簡(jiǎn)諧振動(dòng)、單自由度系統(tǒng)與頻響函數(shù)

1、， 222000022mxcxkxmXxsXsskcmmk 右圖所示慣性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換后有（不考慮負(fù)號(hào)）：其中， 對(duì)于不同的和 ，系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的性質(zhì)。位移擺位移擺 10-210-110010110210300.511.5幅 頻 特 性 曲 線 (自 振 頻 率 1Hz， 阻 尼 比 0.707)10-210-1100101102103050100150200幅 頻 特 性 曲 線 （ 自 振 頻 率 1Hz， 阻 尼 比 0.707）01,當(dāng)時(shí)x有1，在自振X頻率以上，呈現(xiàn)位移平坦特性擺體稱(chēng)為位移擺。即擺體和外界振動(dòng)位移成正比。速度擺速度擺10-410-210010210

2、40123x 10-3幅 頻 特 性 曲 線 （ 自 振 頻 率 1Hz， 阻 尼 比 30）10-410-2100102104-100-50050100幅 頻 特 性 曲 線 （ 自 振 頻 率 1Hz， 阻 尼 比 30）01,當(dāng)在附近x有1，以自振sX頻率為中心，呈現(xiàn)速度平坦特性擺體稱(chēng)為位移擺。即擺體和外界振動(dòng)速度成正比。加速度擺加速度擺1001011021031041050123x 10-6幅 頻 特 性 曲 線 （ 自 振 頻 率 100Hz， 阻 尼 比 0.707）100101102103104105-200-150-100-500幅 頻 特 性 曲 線 （ 自 振 頻 率 10

3、0Hz， 阻 尼 比 0.707）01,2當(dāng)在以下x有1，在自振s X頻率為以下，呈現(xiàn)加速度平坦特性，擺體稱(chēng)為加速度擺。即擺體和外界振動(dòng)加速度成正比。以以無(wú)阻尼自由振動(dòng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)的彈簧振子為例得出普遍結(jié)論：彈簧振子為例得出普遍結(jié)論：xok微分方程特征微分方程特征 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征運(yùn)動(dòng)學(xué)特征由由 Fmakx 0 xdtxd222 xxmka2 mk 加速度加速度22cos()cos()dvaAtAtdt 速速 度度sin()cos()2dxvAtAtdt 2468101214-1-0.50.51vt xa解解 可得可得222dx+ x = 0d t)tcos(Ax 位位 移移振動(dòng)方程振動(dòng)方程常數(shù)

4、常數(shù)A和和 的確定的確定002020 xvtgvxA sincos00AvAx cos()sin( t)xAtdxvAdt 說(shuō)明：說(shuō)明：(1) 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō) 的取值的取值在在-和和(或或0和和2)之之間；間；由初始條件：由初始條件：結(jié)論：結(jié)論： （1）單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是以正弦或余弦函數(shù)表示的，故稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。（2）自由振動(dòng)的角頻率即系統(tǒng)的固有頻率僅由系統(tǒng)本身參數(shù)確 定，與外界激勵(lì)、初始條件無(wú)關(guān)。（3）自由振動(dòng)的振幅A和初相角由初始條件所確定。km ：無(wú)阻尼固有角頻率 ：阻尼常數(shù)0臨界阻尼狀態(tài)幾種初始條件曲線小阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力作用下位移頻率響應(yīng)曲線D=0D=1/8D=1/6D=0.3535D=1/4D=0.707D=1D=20ud無(wú)阻尼有阻尼位移速度加速度0002101D021021D 對(duì)于一個(gè)單自由度系統(tǒng)，位移、速度、加速度的共振頻率點(diǎn)是不同的，對(duì)于實(shí)際的結(jié)構(gòu)，尤其是土木水利工程的結(jié)構(gòu)，其阻尼比通常在0.15以下，加速度、速度和位移的共振頻率點(diǎn)非常接近，可以認(rèn)為是相同的。而阻尼比較大時(shí)，系統(tǒng)的共振已經(jīng)不明顯或者已經(jīng)消失。 簡(jiǎn)諧力作用下加速度頻率響應(yīng)曲線D=1/8D=0D=1/6D=1/4D=0.3535D=0.5D=0.707D=1D=20ua簡(jiǎn)諧力作用下速度頻率響應(yīng)曲線D=0.1D