要工具之一。之一。 版權(quán)所有 違者必究第二章第1講47序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義一般為 的復(fù)變函數(shù)，可表示為: )(jeX)(arg| )(|)()()(jweXijjIjRjeeXejXeXeX其中， 分別為 的實(shí)部和虛部；通常稱(chēng) 為序列的幅頻特性或幅度譜，而稱(chēng) 為相位譜，并且有：)(jeX、)(jReX)(jIeX)(jeX)(arg)(jeX2/122)()(| )(|jIjRjeXeXeX)(/ )()(arg)(jRiIjeXeXarctgeX顯然

20、 都是 的連續(xù)函數(shù)和周期為 2 的周期函數(shù)。 、)(jeX)(版權(quán)所有 違者必究第二章第1講48序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義3 3序列的傅立葉反變換序列的傅立葉反變換 )()(1jeXFnx通常傅立葉反變換記為deeXdzzzXjnxjnjceznj)(21|)(21)(14 4序列的傅立葉變換的收斂條件序列的傅立葉變換的收斂條件 )()(nxenxnnjn即序列絕對(duì)可和該條件是序列傅立葉變換存在的充分但非充分但非必要必要條件有些序列雖然不滿足以上條件，但滿足平方可和，其傅立葉變換依然存在。見(jiàn)后例。某些既不滿足絕對(duì)可和的條件也不滿足平方可和條件的序列，若引入頻域的沖擊函數(shù) ，其傅立

21、葉變換也存在。如 、某些周期序列，見(jiàn)后例。 njenu、)()(版權(quán)所有 違者必究第二章第1講49序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義5 5常用序列的傅立葉變換常用序列的傅立葉變換 )(n11)(anuan1)1 (jae)(nRN)2/sin(/)2/sin(2/)1(NeNj1kk)2(2)(nukjke)2()1(1nje0kk)2(20)cos(0nkkk)2()2(00版權(quán)所有 違者必究第二章第1講50已知 ，求它的傅立葉變換。 )()(5nRnx)2/sin(2/5sin)()(11)()(22/2/2/52/52/2/5540jjjjjjjjjnjnjeeeeeeeeeenx

22、FeX解：解：其幅度譜和相位譜分別為： , |)2/sin(2/5sin|)(jeX)2/sin(2/5sinarg2)(版權(quán)所有 違者必究第二章第1講51|0|01)(ccjeH已知序列的傅立葉變換如下，求它的反變換。 解：解：deeHFnhnjccj21)()(1nnnjnejnecnjnjcc,sin)(21cccjncdeHnn22| )(|21|sin|顯然序列 不是絕對(duì)可和的，而是平方可和的 ，但其依然存在傅立葉變換。)(nhParseval定理版權(quán)所有 違者必究第二章第1講52njenx0)(證明復(fù)指數(shù)序列 的傅立葉變換為： kjkeX)2(2)(0證：證： 根據(jù)序列的傅立葉反變

23、換定義，利用沖擊函數(shù) 的性質(zhì)，有：)( knjdeknx)2(221)(0njnjede00)(1000nje，則若kkF)2(21 即mnmjmeanx)(若序列為復(fù)指數(shù)和的形式： 推推論論 kmmmjkaeX）則2(2)(版權(quán)所有 違者必究第二章第1講53求余弦序列 的傅立葉變換 nnx0cos)()2()2(00kkk21cos)()(000njnjjeeFnFnxFeX解：解：可見(jiàn)：序列序列 的傅立葉變換表現(xiàn)為在的傅立葉變換表現(xiàn)為在 處的處的沖擊，強(qiáng)度為沖擊，強(qiáng)度為 ，并以，并以2 2 為周期進(jìn)行周期延拓。為周期進(jìn)行周期延拓。 n0cos0利用上例結(jié)論版權(quán)所有 違者必究第二章第1講54

