數(shù)模例題：飛行管理

1、飛行管理問(wèn)題飛行管理問(wèn)題 在約1萬(wàn)米高空的某邊長(zhǎng)為160公里的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行,區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí),記錄其數(shù)據(jù)后,要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞,如果會(huì)碰撞,則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整每架(包括新進(jìn)入的)飛機(jī)飛行的方向角,以避免碰撞?，F(xiàn)假定條件如下:(1) 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8公里;(2) 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò)30度;(3) 所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí)800公里;(4) 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)與區(qū)域內(nèi) 飛機(jī)的距離應(yīng)在60公里以上;(5)

2、最多需考慮6架飛機(jī);(6) 不必考慮飛機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的狀況。 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型,列出計(jì)算步驟,要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。并對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過(guò)0.01度).飛機(jī)編號(hào)飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)X縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)Y方向角方向角(度度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入新進(jìn)入0052飛行管理問(wèn)題參考解答飛行管理問(wèn)題參考解答1.問(wèn)題分析問(wèn)題分析目的：不碰撞。手段：調(diào)整飛行方向角。要求：調(diào)整的幅度盡量小。求解思路：(1) 找出不碰撞的條件。(2)求調(diào)整幅度的極小值。 建立優(yōu)化模型。 題目的條

3、件題目的條件(1) 飛機(jī)在正方形區(qū)域內(nèi)水平飛行。(2) 飛機(jī)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為二者距離大于8公里 。 根據(jù) (1)可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面xoy中的一個(gè)正方形區(qū)域,頂點(diǎn)為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 根據(jù) (2)可將每架飛機(jī)視為一個(gè)以飛機(jī)坐標(biāo)點(diǎn)為圓心、以4公里為半徑的圓狀物體。 每架飛機(jī)在空域中的狀態(tài)由圓心的位置矢量和飛行速度矢量確定。 這樣兩架飛機(jī)是否碰撞就化為兩圓在運(yùn)行過(guò)程中是否相交的問(wèn)題。兩圓是否相交只要討論它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)即可。 2.模型假設(shè)模型假設(shè)(1) 飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域邊緣時(shí),立即作出計(jì)算,每架飛機(jī)按照計(jì)算后的指示立即作方向角改變;(2) 每架飛機(jī)在

4、整個(gè)過(guò)程中至多改變一次方向;(3) 忽略飛機(jī)轉(zhuǎn)向的影響(轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時(shí)間的影響);(4) 新飛機(jī)進(jìn)入空域時(shí),已在空域內(nèi)部飛行的飛機(jī)的飛行方向已調(diào)合適,不會(huì)碰撞;(5) 對(duì)每架飛機(jī)方向角的相同調(diào)整量的滿意程度是一樣的。3.模型的建立模型的建立(1) 圓狀模型圓狀模型 由前面的分析將飛機(jī)作為圓狀模型進(jìn)行研究。兩圓不相交,則表明不會(huì)發(fā)生碰撞事故;若兩圓相交,則表明會(huì)發(fā)生碰撞事故。 為了研究?jī)娠w機(jī)相撞問(wèn)題,采用相對(duì)速度作為研究對(duì)象,因?yàn)轱w機(jī)是否相撞的關(guān)鍵是相對(duì)速度。下圖給出任意兩架飛機(jī)間的關(guān)系。圖中符號(hào)含義如下: i,j 第i、第j架飛機(jī)的圓心;aij 第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)的碰撞角,是兩圓的切線交

5、角中指向圓的那個(gè)角的一半.;vij第i架飛機(jī)相對(duì)于第j架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度;lij第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)的圓心距;ij第i架飛機(jī)對(duì)于第j架飛機(jī)的相對(duì)速度與兩架飛機(jī)圓心連線的交角。規(guī)定以第i架飛機(jī)為原點(diǎn),ij連線從i指向j為正方向,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角; AB、CD為兩圓的公切線, mi/AB, nj/CD 另外再引入記號(hào):i 第i架飛機(jī)的飛行方向與直角坐標(biāo)xoy中x軸正向的夾角(轉(zhuǎn)角);xi 第i架飛機(jī)在坐標(biāo)xoy中的位置矢量;vi 第i架飛機(jī)的飛行速度矢量。 由圖得到兩飛機(jī)不相撞(兩圓不相交)的充要條件是|ij|aij.當(dāng)|ij|aij時(shí),則通過(guò)調(diào)整兩飛機(jī)的方向角i與i,使飛機(jī)

