大學(xué)物理 第14章 振動

1、第十四章第十四章 振動振動物理學(xué)（下冊）物理學(xué)（下冊）14.114.1 簡諧振動簡諧振動14.1.1 簡諧振動動力學(xué)方程簡諧振動動力學(xué)方程xkf0222xdtxd固有角頻率固有角頻率(4)mk( 弧度弧度/秒秒)(2)fv0f22dtxdmmaf0f0cos()xAt簡諧振動表達(dá)式簡諧振動表達(dá)式:v平衡位置022xmkdtxdf0v0vf0v(1)(3)(5)114.1.2諧振動的特征量諧振動的特征量1、振幅振幅 A2、周期周期 T3、頻率頻率 Tv122Tv4、相位、相位0()t0t時(shí)時(shí)00t為初相位為初相位0cos()xAtxO0sin()dxAtdt t+T狀態(tài)不變狀態(tài)不變0cos()A

2、tT)(sin0TtA2T/2T2(1)描述振動系統(tǒng)描述振動系統(tǒng)形象狀態(tài)形象狀態(tài)的物理量的物理量)cos(0tAx)sin(0tAdtdx)(0txv02223A00A0A0-A0A(2)描述振動系統(tǒng)狀態(tài)的變化趨勢描述振動系統(tǒng)狀態(tài)的變化趨勢(3)描述頻率相同的兩振動系統(tǒng)的描述頻率相同的兩振動系統(tǒng)的振動步調(diào)振動步調(diào)322020vxA000tgx v由初始條件由初始條件00vx 和00cosxA00sinA 解方程組可得解方程組可得14.1.3 簡諧運(yùn)動的速度、加速度及簡諧振動曲線簡諧運(yùn)動的速度、加速度及簡諧振動曲線22dtxda dtdxv)sin(0tA)2cos(0tA)cos(02tA)c

3、os(02tA)cos(0tAxAmv2Aam速度超前位移速度超前位移/2相位相位加速度超前位移加速度超前位移相位相位4otAxcos6xto0 xyAvv0)cos(otAxAA 以角速度以角速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)在在x軸上的投影：軸上的投影：)(ot 直觀地表達(dá)了直觀地表達(dá)了 直觀地表達(dá)振動狀態(tài)直觀地表達(dá)振動狀態(tài)x、vxotx (cm)0.25-0.50 t (s)2求：振動方程求：振動方程（振動表達(dá)式）（振動表達(dá)式）解解：由圖可知由圖可知cmA5 .0sT22()rad sT初始條件：初始條件：)(25. 0cos5 . 0cos000cmAx5 . 0cos030)3cos(5 . 0t

4、x對嗎？對嗎？初始條件初始條件v000sin0A0sin030)3cos(5 . 0tx練習(xí)題練習(xí)題(cm)0 xAA/2/3-/3Av06例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和勁度系數(shù)為的質(zhì)點(diǎn)和勁度系數(shù)為k 的彈簧組成的彈簧諧振子，的彈簧組成的彈簧諧振子， t = 0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)過平衡位置且向正方向運(yùn)動。時(shí)，質(zhì)點(diǎn)過平衡位置且向正方向運(yùn)動。求：物體運(yùn)動到負(fù)的二分之一振幅處時(shí)所用的求：物體運(yùn)動到負(fù)的二分之一振幅處時(shí)所用的最短時(shí)間最短時(shí)間0ttt6776k mxo解：設(shè)解：設(shè) t 時(shí)刻到達(dá)末態(tài)時(shí)刻到達(dá)末態(tài)由已知畫出由已知畫出t = 0 時(shí)刻的旋矢圖時(shí)刻的旋矢圖再畫出末態(tài)的旋矢圖再畫出末態(tài)的旋矢圖由題意選藍(lán)實(shí)線

5、所示的位矢由題意選藍(lán)實(shí)線所示的位矢設(shè)始末態(tài)位矢夾角為設(shè)始末態(tài)位矢夾角為 得得80t0系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒222121xkmEEEPKv2020)cos(21)sin(21tAktAm2222121kAAm)(mk14.1.5 諧振動的能量諧振動的能量)sin(0tAdtdx)cos(0tAx9 簡諧運(yùn)動實(shí)例簡諧運(yùn)動實(shí)例1、水平彈簧振子、水平彈簧振子0222xdtxdmk2、單擺的運(yùn)動、單擺的運(yùn)動 很小時(shí)很小時(shí)222sindtdmlmgl022lgdtdlg令令解得解得)cos(tAx-AAkmT22固有周期固有周期glT2sinmgcosmgmgmT10cos()ot 3 3 豎直彈簧