24、序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)下面所列出的性質(zhì)都可直接由Z變換令 得到，可自行證明。因序列的傅立葉變換是Z變換在 的單位圓上的特例，故所有Z變換的性質(zhì)對(duì)傅立葉變換都成立。jez 1z版權(quán)所有 違者必究第二章第1講55序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)l線性性線性性),()(jeXnxF若)()(jeYnyF)()()()(jjebYeaXnbynaxF則l序列的移位序列的移位)()(jeXnxF若)()(00jnjeXennxF則l頻域的相移頻域的相移)()(jeXnxF若)()(00jnjeXnxeF則l序列的反褶序列的反褶),()(jeXnxF若)()(jeXnxF則版權(quán)所

25、有 違者必究第二章第1講56序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)l序列的共軛序列的共軛)()(jeXnxF若)(*)(*jeXnxF則l頻域微分性頻域微分性)()(jeXnxF若dedXjnnxFj)()(則對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行線性加權(quán)對(duì)應(yīng)于頻域的微分l時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(jjjeHeXeY則)()()(nhnxny設(shè)版權(quán)所有 違者必究第二章第1講57序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)l頻域卷積定理（序列相乘）頻域卷積定理（序列相乘）),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(nhnxny設(shè))()(21)(jjjeHe

26、XeY則deHeXjj)(21)(l序列相關(guān)序列相關(guān))()()(jjjxyeYeXeR則),()(jeXnxF若)()(jeHnhFnxymnynxmr)()()(設(shè)2)()()()(jjjjxxeXeXeXeR推論序列的序列的自相關(guān)自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)的傅立葉傅立葉變換就變換就是序列是序列的功率的功率譜譜-維維納納-辛欠辛欠定理定理版權(quán)所有 違者必究第二章第1講58序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)lParsevalParseval定理定理)()(jeXnxF若deXnxjn22)(21)(則該定理表明：信號(hào)在時(shí)域中的能量等于頻域中的能量l重抽樣序列的傅立葉變換重抽樣序列的傅立葉變換)()

27、(jeXnxF若10)2()(1)(MlMlMjjeXMeY則 2, 1,0)()(nnMxny設(shè)10)2()(1)(MlMljMjeXMeY或該性質(zhì)表明：該性質(zhì)表明：重抽樣序列的頻譜是將原來(lái)序列的頻譜展寬了M倍，并將展寬后的頻譜以為周期擴(kuò)展了M個(gè)，幅度則下降到原來(lái)的1/M。M/2版權(quán)所有 違者必究第二章第1講59序列傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性序列傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性l序列的共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì)序列的共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì)若序列 滿足 )()(nxnxee)(nxe)(nxe則稱(chēng) 為共軛對(duì)稱(chēng)序列共軛對(duì)稱(chēng)序列)()(nxnxoo)(nxo類(lèi)似地，若序列 滿足 )(nxo則稱(chēng) 為共軛反對(duì)稱(chēng)序列共軛反對(duì)稱(chēng)序列 任何序列 均可表

28、示成上述兩種序列之和，)()()(nxnxnxoe即)(nx)()(21)()()(21)(nxnxnxnxnxnxoe其中版權(quán)所有 違者必究第二章第1講60序列傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性序列傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性)(nxe若將共軛對(duì)稱(chēng)序列 用它的實(shí)部和虛部來(lái)表示：)()()(njxnxnxeiere)()()(njxnxnxeiere則)()()()(nxnxnxnxeieierer此式表明： 的實(shí)部是n的偶函數(shù)，而虛部是n的奇函數(shù)； 的實(shí)部是n的奇函數(shù)，而虛部是n的偶函數(shù)。 )(nxe)(nxol序列傅立葉變換的共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì)序列傅立葉變換的共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì))()()(1nxnxnxoe、若將序列分成)()

