第四章 數(shù)學規(guī)劃模型

1、第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 4.1 奶制品的生產(chǎn)與銷售奶制品的生產(chǎn)與銷售4.2 自來水輸送與貨機裝運自來水輸送與貨機裝運4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購汽車生產(chǎn)與原油采購4.4 接力隊選拔和選課策略接力隊選拔和選課策略4.5 飲料廠的生產(chǎn)與檢修飲料廠的生產(chǎn)與檢修4.6 鋼管和易拉罐下料鋼管和易拉罐下料y數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 實際問題中實際問題中的優(yōu)化模型的優(yōu)化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn, 2 , 1, 0)(. .),(),()(1或x決策變量決策變量f(x)目標函數(shù)目標函數(shù)gi(x) 0約束條件約束條件多元函數(shù)多元函數(shù)條件極值條件極值 決策變量個數(shù)決策變量個數(shù)n

2、和和約束條件個數(shù)約束條件個數(shù)m較大較大 最優(yōu)解在可行域最優(yōu)解在可行域的邊界上取得的邊界上取得 數(shù)數(shù)學學規(guī)規(guī)劃劃線性規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點在模型的建立和結果的分析重點在模型的建立和結果的分析企業(yè)生產(chǎn)計劃企業(yè)生產(chǎn)計劃4.1 奶制品的生產(chǎn)與銷售奶制品的生產(chǎn)與銷售 空間層次空間層次工廠級：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設備、人力、原料等工廠級：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃；條件，以最大利潤為目標制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃；車間級：根據(jù)生產(chǎn)計劃、工藝流程、資源約束及費車間級：根據(jù)生產(chǎn)計劃、工藝流程、資源約束及費用參數(shù)等，以最小成本為目標制訂生產(chǎn)批量計

3、劃。用參數(shù)等，以最小成本為目標制訂生產(chǎn)批量計劃。時間層次時間層次若短時間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時間變化，可若短時間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時間變化，可制訂制訂單階段生產(chǎn)計劃單階段生產(chǎn)計劃，否則應制訂多階段生產(chǎn)計劃。，否則應制訂多階段生產(chǎn)計劃。本節(jié)課題本節(jié)課題例例1 加工奶制品的生產(chǎn)計劃加工奶制品的生產(chǎn)計劃1桶牛奶 3公斤A1 12小時 8小時 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 時間時間480小時小時 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大 35元可買到元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶牛奶

4、，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元? A1的獲利增加到的獲利增加到 30元元/公斤，應否改變生產(chǎn)計劃？公斤，應否改變生產(chǎn)計劃？ 每天：每天：1桶牛奶 3公斤A1 12小時 8小時 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 x1桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利獲利 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應原料供應 5021 xx勞動時間勞動時間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標函數(shù)目標函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束

5、條件約束條件非負約束非負約束 0,21xx線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)時間時間480小時小時 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型分析與假設模型分析與假設 比比例例性性 可可加加性性 連續(xù)性連續(xù)性 xi對目標函數(shù)的對目標函數(shù)的“貢獻貢獻”與與xi取值取值成正比成正比 xi對約束條件的對約束條件的“貢獻貢獻”與與xi取值取值成正比成正比 xi對目標函數(shù)的對目標函數(shù)的“貢獻貢獻”與與xj取值取值無關無關 xi對約束條件的對約束條件的“貢獻貢獻”與與xj取值取值無關無關 xi取值連續(xù)取值連續(xù) A1,A2每公斤的獲利是與各每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無關的常數(shù)自產(chǎn)量無關的

6、常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和的數(shù)量和時間是與各自產(chǎn)量無關的常數(shù)時間是與各自產(chǎn)量無關的常數(shù)A1,A2每公斤的獲利是與相每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無關的常數(shù)互產(chǎn)量無關的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和的數(shù)量和時間是與相互產(chǎn)量無關的常數(shù)時間是與相互產(chǎn)量無關的常數(shù)加工加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實數(shù)的牛奶桶數(shù)是實數(shù) 線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型模型求解模型求解 圖解法圖解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx約約束束條條件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:251

