線性代數(shù)課件第五章矩陣的特征值與特征向量矩陣可對(duì)角化的條件實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

1、稱稱矩陣矩陣A可對(duì)角化可對(duì)角化. .定義定義1：矩陣：矩陣A是一個(gè)是一個(gè) 階方陣，若存在可逆矩陣階方陣，若存在可逆矩陣n，使，使 為對(duì)角矩陣，為對(duì)角矩陣，即即A與對(duì)角矩陣相似，則與對(duì)角矩陣相似，則P1PAP 1 1 ：設(shè)矩陣：設(shè)矩陣A 是一個(gè)是一個(gè) 階方陣，則階方陣，則A可對(duì)角化可對(duì)角化n 有有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量.An 若若n階矩陣階矩陣A有有n個(gè)不同特征值，則個(gè)不同特征值，則A可對(duì)角化可對(duì)角化.2 ：設(shè)矩陣：設(shè)矩陣A 是一個(gè)是一個(gè) 階方陣，則階方陣，則A可對(duì)角化可對(duì)角化n屬于屬于A的每個(gè)特征值的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)的每個(gè)特征值的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)等于該特征值的重

2、數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù).0 0 11 11 0 0Aa 例例1. 設(shè)設(shè)問問 為何值時(shí)，為何值時(shí)，A可對(duì)角化？可對(duì)角化？a 1求出矩陣求出矩陣A的全部互不相等的特征值的全部互不相等的特征值 12,.m 2對(duì)每一個(gè)特征值對(duì)每一個(gè)特征值 ，求出齊次線性方程組，求出齊次線性方程組 i 0,1,2,iEA xim 步驟步驟:的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即A的屬于的屬于 的全部線性無關(guān)的全部線性無關(guān)i 的特征向量）的特征向量）. 3若全部基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)之和等于若全部基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)之和等于n ，則，則 矩陣矩陣A可對(duì)角化；否則可對(duì)角化；否則A不可對(duì)角化不可對(duì)角化. 4以這些解向量為列，作

3、一個(gè)以這些解向量為列，作一個(gè)n階方陣階方陣P，則，則P可逆，可逆， 1PAP 就是對(duì)角矩陣，對(duì)角矩陣對(duì)角線上元素是就是對(duì)角矩陣，對(duì)角矩陣對(duì)角線上元素是A的的 互不相等的特征值互不相等的特征值.例例2. 問問A是否可對(duì)角化？若可，求可逆矩陣是否可對(duì)角化？若可，求可逆矩陣P，使，使122224242A 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣. 這里這里1PAP 122224242EA 227得得A的特征值是的特征值是2，2，- -7 .解解: A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 對(duì)于特征值對(duì)于特征值2，求出齊次線性方程組，求出齊次線性方程組 123122024402440 xxx 對(duì)于特征值對(duì)于特征值7，求出齊次方程組

4、，求出齊次方程組 123822025402450 xxx 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系: 3(1,2, 2)T 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系: 122,0,1,0,1,1TT 1232 01,0 121 12P 令令 則則 12 000 200 07PAP 所以所以A可對(duì)角化可對(duì)角化.性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征值都是實(shí)數(shù)的特征值都是實(shí)數(shù)12nxxx 證：設(shè)證：設(shè) 是是A的任意一個(gè)特征值，則有非零向量的任意一個(gè)特征值，則有非零向量 滿足滿足.A ,TAAAA 其中其中 為為 的共軛復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)，iixx12,nxxx 令令又由又由A實(shí)對(duì)稱，有實(shí)對(duì)稱，有TTTT

5、TTAAA ()0TTT AAA于是于是12120Tnnx xx xx x 由于是非零復(fù)向量，必有由于是非零復(fù)向量，必有 故故 . .R 注注 （1）對(duì)稱矩陣的特征值未必是實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣的特征值未必是實(shí)數(shù)（2）特征值皆為實(shí)數(shù)的實(shí)矩陣未必是實(shí)對(duì)稱矩陣特征值皆為實(shí)數(shù)的實(shí)矩陣未必是實(shí)對(duì)稱矩陣（3）反對(duì)稱實(shí)數(shù)矩陣的特征值是零或純虛數(shù)反對(duì)稱實(shí)數(shù)矩陣的特征值是零或純虛數(shù)性質(zhì)性質(zhì)2 實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交. 分別是屬于分別是屬于 的特征向量的特征向量 12, 12, 則則 1 121 121212()()TTTTTAA 12, 證：設(shè)證：設(shè) 是是A的兩個(gè)不

6、同特征值的兩個(gè)不同特征值 ，121222 12()()TTTA 即即1212()0.T 故故1212,0.T 2 即即 與與 正交正交.1 定理定理3：對(duì)對(duì)n 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A，總有正交矩陣，總有正交矩陣T，使，使112(,)nTATdiag 12,n 其中其中 為為 的全部特征值的全部特征值. .A 對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，使，使112(,)nTATdiag 成立的正交矩陣不是唯一的成立的正交矩陣不是唯一的 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似實(shí)對(duì)角矩陣步驟實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似實(shí)對(duì)角矩陣步驟(i) 求出求出A的所有不同的特征值：的所有不同的特征值：12,mR 其重?cái)?shù)其重?cái)?shù) 必滿足必滿足 ; 12,mn nn1miinn (ii) 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組 i ()0iEA x 求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：12,(1,2,)iiiikim 它是它是A的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量的特征向量i 把它們按把它們按 正交化過程化成兩兩正交的單位特正交化過程化成兩兩正交的單位特Schmidt征向量征向量12,.n 12,n (iii)以以 為列向量構(gòu)成正交矩陣為列向量構(gòu)成正交矩陣T，則有，則有 為對(duì)角形為對(duì)角形1TAT 例例3設(shè)設(shè) 220212020A 求一正交矩陣求一正交矩陣