29、()(nxFnxFeXoej對(duì)其實(shí)施傅立葉變換)(jeX將 分成實(shí)部與虛部 )()()(jIjRjejXeXeX共軛對(duì)稱(chēng)部分共軛反對(duì)稱(chēng)部分版權(quán)所有 違者必究第二章第1講61序列傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性序列傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性)()(Im)()(21)(*jIjjjoejXeXjeXeXnxF)()(Re)()(21)(jRjjjeeXeXeXeXnxF則上式表明：上式表明： 的傅立葉變換對(duì)應(yīng)于 的實(shí)部； 的傅立葉變換對(duì)應(yīng)于 的虛部(加上j 在內(nèi))。)(nxe)(nxo)(jeX)(jeX)()()(2njxnxnxir、若將序列分成)()()(nxjFnxFeXirj對(duì)其實(shí)施傅立葉變換nnjrrjee

30、nxnxFeX)()()(定義nnjiijoenxjnxjFeX)()()()()()(jojejeXeXeX則版權(quán)所有 違者必究第二章第1講62序列傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性序列傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性)()(, )()(jojojejeeXeXeXeX結(jié)論：結(jié)論： 具有共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì)， 具有共軛反對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。)(jeeX)(joeX若序列為純實(shí)數(shù)序列，即若 )()(nxnxr)()(jjeXeX則所以實(shí)序列x (n)的傅立葉變換的實(shí)部是的偶函數(shù)，而虛部是的奇函數(shù)；幅度是的偶函數(shù)，而相位是的奇函數(shù))(Im)(ImjjeXeX)(Re)(RejjeXeX推論推論若序列為純虛數(shù)序列，即若)()(njxnxi)()

31、(jjeXeX則所以純虛數(shù)序列的傅立葉變換是的奇函數(shù)。 第二章第1講63版權(quán)所有 違者必究第二章第1講64l系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)本節(jié)將以系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)和傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)為核心來(lái)研究系統(tǒng)的變換域分析方法，它們分別是h(n)的Z Z變換變換和傅立傅立葉變換葉變換。 )()()(nhnxny1 1、系統(tǒng)函數(shù)：、系統(tǒng)函數(shù)：若系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則線性時(shí)不變離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的輸入輸出關(guān)系為：兩邊取Z變換得 )()()(zHzXzY)()()(zXzYzH稱(chēng)稱(chēng)H H( (z z) )為線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是單位脈沖響應(yīng)的Z變

32、換 ，即：nnznhnhZzH)()()(版權(quán)所有 違者必究第二章第1講65系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的Z變換，即單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換nnjjenhnhFeH)()()(稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，又稱(chēng)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。)()(0000jnjmmjnjeHeemhemmnjemhnhnxny)(0)()()()(njenx0)(若給系統(tǒng)輸入單頻率的復(fù)信號(hào) ，則系統(tǒng)的輸出為：物理物理意義意義結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)輸入為一個(gè)單頻率的信號(hào)時(shí)，輸出亦為同當(dāng)輸入為一個(gè)單頻率的信號(hào)時(shí)，輸出亦為同一頻率的信號(hào)，但其幅度與相位都因?yàn)橐活l率的信號(hào)，但其幅度與相位都因?yàn)?的加的加權(quán)而發(fā)生了變化，且權(quán)而發(fā)生

33、了變化，且 的值是隨頻率的變化而的值是隨頻率的變化而變化的。變化的。)(0jeH)(0jeH版權(quán)所有 違者必究第二章第1講66xRz 1）因果：2）穩(wěn)定：( )nh n 序列h(n)絕對(duì)可和，即( )nnh n z 而h(n)的z變換的Roc：一、因果穩(wěn)定系統(tǒng)一、因果穩(wěn)定系統(tǒng)l系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性版權(quán)所有 違者必究第二章第1講67l系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性l例：例： 若系統(tǒng)函數(shù)如下式，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。 |2)21)(21 (1)(1zzzzHH(z)有2個(gè)極點(diǎn)， 和 ，給定的收斂域?yàn)?，包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，故系統(tǒng)為因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)。但收斂域不包括單位圓，