7、4xlxl216472xxzMax目標目標函數(shù)函數(shù) Z=0Z=2400Z=3600z=c (常數(shù)常數(shù)) 等值線等值線c在在B(20,30)點得到最優(yōu)解點得到最優(yōu)解目標函數(shù)和約束條件是線性函數(shù)目標函數(shù)和約束條件是線性函數(shù) 可行域為直線段圍成的凸多邊形可行域為直線段圍成的凸多邊形 目標函數(shù)的等值線為直線目標函數(shù)的等值線為直線 最優(yōu)解一定在凸多邊最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個頂點取得。形的某個頂點取得。 模型求解模型求解 軟件實現(xiàn)軟件實現(xiàn) LINDO 6.1 max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end OBJECTIVE FUNCTION VALUE

8、 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)桶生產(chǎn)A2，利潤，利潤3360元。元。 結果解釋結果解釋 OBJECTIVE FUNCT

9、ION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料無剩余原料無剩余時間無剩余時間無剩余加工能力剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三三種種資資源源“

10、資源資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）剩余為零的約束為緊約束（有效約束） 結果解釋結果解釋 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2最優(yōu)解下最優(yōu)解下“資源資源”增加增加1單位時單位時“

11、效益效益”的增的增量量 原料增加原料增加1單位單位, 利潤增長利潤增長48 時間增加時間增加1單位單位, 利潤增長利潤增長2 加工能力增長不影響利潤加工能力增長不影響利潤影子價格影子價格 35元可買到元可買到1桶牛奶，要買嗎？桶牛奶，要買嗎？35 48, 應該買！應該買！ 聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？ 2元！元！RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECRE

12、ASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000最優(yōu)解不變時目標函最優(yōu)解不變時目標函數(shù)系數(shù)允許變化范圍數(shù)系數(shù)允許變化范圍 DO RANGE(SENSITIVITY) AN

13、ALYSIS? Yesx1系數(shù)范圍系數(shù)范圍(64,96) x2系數(shù)范圍系數(shù)范圍(48,72) A1獲利增加到獲利增加到 30元元/千克，應否改變生產(chǎn)計劃千克，應否改變生產(chǎn)計劃 x1系數(shù)由系數(shù)由24 3=72增加增加為為30 3=90，在在允許范圍內(nèi)允許范圍內(nèi) 不變！不變！(約束條件不變約束條件不變)結果解釋結果解釋 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.00

14、0000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍 原料最多增加原料最多增加10 時間最多增加時間最多增加53 35元可買到元可買到1桶牛奶

15、，每天最多買多少？桶牛奶，每天最多買多少？最多買最多買10桶桶!(目標函數(shù)不變目標函數(shù)不變)例例2 奶制品的生產(chǎn)銷售計劃奶制品的生產(chǎn)銷售計劃 在例在例1基礎上深加工基礎上深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小時小時 8小時小時 4公斤公斤A2 或或獲利獲利24元元/公斤公斤 獲利獲利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小時小時,3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小時小時,3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 制訂生產(chǎn)計劃，使每天凈利潤最大制訂生產(chǎn)計劃，使每天凈利潤最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時時間，應否投小時

16、時間，應否投資？現(xiàn)投資資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小時小時 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的獲利經(jīng)常有的獲利經(jīng)常有10%的波動，對計劃有無影響？的波動，對計劃有無影響？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小時小時 8小時小時 4千克千克 A2 或或獲利獲利24元元/千克千克 獲利獲利16元元/kg 0.8千克千克 B12小時小時,3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小時小時,3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， X3千克千克 B1, x4千克千克

17、 B2原料原料供應供應 勞動勞動時間時間 加工能力加工能力 決策決策變量變量 目標目標函數(shù)函數(shù) 利潤利潤約束約束條件條件非負約束非負約束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加約束附加約束 5380 x.x64750 x.x 模型求解模型求解 軟件實現(xiàn)軟件實現(xiàn) LINDO 6.1 5043) 26251xxxx48022)(2)(4)3656251xxxxxx OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

18、 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32

19、.000000 NO. ITERATIONS= 2600334) 26521xxxx44804624) 36521xxxxDO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK

20、 OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2結果解釋結果解釋每天銷售每天銷售168 千克千克A2和和19.2 千克千克B1， 利潤利潤3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成A2，將得到的將得到的24千克千克A1全部全部加工成加工成B1 除加工能力外均除加工能力外均為緊約束為緊約束結果解釋結果解釋 O

21、BJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.00000

22、0 44.000000 6) 0.000000 32.000000增加增加1桶牛奶使利潤增桶牛奶使利潤增長長3.1612=37.925043)26251xxxx600334) 26521xxxx4增加增加1小時時間使利小時時間使利潤增長潤增長3.26 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時時間，小時時間，應否投資？現(xiàn)投資應否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？投資投資150元增加元增加5桶牛奶，桶牛奶，可賺回可賺回189.6元。（大于元。（大于增加時間的利潤增長）增加時間的利潤增長）結果解釋結果解釋B1,B2的獲利有的獲利有10%的波動，對計劃有無影響的波

23、動，對計劃有無影響 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.0000

24、00 1.520000 INFINITY DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? YesB1獲利下降獲利下降10%，超，超出出X3 系數(shù)允許范圍系數(shù)允許范圍B2獲利上升獲利上升10%，超，超出出X4 系數(shù)允許范圍系數(shù)允許范圍波動對計劃有影響波動對計劃有影響生產(chǎn)計劃應重新制訂：如將生產(chǎn)計劃應重新制訂：如將x3的系數(shù)改為的系數(shù)改為39.6計算，會發(fā)現(xiàn)結果有很大變化。計算，會發(fā)現(xiàn)結果有很大變化。 4.2 自來水輸送與貨機裝運自來水輸送與貨機裝運生產(chǎn)、生活物資從若干供應點運送到一些需求點，生產(chǎn)、生活物資從若干供應點運送到一些需求點，怎樣安排輸送方案使運費最小，或利潤最大；怎樣

25、安排輸送方案使運費最小，或利潤最大；運輸問題運輸問題各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。其他費用其他費用: :450元元/千噸千噸 應如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？應如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？ 若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？ 元元/千噸千噸甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理費引水管理費例例1 自來水輸送自來水輸送收入

26、：收入：900元元/千噸千噸 支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20?。憾。?0；40水庫供水量水庫供水量(千噸千噸)小區(qū)基本用水量小區(qū)基本用水量(千噸千噸)小區(qū)額外用水量小區(qū)額外用水量(千噸千噸)（以天計）（以天計）總供水量：總供水量：160確定送水方案確定送水方案使利潤最大使利潤最大問題問題分析分析A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20?。憾。?0；40 總需求量總需求量(300)每個水庫最大供水量都提高一倍每個水庫最大供水量都提高一倍利潤利潤 = 收入收入(900) 其它費用其它費用( (450) 引

27、水管理費引水管理費利潤利潤(元元/千噸千噸)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/3332312423222114131211220250260300260320310280230320290 xxxxxxxxxxxZMax供應供應限制限制B, C 類似處理類似處理50:A14131211xxxx10014131211xxxx問題討論問題討論 確定送水方案確定送水方案使利潤最大使利潤最大需求約束可以不變需求約束可以不變求解求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCE

28、D COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 這類問題一般稱為這類問題一般稱為“運輸問題運輸問題”(Transportati

29、on Problem)總利潤總利潤 88700（元）（元） A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030如何如何裝運，裝運，使本次飛行使本次飛行獲利最大？獲利最大？ 三個貨艙三個貨艙最大最大載載重重( (噸噸),),最大容積最大容積( (米米3 3) ) 例例2 貨機裝運貨機裝運 重量（噸）重量（噸）空間空間( 米米3/噸）噸）利潤（元利潤（元/噸）噸）貨物貨物1184803100貨物貨物2156503800貨物貨物3235803500貨物貨物4123902850三個貨艙中實際載重必須與其最大三個貨艙中實

30、際載重必須與其最大載載重成比例重成比例 前倉：前倉：10；6800中倉：中倉：16；8700后倉：后倉：8；5300飛機平衡飛機平衡決策決策變量變量 xij-第第i 種貨物裝入第種貨物裝入第j 個貨艙的重量個貨艙的重量( (噸）噸）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分別代表前、中、后倉分別代表前、中、后倉)模型假設模型假設 每種貨物可以分割到任意??；每種貨物可以分割到任意??；貨機裝運貨機裝運每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布；每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙； 模型建立模型建立 貨艙貨艙容積容積 目標目標函數(shù)函