6、不相撞。 (2) 決策目標(biāo)決策目標(biāo) 題目要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小,這個(gè)盡量小是針對(duì)每架飛機(jī)而言,同時(shí)也要求整體滿意程度(即對(duì)管理層而言,應(yīng)使每架飛機(jī)的調(diào)整都盡量的小). 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí),可以認(rèn)為若對(duì)方向角調(diào)整量最大的飛機(jī)而言,其調(diào)整量可滿意,則由假設(shè)(5)對(duì)其余飛機(jī)調(diào)整量均可滿意。即要求每架飛機(jī)的調(diào)整量都小于某個(gè)數(shù) 故可取目標(biāo)函數(shù)為 ,求其最小值 min (3) 由圓狀模型導(dǎo)出的方程由圓狀模型導(dǎo)出的方程飛行方向角改變量i 、j 相對(duì)飛行速度方向角ij的改變量ij討論ij 與i 、j的關(guān)系。對(duì)飛行速度矢量vi ，由題目條件有，|vi=|vi=800 =A(km)飛行方向角為i用復(fù)數(shù)表示

7、vi得。iiiAev記第i,j兩架飛機(jī)飛行方向改變前的速度、兩架飛機(jī)的相對(duì)速度分別為：,11111jiijijiivvvAevAevji飛行方向改變后的速度、相對(duì)速度分別為：222)(2)(2,jiijijiivvvAevAevjjii則相對(duì)飛行速度方向角的改變量ij由 得出。12/ijijvv定理定理 對(duì)第i,j架飛機(jī),其相對(duì)速度方向的改變量ij等于兩飛機(jī)飛行方向角改變量的平均值。2jiij故2122sin2sinjiijijjiiijijevv則調(diào)整方向后兩飛機(jī)不相撞的充要條件是： |ij + ij |aij.總結(jié)以上結(jié)果得如下優(yōu)化模型 min (1) s.t.|ij+ ij |aij.,

8、ij =（i +j） (2) |i |, i=16, (3) |i |30,i=16, (4) 0 i 30 (5) (4) 線性規(guī)劃模型。 將上述優(yōu)化模型進(jìn)行化簡(jiǎn),可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型。|ij+ ij |aij可化為：ij+ ij aij 當(dāng)ij0ij + ij -aij 當(dāng)ij2aij -2 ij 當(dāng)ij0 (7) i1 -i2 + j1 -j2 2 ij -2 aij 當(dāng)ijaij(即不會(huì)相撞)。 其中有些飛機(jī)對(duì)有|ij|-aij aij 0.01, 只須將模型中的ai用 ai0.01代替即可。 將調(diào)整后各量再代入模型進(jìn)行計(jì)算得 min= 0即此時(shí)無(wú)需再調(diào)整。經(jīng)模擬程序運(yùn)行可觀察動(dòng)態(tài)結(jié)果是正確的。6. 6. 模型評(píng)價(jià)與推廣模型評(píng)價(jià)與推廣 此模型采用圓狀模型分析碰撞問(wèn)題是合理的,同時(shí)采用相對(duì)速度作為判斷標(biāo)準(zhǔn),即體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)(相對(duì)運(yùn)動(dòng)),又簡(jiǎn)化了模型的計(jì)算。 建模中用了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化,將一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。既求到合理的解,又提高了運(yùn)算速度。這對(duì)于解決高速運(yùn)行的飛機(jī)碰撞問(wèn)題是十分重要的。此模型對(duì)題目所提供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿意的。(1)