34、因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的。 21z2/12z z2解：解：3）因果穩(wěn)定：Roc：10,zrrH(z)須從半徑小于1的圓到 的整個(gè)z域內(nèi)收斂 即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi).版權(quán)所有 違者必究第二章第1講68若將收斂域改為 ，這時(shí)，收斂域包括單位圓，但不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果定但非因果。實(shí)際上這時(shí)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 ，顯然不是因果的。 22/1 znnh)2/1 ()(該例表明該例表明:同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，如果收斂域不同，系統(tǒng)的特性是完全不同的。由于任何物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都必定是因果的，對(duì)于這種非因果但穩(wěn)定的系統(tǒng)，有時(shí)可采用將單位脈沖響應(yīng)截取一段后保存在存儲(chǔ)器中，通過(guò)延

35、時(shí)使之變成因果系統(tǒng)來(lái)近似實(shí)現(xiàn)。版權(quán)所有 違者必究第二章第1講69如該例中，若將 截取從 的一段，然后令：120,) 2/ 1 ()()( |NnNnhnhNn1NnNnnh) 2/ 1 ()(來(lái)近似實(shí)現(xiàn)，如圖所示。顯然N越大，近似程度越好，但系統(tǒng)也就越復(fù)雜成本也越大。版權(quán)所有 違者必究第二章第1講70/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一系統(tǒng)的極點(diǎn)有： 問(wèn)什么情況下，系統(tǒng)為因果系統(tǒng)， 什么情況下，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系統(tǒng)： 0.41.5z穩(wěn)定系統(tǒng)：版權(quán)所有 違者必究第二章第1

36、講7100()()NMkmkma y nkb x nm00( )( )NMkmkmkma z Y zb zX z101101(1)( )( )/( )(1)MMmmmmmNNkkkkkb zc zH zY zX zKa zd z取z變換則系統(tǒng)函數(shù)版權(quán)所有 違者必究第二章第1講72LSI311( )(1)(2)( )(1)483( )( )123y ny ny nx nx nx ny n例：已知離散系統(tǒng)的差分方程：其中：為輸入，為輸出。）求系統(tǒng)函數(shù)，指出系統(tǒng)的零極點(diǎn)；）若該系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，指出系統(tǒng)的收斂域；）求該因果穩(wěn)定系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)。版權(quán)所有 違者必究第二章第1講73z解：1）對(duì)差分方程

37、兩邊取 變換：121311( )( )( )( )( )483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111( )33( )3111( )1114824zzY zH zX zzzzz111, 0 , 324zz 零點(diǎn)：極點(diǎn)：系統(tǒng)函數(shù)：212z ）由于系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 故收斂域： Re zIm jz00.50.2511/3版權(quán)所有 違者必究第二章第1講74 111131131111241124zzH zzzzzz 121311112424zH zAAzzzzz 1121211103112324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n) 對(duì)求z反變換即得單位抽樣響應(yīng)， 用

38、部分分式法版權(quán)所有 違者必究第二章第1講75 214141173114324zzzH zAReszzzz 10733( )1124zzH zzz1: 2-12Rocz 根據(jù)，查表得 10 17 1( )323 4nnh nu n版權(quán)所有 違者必究第二章第1講76j ne( )j nx nen ()( )( )( )jn mj nj mmmy nh m eeh m e()j njeH e在穩(wěn)態(tài)下，輸入為復(fù)指數(shù) 時(shí)，輸出也含有復(fù)指數(shù) ，只是它被一個(gè)復(fù)值函數(shù) 加權(quán)。j nej ne()jH e版權(quán)所有 違者必究第二章第1講770( )cos()x nAn000( )() cosarg()jjy nA H enH e2）LSI系統(tǒng)對(duì)正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出同頻 正弦序列幅度受頻率響應(yīng)幅度 加權(quán)相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和()jH e0版權(quán)所有 違者必究第二章第1講78( )( )* ( )y nx nh n()()()jjjY eX eH e1( )()()2jjj ny nH eX eed1( )()2jj nx nX eed其中：1()2jj nX eed微分增量（復(fù)指數(shù)）：對(duì)于線性移不變系統(tǒng)，其輸出序列的傅立葉變換等于對(duì)于線性移不變系統(tǒng)，其輸出序列的傅立葉變換等于輸入序列的傅