解直角三角形的應(yīng)用

1、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.4 在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)碰到一些與直角在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)碰到一些與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. .對(duì)于這些問(wèn)題，我們可以對(duì)于這些問(wèn)題，我們可以用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)來(lái)加以解決用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)來(lái)加以解決. .動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋某探險(xiǎn)者某天到達(dá)如圖所示的點(diǎn)某探險(xiǎn)者某天到達(dá)如圖所示的點(diǎn)A處時(shí)，他準(zhǔn)處時(shí)，他準(zhǔn)備估算出離他的目的地備估算出離他的目的地海拔為海拔為3500m的山峰頂點(diǎn)的山峰頂點(diǎn)B處的水平距離處的水平距離. .你能幫他想出一個(gè)可行的辦法嗎你能幫他想出一個(gè)可行的辦法嗎？ 如右圖所示，如右圖所示，BD表示

2、點(diǎn)表示點(diǎn)B的海拔，的海拔，AE 表示點(diǎn)表示點(diǎn)A 的海拔，的海拔，ACBD，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)C. 先先測(cè)量出海拔測(cè)量出海拔AE，再測(cè)出仰角，再測(cè)出仰角BAC，然后，然后用銳角三角函數(shù)的知識(shí)就可求出用銳角三角函數(shù)的知識(shí)就可求出A，B兩點(diǎn)兩點(diǎn)之間的水平距離之間的水平距離AC做一做做一做如圖，如果測(cè)得點(diǎn)如圖，如果測(cè)得點(diǎn)A的海拔的海拔AE為為1600m，仰角，仰角 求出求出A，B兩點(diǎn)之間的水平距離兩點(diǎn)之間的水平距離AC（結(jié)果結(jié)果保留整數(shù)保留整數(shù)）. .40 AC , ,40 AC , ,，ACBD，1600AE，如圖，如圖， 3500BD 在在RtABC中，中，.tantan40 BCBDAEBAC

3、=ACAC- -3500 16000.8391.AC- -即即2264(m).AC因此，因此，A，B兩點(diǎn)之間的水平距離兩點(diǎn)之間的水平距離AC約為約為2264m. .舉舉例例例例1 1 如圖如圖所示所示，在離上海東方明珠塔，在離上海東方明珠塔1000m的的A處，處，用儀器測(cè)得塔頂?shù)难鼋怯脙x器測(cè)得塔頂?shù)难鼋?為為25( (在視線(xiàn)與水平在視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的叫作仰角，在線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的叫作仰角，在水平線(xiàn)下方的叫作俯角水平線(xiàn)下方的叫作俯角) )，儀器距地面高為，儀器距地面高為1.7m. .求上海求上海東方明珠塔的高東方明珠塔的高BD. . （結(jié)果精確到結(jié)果精確到1

4、m.）BC如圖，在如圖，在RtABC中，中，BAC =25，AC =100m，因此因此.tan251000BCBC=AC答：上海東方明珠塔的高度答：上海東方明珠塔的高度BD為為468 m.從而從而1000 tan25 466.3BC（m）.因此，上海東方明珠塔的高度因此，上海東方明珠塔的高度 466.3+1.7=468BD（m）.練習(xí)練習(xí)1.如圖，一艘游船在離開(kāi)碼頭如圖，一艘游船在離開(kāi)碼頭A后，以和河岸成后，以和河岸成 30角的方向行駛了角的方向行駛了500m到達(dá)到達(dá)B處，求處，求B處與河處與河 岸的距離岸的距離. . 解解 由圖可知由圖可知ACB =90.如圖，在如圖，在RtABC中，中，A

5、 =30，AB =500m，所以所以 BC =250（m）.因此因此1sin.5002BCBCA=AB答：答：B處與河岸的距離為處與河岸的距離為250m. . 如圖，某廠家新開(kāi)發(fā)的一種電動(dòng)車(chē)的大燈如圖，某廠家新開(kāi)發(fā)的一種電動(dòng)車(chē)的大燈A射出的射出的光線(xiàn)光線(xiàn)AB，AC與地面與地面MN所形成的夾角所形成的夾角ABN， ACN分別為分別為8和和15，大燈，大燈A與地面的距離為與地面的距離為1m，求該車(chē)大燈照亮地面的寬度，求該車(chē)大燈照亮地面的寬度BC（不考慮其他不考慮其他因素，結(jié)果精確到因素，結(jié)果精確到0.1m）2. 解解 作作ADMN于于D.D如圖，在如圖，在RtABD中，中，ABD =8，AD =1