6、振子豎直彈簧振子mg自然自然平衡平衡任意任意x0 xxkmgmafmgxxkfmakx 由以上三式可得由以上三式可得即即220d xkxdtm與水平彈簧振子相同，只改變平衡位置與水平彈簧振子相同，只改變平衡位置f12簡諧振動的判據(jù)簡諧振動的判據(jù)1. 動力學(xué)判據(jù)動力學(xué)判據(jù)受正比而反向的恢復(fù)力作用受正比而反向的恢復(fù)力作用xkf即即022xmkdtxd2. 能量判據(jù)能量判據(jù)振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒0 xmkdtdv0 xmkdtdxdxdv0 kxdxmvdv積分積分恒量222121xkmv3. 運(yùn)動學(xué)判據(jù)運(yùn)動學(xué)判據(jù))cos(tAx相對平衡位置的位移隨時(shí)間按正、余弦相對平衡位置的位移隨時(shí)

7、間按正、余弦規(guī)律變化規(guī)律變化（一次積分）（一次積分）（二次積分）（二次積分）13無阻尼自由振蕩，電容板上電量為q， 振蕩電流i，總能量常量222121Licq0dtdiLidtdqcq22,dtqddtdidtdqi0122qLcdtqd-諧振動微分方程求導(dǎo)由于LC+_iq例：14頻率頻率電磁振蕩：電磁振蕩：tqdtdqitqqsincos00LC11）發(fā)射高電磁能）發(fā)射高電磁能-使電路開放使電路開放2）能量）能量 4 減小減小 L和和C，提高，提高 電路變化如圖電路變化如圖 所示所示從振蕩電路過渡到振蕩偶極子從振蕩電路過渡到振蕩偶極子LC+(a)_(b)LC+_(c)LC+_+qql(d)1

8、514.2 14.2 阻尼振動阻尼振動二、阻尼振動二、阻尼振動粘性阻力粘性阻力RFv22dtxdmdtdxkx022xmkmdtdxdtxd或或有有022022xdtdxdtxdtex02202特征方程特征方程將試探將試探 解解代入上式代入上式令令mk /0m/2一、無阻尼振動一、無阻尼振動例：水平彈簧諧振子例：水平彈簧諧振子02022xdtxdmk0)cos(00tAx16022022xdtdxdtxdtex022022020/202) 1(00( )cos()tx tA et220特征方程特征方程特征根特征根試探試探 解解阻尼度阻尼度 - 表征阻尼大小的常量表征阻尼大小的常量1）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),

9、方程的解為方程的解為式中式中mk /0m/2RFv欠阻尼運(yùn)動（阻尼小）欠阻尼運(yùn)動（阻尼?。┳枘嵋驍?shù)阻尼因數(shù)tx欠阻尼欠阻尼220isincosieisincosieicos2iiee172）過阻尼運(yùn)動（阻尼較大）過阻尼運(yùn)動（阻尼較大）當(dāng)當(dāng)解為解為無周期，非振動。無周期，非振動。3）臨界阻尼運(yùn)動）臨界阻尼運(yùn)動當(dāng)當(dāng)在在振幅衰減到原來的振幅衰減到原來的2021ttecectx)(2)(1202202)(2021tetcctx)()(211%371e或或圖圖 時(shí)間時(shí)間,tx臨界阻尼臨界阻尼過阻尼過阻尼欠阻尼欠阻尼18定態(tài)解定態(tài)解暫態(tài)解暫態(tài)解周期性驅(qū)動力周期性驅(qū)動力式中式中cosdfHpt22cosdx

10、d xkxHptmdtdt22022cosd xdxxhptdtdtm2mk0Hhm0( )cos()cos()tx tA etApt14.3 14.3 受迫振動受迫振動 一、受迫振動一、受迫振動19得定態(tài)解振幅得定態(tài)解振幅:相位相位:222220()4hApp2202parctgp( )cos()x tApt令定態(tài)解令定態(tài)解定態(tài)解定態(tài)解暫態(tài)解暫態(tài)解txdtdxdtxddcos220220( )cos()cos()tx tA etApt代入原方代入原方程程與初始條件無關(guān)A和20二二 位移共振位移共振當(dāng)當(dāng)由由時(shí)時(shí), A 達(dá)最大達(dá)最大, 稱位移共振稱位移共振rp0dAdp2202p振幅振幅:相位相

11、位:222220()4hApp2202parctgp2202hA 210r很小時(shí)，很小時(shí)，x1A2AA12O1x2x14.4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成111cos()xAt222cos()xAt12cos()xxxAtx221212212cos()AAAA A11221122sinsintgcoscosAAAA14.4.1 同方向、同頻率兩個(gè)簡諧振動的合成同方向、同頻率兩個(gè)簡諧振動的合成 22212k21(21)k2121AAAAA21AAA21AAA21其它值12cos()xxxAt221212212cos()AAAA A( 同相同相 )( 反相反相 )同一直線上的同一直線上的n個(gè)個(gè)同頻

12、率的簡諧運(yùn)動的合成同頻率的簡諧運(yùn)動的合成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosntaxn)cos(tAx23)2sin(2nRA)2sin(2Ra兩式相除兩式相除)2sin()2sin(naA)cos(tAxaRACOxPM)(21nCOM1()2COP21nCOMCOP24例、若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的簡諧運(yùn)動。已知一例、若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的簡諧運(yùn)動。已知一個(gè)分振動的表達(dá)式為：個(gè)分振動的表達(dá)式為：x x1 1=Acos=Acos( (t+5t+5/6)/6)，而合振動的表達(dá)式，而合振動的表達(dá)式為：為：x=Acosx=Acos(t+(t+/