31、數(shù)( (利潤利潤)約束約束條件條件 )(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211xxxxxxxxxxxxZMax680039058065048041312111xxxx870039058065048042322212xxxx530039058065048043332313xxxx貨機裝運貨機裝運模型建立模型建立 貨艙貨艙重量重量 1041312111xxxx1642322212xxxx843332313xxxx10；680016；87008；5300 xij-第第i 種貨物裝入第種貨物裝入第j 個貨艙的重量個貨艙的重量約束約束條件條件平衡平衡

32、要求要求 81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxxx貨物貨物供應供應 18131211xxx15232221xxx23333231xxx12434241xxx貨機裝運貨機裝運模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第第i 種貨物裝入第種貨物裝入第j 個貨艙的重量個貨艙的重量 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400

33、.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 貨物貨物2：前倉：前倉10, ,后倉后倉5； 貨物貨物3: : 中倉中倉13, 后倉后倉3；貨物貨物4: : 中倉中倉3。貨機裝運貨機裝運模型求解模型求解 最大利潤約最大利

34、潤約121516元元貨物貨物供應點供應點貨艙貨艙需求點需求點平衡要求平衡要求運輸運輸問題問題運輸問題的擴展運輸問題的擴展 如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)8080輛，輛， 那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應作何改變？那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應作何改變？例例1 汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)計劃 汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量。材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量。 小型小型 中型中型 大型大型 現(xiàn)有量現(xiàn)有量鋼材（噸）鋼材（噸） 1.5 3 5 600勞動時間（小時）勞動時間（

35、小時） 280 250 400 60000利潤（萬元）利潤（萬元） 2 3 4 制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大。制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大。4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購汽車生產(chǎn)與原油采購設每月生產(chǎn)小、中、大型設每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為汽車的數(shù)量分別為x1, x2, x3321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx0,321xxx汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)計劃 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 現(xiàn)有量現(xiàn)有量鋼材鋼材 1.5 3 5 600時間時間 280 250 400 60000利潤利潤 2 3 4 線性

36、線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)模型模型求解求解 3） 模型中增加條件：模型中增加條件：x1, x2, x3 均為整數(shù)，重新求解。均為整數(shù)，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226結果為小數(shù)，結果為小數(shù)，怎么辦？怎么辦？1）

37、舍去小數(shù)：取）舍去小數(shù)：取x1=64，x2=167，算出目標函數(shù)值，算出目標函數(shù)值z=629，與，與LP最優(yōu)值最優(yōu)值632.2581相差不大。相差不大。2）試探：如取）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數(shù)等，計算函數(shù)值值z，通過比較可能得到更優(yōu)的解。，通過比較可能得到更優(yōu)的解。 但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？IP可用可用LINDO直接求解直接求解整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃( (Integer Programming, ,簡記簡記IP) )“gin 3”表示表示“前前3個變量個變量為整數(shù)為整數(shù)”，等價于：，等價于：gin

38、 x1gin x2gin x3 IP 的最優(yōu)解的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值，最優(yōu)值z=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts6000040025

39、0280321xxx為非負整數(shù)321,xxx模型求解模型求解 IP 結果輸出結果輸出其中其中3個個子模型應子模型應去掉，然后去掉，然后逐一求解，比較目標函數(shù)值，逐一求解，比較目標函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,80,80321xxx0,321xxx方法方法1：分解為：分解為8個個LP子模型子模型 汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)計劃 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。

40、輛，求生產(chǎn)計劃。321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxxx1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最優(yōu)值，最優(yōu)值z=610LINDO中對中對0-1變量的限定：變量的限定：int y1int y2int y3 方法方法2：引入引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃變量，化為整數(shù)規(guī)劃 M為大的正數(shù)，為大的正數(shù)，可取可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 15

41、0.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。輛，求生產(chǎn)計劃。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 801 , 0,80,11111yyxMyx1 , 0,80,22222yyxMyx1 , 0,80,33333yyxMyx最優(yōu)解同前最優(yōu)解同前 NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學軟件求解雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學軟件求解( (如如LINGO, , MATLAB)