6、m，所以所以 BC =BD- -CD3.4（m）. .同理同理 CD3.73m.因此因此.1tanADABD=BDBD從而從而( ).117.12 mtantan8BDABDD探究探究如圖，從山腳到山頂有兩條路如圖，從山腳到山頂有兩條路AB與與BD，問(wèn)哪條路比較陡，問(wèn)哪條路比較陡？右邊的路右邊的路BD陡些陡些如何用數(shù)量來(lái)刻畫(huà)哪條路陡呢如何用數(shù)量來(lái)刻畫(huà)哪條路陡呢？如上圖所示，從山坡腳下點(diǎn)如上圖所示，從山坡腳下點(diǎn) A 上坡走到點(diǎn)上坡走到點(diǎn)B時(shí)，時(shí)，升高的高度升高的高度h（即線(xiàn)段（即線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度）與水平前進(jìn)的距的長(zhǎng)度）與水平前進(jìn)的距離離l（即線(xiàn)段（即線(xiàn)段AC 的長(zhǎng)度）的比叫作坡度，用字母的長(zhǎng)度）的

7、比叫作坡度，用字母i表表示，即示，即hi =l（坡度通常寫(xiě)成（坡度通常寫(xiě)成1:m的形式）的形式）坡度越大，山坡越陡坡度越大，山坡越陡在上圖中，在上圖中，BAC 叫作坡角（即山坡與地平面的叫作坡角（即山坡與地平面的夾角），記作夾角），記作 ，顯然，坡度等于坡角的正切，即，顯然，坡度等于坡角的正切，即 = tanhi =.l舉舉例例例例2 2如圖，一山坡的坡度為如圖，一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳小剛從山腳A出發(fā)，出發(fā)， 沿山坡向上走了沿山坡向上走了240m到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C. .這座山坡的坡角是多這座山坡的坡角是多少度少度？小剛上升了多少米小剛上升了多少米？（角度精確到（角度精確到0.01，長(zhǎng)

8、，長(zhǎng)度精確到度精確到0.1m）i=1:2如圖，在如圖，在RtABC中，中，B=90，A=26.57，AC=240m，因此因此sin240BCBC =.AC. .1tan= 0 52解解用用 表示坡角的大小，由題意可得表示坡角的大小，由題意可得i=1 2因此因此 26.57.答：這座山坡的坡角約為答：這座山坡的坡角約為26.57，小剛上升了約，小剛上升了約107.3 m從而從而 （m）240 sin26 5707 3BC. 你還可以用其你還可以用其他方法求出他方法求出BC嗎？嗎？如圖，一艘船以如圖，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在的速度向正東航行，在A處測(cè)得燈塔處測(cè)得燈塔C在北偏東在北偏

9、東60方向上，繼續(xù)航行方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東在北偏東30方向上方向上. 已知在燈已知在燈塔塔C的四周的四周30km內(nèi)有暗礁內(nèi)有暗礁問(wèn)這艘船繼續(xù)向東航行是問(wèn)這艘船繼續(xù)向東航行是否安全否安全？例例3 3舉舉例例作作CDAB，交，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D . 設(shè)設(shè)CD=xkm.解解這艘船繼續(xù)向東航行是否安全，取決于燈塔這艘船繼續(xù)向東航行是否安全，取決于燈塔C到到AB航線(xiàn)的距離是否大于航線(xiàn)的距離是否大于30km如果大于如果大于30km， 則安全，否則不安全則安全，否則不安全分析分析tanCDCAD,AD在在RtACD中，中， tantan30CDx

10、AD.CAD同理，在同理，在RtBCD中，中，tantan30CDxAD.CADABADBD, 40tan30tan60 xx.因此，該船能繼續(xù)安全地向東航行因此，該船能繼續(xù)安全地向東航行解得解得 20 3x.又又20 334 6430.,D1. 一種坡屋頂?shù)脑O(shè)計(jì)圖如圖所示一種坡屋頂?shù)脑O(shè)計(jì)圖如圖所示. 已知屋頂?shù)膶挾纫阎蓓數(shù)膶挾萳為為10m，坡屋頂?shù)母叨?，坡屋頂?shù)母叨萮為為3.5m. 求斜面求斜面AB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度和坡角和坡角 （長(zhǎng)度精確到（長(zhǎng)度精確到0.1m，角度精確到，角度精確到1）.練習(xí)練習(xí)解解 設(shè)設(shè)CB中點(diǎn)為中點(diǎn)為D ，則則由圖可知由圖可知ADBC.D在在RtABD中，中，1= 5m.