13、2)/2)。試求另一分振動的表達(dá)式。試求另一分振動的表達(dá)式。解法一、（解析法）解法一、（解析法）因?yàn)槟硶r(shí)刻合振動的位移等于該時(shí)刻兩個(gè)分振動位移之和。因?yàn)槟硶r(shí)刻合振動的位移等于該時(shí)刻兩個(gè)分振動位移之和。即：即：12xxx215cos()cos()26xxxAtAt22 sin()sin()36At 所以：所以：252sin()cos()36AtAt解法二、（旋轉(zhuǎn)矢量法）解法二、（旋轉(zhuǎn)矢量法）AA1A25/620畫出畫出t=0t=0時(shí)刻合振動的振幅矢量時(shí)刻合振動的振幅矢量A A和分振和分振動的振幅矢量動的振幅矢量A A1 1，如圖所示。由矢量運(yùn)，如圖所示。由矢量運(yùn)算法則可以得到另外一個(gè)分振動的振幅

14、算法則可以得到另外一個(gè)分振動的振幅矢量矢量A A2 2。因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?AAA2AA2 06所以得到：所以得到：由圖可以得到：由圖可以得到：所以可以寫出另外一個(gè)振動的表達(dá)式：所以可以寫出另外一個(gè)振動的表達(dá)式：2cos()6xAt26例、有三個(gè)同方向，同頻率的簡諧振動，振動方程分別為：例、有三個(gè)同方向，同頻率的簡諧振動，振動方程分別為：12320.05cos();0.05cos();0.05cos()33xtxtxt試求合振動方程。試求合振動方程。OxA1A2A3A/32/3解：方法一（旋轉(zhuǎn)矢量法）解：方法一（旋轉(zhuǎn)矢量法）取坐標(biāo)取坐標(biāo)OxOx，每一振動相位差為，每一振動相位差為/3/3，三，三個(gè)分

15、振動以及合振動的旋轉(zhuǎn)矢量位置，個(gè)分振動以及合振動的旋轉(zhuǎn)矢量位置，如圖可以表示出來。如圖可以表示出來。由圖可以求出合振動的振幅為：由圖可以求出合振動的振幅為：22112233112233221(coscoscos)(sinsinsin)22(cos0coscos)(sinsin)33330.05 1 30.1AAAAAAAA27合振動的初始位相為：合振動的初始位相為：11122331122331sinsinsintansss3tan13AAAA coA coA co0.1cos()3xt所以，合振動的振動方程為：所以，合振動的振動方程為：方法二、（解析法）方法二、（解析法）直接利用三角函數(shù)的計(jì)算

16、，可以求出合振動方程為：直接利用三角函數(shù)的計(jì)算，可以求出合振動方程為：12320.05cos() 0.05cos() 0.05cos()330.05cos() 0.1cos()cos()3330.05cos() 0.05cos()0.1cos()333xxxxtttttttt2811cosxAt22cosxAt21xxx1212()()2coscos22ttA1212()當(dāng)當(dāng)準(zhǔn)諧振動準(zhǔn)諧振動tAtA21coscos（振幅相同（振幅相同 初相為零）初相為零）合成振幅合成振幅12()2 cos2AAt頻率都較大但兩者相差很小的兩個(gè)同方向簡諧振動，頻率都較大但兩者相差很小的兩個(gè)同方向簡諧振動，合成時(shí)

17、所產(chǎn)生的這種合振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象合成時(shí)所產(chǎn)生的這種合振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象拍拍:14.4.2 同方向不同頻率的簡諧運(yùn)動的合成同方向不同頻率的簡諧運(yùn)動的合成29801v902v0.05s0.1s0.15s0.2sttt24302A30121212222bT121212bbvT拍的周期拍的周期合成振幅合成振幅12()2 cos2AAt21xxx1221()()2coscos()22ttAtAtA21coscos加強(qiáng)與減弱之間的時(shí)間間隔單位時(shí)間加強(qiáng)或減弱的次數(shù)3111cos()xAt22cos()yAt221222212sincos2AAxyAyAx質(zhì)點(diǎn)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動002或12令*14.4.3 相互垂直的簡諧運(yùn)動的合成相互垂直的簡諧運(yùn)動的合成 3221222212AyAx正橢圓正橢圓AAA21222Ayx變成圓變成圓當(dāng)當(dāng)則則(2)2A12A2222A221222212sincos2AAxyAyAx33021AyAx21AyAx討論討論直線運(yùn)動直線運(yùn)動(1)cos(tmAx)cos(0tnAym4m4mm45m23m47m2m2m431:1 1:21:3 2:3 3:4 mn :00 34畫圖畫圖：用旋