扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解

1、一、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力從三個(gè)方面 1. 變形幾何方面來推導(dǎo)應(yīng)力：2.物理方面 3.靜力學(xué)方面1.變形幾何方面扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解 觀察到下列現(xiàn)象:(1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒變化(2)縱向線仍近似為直線, 但都傾斜了同一角度(3）表面方格變?yōu)榱庑?。平面假設(shè)： 變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。CL5TU5扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解橫截面上距形心為的任一點(diǎn)處應(yīng)變 剪應(yīng)力方向垂直于半徑。根據(jù)剪切胡克定律, 當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)2. 物理方面(a)(b)bbTTO1O2dj GGDDaadxAEggrrEAO1Dd

2、j DGGO2d/2dxgrgr結(jié)論：橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解3.靜力學(xué)方面T結(jié)論：橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解由(b)式：即圓截面的邊緣處。WP 稱為抗扭截面系數(shù)或抗扭截面模量，單位：m3、cm3、mm3。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解圓圓環(huán)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解例5-3內(nèi)外徑分別為20mm和40mm的空心圓截面軸，受扭矩T=1kNm作用，計(jì)算橫截面上A點(diǎn)的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。解：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解例5-4一厚度為30mm、內(nèi)直徑為230mm 的空心圓管，承受扭矩T=180

3、 kNm 。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用： (1)薄壁管的近似理論；(2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得(2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解例5-5 圖示空心圓軸外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm, M1=6kNm, M2=4kNm, 材料的切變模量 G=80GPa.（1） 畫軸的扭矩圖；（2） 求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置.M1M2ABCll扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解解:（1）畫軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2 =2kNm AB段（+）（-）T1 = -4kN

4、m最大扭矩發(fā)生在BC段 Tmax=4kNm4kNm2kNm+_扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解T（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置max 最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上,且垂直于半徑.M1M2ABCllmax扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解二.斜截面上的應(yīng)力xn扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)演示扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)開始低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)結(jié)束低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)演示扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)過程鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解

5、思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如圖a及圖b所示，試問為什么它們的斷口形式不同？扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解三.強(qiáng)度條件(3)確定許可載荷:已知桿的截面尺寸、許用切應(yīng)力，確定許用荷載。(1)校核桿的強(qiáng)度:已知荷載、截面尺寸、許用切應(yīng)力，驗(yàn)算構(gòu)件是否滿足強(qiáng)度條件；(2)設(shè)計(jì)截面:已知荷載、許用切應(yīng)力 ,按強(qiáng)度條件，確定截面尺寸；強(qiáng)度條件解決三問題扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解例5-6 如圖所示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA=22kN.m，MB=36kNm，Mc=14kNm。已知材料的許用剪應(yīng)力 ，試校核該軸的強(qiáng)度。解： 求得兩段的

6、扭矩，并繪出扭矩圖。AB段之扭矩比BC段之扭矩大，但兩段軸的直徑不同，需要分別校核兩段軸的強(qiáng)度。AB段BC段該軸滿足強(qiáng)度條件的要求。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解例5-7 實(shí)心圓軸1和空心圓軸2（圖a、b）材料,扭轉(zhuǎn)力偶矩M 和長(zhǎng)度l 均相等,最大切應(yīng)力也相等.若空心圓軸的內(nèi)外徑之比 = 0.8 ,試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b) 分析：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為d1,空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為 d2、 D2 ; 又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為 T .已知：dd2D2扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解因此解得 兩軸材料、長(zhǎng)度均相同,故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面

7、面積之比在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕,即節(jié)省材料.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解例5-8 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強(qiáng)度。Tm解：求扭矩及扭矩圖計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度此軸滿足強(qiáng)度要求。x扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解例 5-9 已知 T=1.5 kN . m，t = 50 MPa，試根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與 a = 0.9 的空心圓軸，并進(jìn)行比較。解：1. 確定實(shí)心圓軸直徑扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解2. 確定空心圓軸內(nèi)、外徑3. 重量比較空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解解：1. 扭矩分析例 5-9 R05

