概率論與數(shù)理統(tǒng)計34

1、3.4 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差二、協(xié)方差矩陣三、相關(guān)系數(shù)四、條件數(shù)學(xué)期望五、條件期望的預(yù)測含義 對于二維隨機(jī)變量，除了討論對于二維隨機(jī)變量，除了討論X X與與Y Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還需要討論描述和方差以外，還需要討論描述X X與與Y Y之間相互關(guān)系的之間相互關(guān)系的數(shù)字特征，本節(jié)討論這方面的數(shù)字特征。數(shù)字特征，本節(jié)討論這方面的數(shù)字特征。相互獨(dú)立，那么有與如果隨機(jī)變量Y X著一定的關(guān)系。不相互獨(dú)立，而是存在與時，這意味著當(dāng)YX E 0)()(YEYXEX一、協(xié)方差E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0所以所以 E(

2、X-EX)(Y-EY)=0。 設(shè)設(shè)( (X X，Y)Y)為二維隨機(jī)向量，為二維隨機(jī)向量，EXEX，EYEY均存在，如果均存在，如果EX-E(X)Y-E(Y)EX-E(X)Y-E(Y)存在，則稱其為隨機(jī)變量存在，則稱其為隨機(jī)變量X X與與Y Y的的協(xié)方差協(xié)方差，記為，記為cov(X,Ycov(X,Y) ) ，即即 1 1、定義、定義cov(X,Ycov(X,Y)= EX-E(X)Y-E(Y)= EX-E(X)Y-E(Y) 可以證明，如果可以證明，如果X X，Y Y 的方差存在，則協(xié)方差的方差存在，則協(xié)方差cov(X,Ycov(X,Y) )一定存在，且滿足下列不等式一定存在，且滿足下列不等式 DY

3、DX|EY)-EX)(Y-(X|E ),cov(YX1) cov(X,Y)=cov(Y,X); cov(X, X)=D(X) 3) cov(aX，bY)=abcov(X,Y); 4) cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z); 5) D(aX+bY)=),cov(222YXabDYbDXa)()(),cov(YEYXEXEYX2、協(xié)方差的性質(zhì)、協(xié)方差的性質(zhì)6) 若 X與Y 獨(dú)立，則 cov(X, Y)=0, D(X+Y)=DX+DYEXEY-EXY ) Y , X( cov 2)的方差必存在，且，對任意實(shí)向量的方差均存在，則維隨機(jī)向量，如果是，設(shè) X ) ( n) , 2, 1

4、,i ( X n X X(X n1iiin21n21i)7nji1jijin1iiin1iii Xcov(XDXX),2)(2Dn1iiin1iiin21DXX X X X 2)(D兩兩相互獨(dú)立，則，如果特別地，例例3.22。給出，求的聯(lián)合概率分布由下表設(shè))cov(,YX, Y) ( X-10200.10.2010.30.050.120.1500.1XYjp55. 025. 020. 030. 045. 025. 0 ip25. 0245. 013 . 00EX95. 020. 0225. 0055. 01EY15. 00EXYEXEY-EXY ) Y , X( cov)15. 0(95. 0

5、1425. 0解：解：例3.23解：解：() 的聯(lián)合密度函數(shù)為，設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量YX()其它，0108yxxyyxg，求)(),cov(YXDYX 其它010)1 (4)(2xxxxgX其它0104)(3yyygYdxxxgEXX)(102)1 (4dxxxx158例3.23(續(xù)1)EXEY-EXY ) Y , X( cov1585494225422(EX)-EX DX2158312251122(EY)-EY DY 25432752D(X+Y),cov(2YXDYDX22587522251191dyyygEYY)(1024dyyy5494EXYdxxgxEXX)(221022)1 (4dxxx

6、x31dyygyEYY)(2210224dyyy32104)(3yyygY ，10)1 (4)(2xxxxgX ，158EX二、協(xié)方差矩陣二、協(xié)方差矩陣則均存在的方差維隨機(jī)向量，為一個，設(shè) (DX X )X X(X n1,), 2, 12ninii)()(),(jjiijiijXEXXEXEXXCov都存在，且稱矩陣：都存在，且稱矩陣：nnnnnn212222111211為n維隨機(jī)變量(X1，X2 ，Xn)的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣。n 2 , 1,， ji是個非負(fù)定矩陣。協(xié)方差矩陣 若記 X =(X1，X2 ，Xn)，則X的協(xié)方差矩陣可記為DX。對稱0 0X)X)X X(DDDYDXYXCovY

7、XcorrXY),(),( 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X X與與Y Y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)是一個無量綱。相關(guān)系數(shù)是一個無量綱的量。的量。三、相關(guān)系數(shù)三、相關(guān)系數(shù)稱稱，或) (0Cov(X，Y) 0XY若，若0 XY，若0 XY則稱X與Y不相關(guān)不相關(guān)；則稱X與Y正相關(guān)正相關(guān)；則稱X與Y負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)。DXEXXX*DYEYYY*若對若對X X與與Y Y進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換),cov(*YXXY 則()()()()()22222121221212121exp212121yyxxyxf，二元正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)的計算二元正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)的計算 EXXY DXEY DY ,1 ,21 ,22