11、2BDBCAD=h=3.5m，.3 5tan0 75，ADBD又又由勾股定理得由勾股定理得.22223 556 1 mAB =AD + BD所以所以. 35某次軍事演習(xí)中，有三艘船在同一時(shí)刻向指揮所報(bào)告：某次軍事演習(xí)中，有三艘船在同一時(shí)刻向指揮所報(bào)告：A船說(shuō)船說(shuō)B船在它的正東方向，船在它的正東方向，C船在它的北偏東船在它的北偏東55方向；方向；B船說(shuō)船說(shuō)C船在它的北偏西船在它的北偏西35方向；方向；C船說(shuō)它到船說(shuō)它到A船的距離船的距離比它到比它到B船的距離遠(yuǎn)船的距離遠(yuǎn)40km. 求求A，B兩船的距離（結(jié)果精兩船的距離（結(jié)果精確到確到0.1km）. .2.解解 由圖易知由圖易知ACB =90，即

12、，即ABC為直角三角形為直角三角形.在在RtABC中，中，CBA =55, CAB =35,sinsin35，CBCAB =AB.sinsin55ACCBA=AB所以所以所以所以CB= AB ，CA=AB .sin55sin35解得解得 AB162.9（km）. 又又 CA- - CB=40,sin55sin35AB - - AB =40.即即 1. 在直角三角形中，銳角的正弦、余弦、正切分別在直角三角形中，銳角的正弦、余弦、正切分別 是哪兩條邊的比是哪兩條邊的比？ 2. 30，45，60角的正弦值、余弦值、正切值角的正弦值、余弦值、正切值 分別是多少分別是多少？ 小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí)3. 在

13、直角三角形中，已知幾個(gè)元素就可以解在直角三角形中，已知幾個(gè)元素就可以解 直角三角形直角三角形？ 4. 銳角三角函數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用， 試結(jié)合實(shí)例談?wù)勅绾螌?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為試結(jié)合實(shí)例談?wù)勅绾螌?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 解直角三角形的問(wèn)題解直角三角形的問(wèn)題. .已知銳角求三角函數(shù)值已知銳角求三角函數(shù)值或已知三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角或已知三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角 特殊角（特殊角（ 30，45，60）的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值銳角的正弦、余弦、正切的定義銳角的正弦、余弦、正切的定義銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)解直角三角形解直角三角形 1. 在直角三角形中，任一銳角的三角函數(shù)只與角在

14、直角三角形中，任一銳角的三角函數(shù)只與角 的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān)的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān). 2. 在直角三角形中，已知一條邊和一個(gè)角，或已知在直角三角形中，已知一條邊和一個(gè)角，或已知 兩條邊，就可以求出其他的邊和角兩條邊，就可以求出其他的邊和角. 有些關(guān)于圖形的實(shí)際問(wèn)題，我們可以結(jié)和已知條件，有些關(guān)于圖形的實(shí)際問(wèn)題，我們可以結(jié)和已知條件， 恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出直角三角形，畫(huà)出圖形，將實(shí)際問(wèn)題恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出直角三角形，畫(huà)出圖形，將實(shí)際問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題. 3.如圖，從熱氣球如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為兩點(diǎn)的俯角分別為30、45，如果此時(shí)熱氣球，如果此時(shí)熱氣球C處的高度處的高度CD為為100米，點(diǎn)米，點(diǎn)A、D、B在同一直線(xiàn)上，求在同一直線(xiàn)上，求AB兩點(diǎn)的距離兩點(diǎn)的距離例例 中考中考 試題試題從熱氣球從熱氣球C處測(cè)得地面處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為兩點(diǎn)的俯角分別為3030、4545，BCD=90=90-45-45=45=45，ACD=90=90-30-30=60=60