8、0 mm的薄壁圓管，左、右段的壁厚分別為 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，t = 50 MPa，試校核圓管強(qiáng)度。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解2. 強(qiáng)度校核危險(xiǎn)截面：截面 A與 B扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解練習(xí)：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強(qiáng)度計(jì)算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為1扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解思考：實(shí)心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半

9、時(shí)，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來的 倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的 倍？816思考：圖示鑄鐵圓軸受扭時(shí)，在 面上發(fā)生斷裂，其破壞是由 應(yīng)力引起的。在圖上畫出破壞的截面。45 螺旋最大拉扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解5-5 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件一.扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解公式適用條件：1）當(dāng)p（剪切比例極限）公式才成立2）僅適用于圓桿（平面假設(shè)對(duì)圓桿才成立）討論：1、2、多外力偶的圓軸：注意：算扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，變形公式中的扭矩要考慮正負(fù)號(hào)。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解二.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件 單位長(zhǎng)度的扭角稱為扭角率，用 表示。對(duì)于精密機(jī)械一般機(jī)械扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解ACB122(1)繪扭矩圖TX

10、4-2(2)計(jì)算IP：5-10空心圓軸，外徑mm，內(nèi)徑mm，AB=lmm，M4.m，M6.m,，求C截面對(duì)A、B截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解:扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解(3)算相對(duì)扭角“+”號(hào)表示面向C截面觀察時(shí)，該截面相對(duì)于A（或B）截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解 例5-11水平面上的直角拐，AB段為圓軸，直徑為 d，在端點(diǎn)C受鉛垂力P作用，材料的剪切彈性模量為G，不計(jì)BC段變形。求C點(diǎn)的鉛垂位移。解：AB桿的轉(zhuǎn)角C點(diǎn)位移扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解dxxmlmT0解：計(jì)算扭矩、繪扭矩圖：T例5-12圓截面桿AB左端固定，承受均布力偶作用，其力偶矩 集度（單位長(zhǎng)度上的力偶矩）為m=20N.

11、m/m，已知直徑D=20mm，l=2m，材料G=80MPa =300MPa。單位長(zhǎng)度的許用扭角=20/m，試進(jìn)行強(qiáng)度和剛度校核，并計(jì)算A、B兩截面的相對(duì)扭角。mml扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解2）校核強(qiáng)度：3）校核剛度：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解3）計(jì)算B-A：取微段dx研究dxxmlmT“+”號(hào)表示面向B截面觀察時(shí)，該截面相對(duì)于A截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解 由45號(hào)鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a = 0.5 。已知材料的許用切應(yīng)力t = 40 MPa，切變模量G= 80 GPa。軸的最大扭矩Tmax = 9.56 kNm，許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角j=0.3 ()/m。試選擇

12、軸的直徑。例 5-13扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解1. 按強(qiáng)度條件求所需外直徑D例 5-13解：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解2. 按剛度條件求所需外直徑D例 5-13扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解3. 空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛度條件控制)，內(nèi)直徑則根據(jù)a = d/D = 0.5知例 5-13扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解例5-14：圖示圓截面軸AC，承受扭力矩MA， MB與MC 作用，試計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角AC(即截面C對(duì)截面A的相對(duì)轉(zhuǎn)角)，并校核軸的剛度。 已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：1扭

13、轉(zhuǎn)變形分析利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分別為：T1180 Nm， T2-140 Nm扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為AB和BC，則：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解 各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。 由此得軸AC的總扭轉(zhuǎn)角為 2 剛度校核 軸AC為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。AB段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度符合要求。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解 例5-15：某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =7

14、0M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？ 500400N1N3N2ACB扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解解：圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得： Tx7.024 4.21(kNm)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解 綜上：全軸選同一直徑時(shí)由剛度條件得：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解 軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時(shí),軸的最大直徑才為75mm。Tx 4.21(kNm)2.814扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解練習(xí) 圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,受扭后,原來表面上的圓周線和縱向線間夾角由 90變?yōu)?88。如桿長(zhǎng) l=300mm，試求兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量G=2.7MPa，試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩。解：由扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解練習(xí) 傳動(dòng)軸傳遞外力偶矩5kNm,材料的=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,試選擇軸的直徑。解：目錄扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解練習(xí) 試計(jì)算圖示圓錐形軸的扭轉(zhuǎn)角解：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度和剛體條件分解