8、2(X, Y) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1) .1XY2) 1XY存在常數(shù) a,b 使 PY=aX+b=1. 0 0 XYXY時，時且00aaDYDXYXCovXY),(等價于下列任一條件不相關(guān)與 Y X)3DYDXYXDEXEYEXYYX)()3()2(0),cov( (1)n1iiin1iiin21DXX X X X )2)(4D兩兩互不相關(guān)，則，如果XY222121 ) N( Y) (X ，則，服從，若)5對二元正態(tài)分布：X，Y獨(dú)立 =0X，Y不相關(guān)。XY若若X X與與Y Y之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間相互獨(dú)之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間相互獨(dú)立，也不表示它們之間沒有關(guān)系。立，

9、也不表示它們之間沒有關(guān)系。補(bǔ)充說補(bǔ)充說明明的量之間線性關(guān)系緊密程度與量相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變YX存在著線性關(guān)系；之間以概率與時，當(dāng)，11YXYX之間的線性關(guān)系越弱；與時，越接近于當(dāng)，YXYX0一定不獨(dú)立。與且，之間一定存在線性關(guān)系與，則若，YXYXYX0例3.25解：解：EXEY-EXY ) Y , X( cov不相關(guān)。與所以 Y X, 122YX 由于但不是相互獨(dú)立。與因而 Y X 獨(dú)立。是否不相關(guān)，是否相互與判斷，上的均勻分布，服從設(shè) Y XYX ,cossin,qqqqqdEX sin21qqdEX cos21qqdDX 2sin21qqdDY 2cos21qqqdEXY cossin21

10、0EXEY-EXY ) Y , X( cov0210021四、條件數(shù)學(xué)期望四、條件數(shù)學(xué)期望jijipyYxXP|的條件概率分布為的條件下，為離散型隨機(jī)向量，在，設(shè) X Y Y) (X jy如果jiiipx| |望，記作的條件下的條件數(shù)學(xué)期在為則稱 Y X jjiiiypx|jyY X E 離散型隨機(jī)向量的條件數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)向量的條件數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)向量的條件數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)向量的條件數(shù)學(xué)期望)|yxfYX( 的條件密度函數(shù)為的條件下，為連續(xù)型隨機(jī)向量，在，設(shè) X Y Y) (X y如果dxyxfxYX |-)|(| 則稱|yY X E望，記作的條件下的條件數(shù)學(xué)期在為 Y X jydxy

11、xfxYX -)|(|例例3.26的條件數(shù)學(xué)期望。的條件下，給出，求的聯(lián)合概率分布由下表設(shè)X Y) ( 0,YX-10200.10.2010.30.050.120.1500.1XYX0| YP210 008 . 0 .2 022 . 018 . 000|Y X E 2 . 0例3.27dxyxfxyYYX X E-)|(|dxyxyy 221121210 xy122 yx()服從圓域：，設(shè)二維隨機(jī)向量YX122 yx).1| (| yyYXE試求的條件密度為時，可知，當(dāng)由例 | Xy1|8 . 3( )其它011121222yxyyyxfYX解：條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)|)22112211yYXEy

12、YXEyYXXEII cyYcEI|) 相互獨(dú)立，則與如果 Y X )IIIEXyYXE| 隨機(jī)變量X關(guān)于隨機(jī)變量Y的條件數(shù)學(xué)期望|)22112211YXEYXEYXXEII 的函數(shù)，稱隨機(jī)變量記：Y |)(yYXEyh相互獨(dú)立，則與如果 Y X )IIIEXYXE| cYcEI|) |)(YXEh Y 的條件期望。關(guān)于隨機(jī)變量隨機(jī)變量 Y X的性質(zhì) |YXEY|EXg(Y)Y|Eg(Y)X) IV g(Y)Y|Eg(Y)特別地有：EXY|EX)E V全期望公式：例3.28的條件分布是：的條件下，對二元正態(tài)分布在 X Y y()()22122111，yN()2211|yyYXE ()2211|Y YXE()服從二元正態(tài)分布：，設(shè)二維隨機(jī)變量YX()()，222121 NYX.|YXE 求解：例3.29|Xa XY bXEE|XXXa EbEXEEbXa bX a ()滿足下列關(guān)系：，設(shè)二維隨機(jī)向量YXbaXY.|0XYE X的隨機(jī)變量，求獨(dú)立的、期望為是一個與其中解：五、條件期望的預(yù)測含義五、條件期望的預(yù)測含義的含義：條件期望 Y| E yX X Y Y X X。來預(yù)測，然后通過有關(guān)的，先觀測與為預(yù)測時所擁有的信息。在預(yù)測為一個信息變量，表示稱X Y 的條件平均值。的條件下，變量已知表示在 X Y 1)y。的條件分布的中心位置的條件下