42、 )，但是其結果常依賴于初值的選擇。，但是其結果常依賴于初值的選擇。 方法方法3：化為非線性規(guī)劃化為非線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃（非線性規(guī)劃（Non- Linear Programming，簡記，簡記NLP） 實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時，才能得到正確的結果。的最優(yōu)解時，才能得到正確的結果。 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。輛，求生產(chǎn)計劃。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11xx0)80(22xx0)80(33xx應如何安排原油的采購和加工應如何安排原油

43、的采購和加工 ？ 例例2 原油采購與加工原油采購與加工 市場上可買到不超過市場上可買到不超過1500噸的原油噸的原油A： 購買量不超過購買量不超過500噸時的單價為噸時的單價為10000元元/ /噸；噸； 購買量超過購買量超過500噸但不超過噸但不超過1000噸時，超過噸時，超過500噸的噸的 部分部分8000元元/ /噸；噸； 購買量超過購買量超過1000噸時，超過噸時，超過1000噸的部分噸的部分6000元元/ /噸。噸。 售價售價4800元元/噸噸 售價售價5600元元/噸噸庫存庫存500噸噸 庫存庫存1000噸噸 汽油甲汽油甲(A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A

44、60%) 決策決策變量變量 目標目標函數(shù)函數(shù)問題問題分析分析 利潤：銷售汽油的收入利潤：銷售汽油的收入 - - 購買原油購買原油A的支出的支出 難點：原油難點：原油A的購價與購買量的關系較復雜的購價與購買量的關系較復雜)()(6 . 5)( 8 . 422122111xcxxxxzMax甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 購買購買xx11x12x21x224.8千元千元/噸噸 5.6千元千元/噸噸原油原油A的購買量的購買量, ,原油原油A, B生產(chǎn)生產(chǎn)汽油汽油甲甲,乙的數(shù)量乙的數(shù)量c(x) 購買原油購買原油A的支出的支出利潤利潤(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？原油供應原油供

45、應 約束約束條件條件xxx500121110002221 xx1500 x500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc x 500噸單價為噸單價為10千千元元/ /噸；噸； 500噸噸 x 1000噸，超過噸，超過500噸的噸的8千千元元/ /噸；噸；1000噸噸 x 1500噸，超過噸，超過1000噸的噸的6千千元元/ /噸。噸。 目標目標函數(shù)函數(shù)購買購買x A B x11x12x21x22庫存庫存500噸噸 庫存庫存1000噸噸 目標函數(shù)中目標函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃；不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃； 對于用分段函數(shù)定義

46、的對于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃軟，一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解；件也難以輸入和求解； 想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。 汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制 5 . 0211111 xxx6 . 0221212 xxx2111xx 221232xx 約束約束條件條件甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11x12x21x22x1 , x2 , x3 以價格以價格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A的噸數(shù)的噸數(shù)目標目標函數(shù)函數(shù) 只有當以只有當以10千元千元/噸的價格購買噸的價格購買x1=500(

47、(噸噸) )時，才能以時，才能以8千元千元/噸的價格購買噸的價格購買x2方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 432122122111xxxxxxxzMax0)500(32xx500,0321xxx非線性規(guī)劃模型非線性規(guī)劃模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500噸噸 x 1000噸，超過噸，超過500噸的噸的8千千元元/ /噸噸增加約束增加約束0)500(21xxx= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 方法方法1：LINGO求解求解Model:Max= 4.8*x

48、11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0;x2 0;x3 0;end Objective value: 4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.0000 0.0000000E+00X21 500.0000

49、 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得到的是局部最優(yōu)解，還得到的是局部最優(yōu)解，還能得到更好的解嗎？能得到更好的解嗎？ 用庫存的用庫存的500噸原油噸原油A、500噸原油噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油A，利潤為利潤為4,800千

50、千元。元。 y1, y2 , y3=1 以價格以價格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A增增加加約約束束方法方法2 0-1線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型，可，可用用LINDO求解求解112500500yxy223500500yxy33500yx y1, ,y2, ,y3 =0或或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.8000

51、00 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000 購買購買1000噸原油噸原油A，與，與庫存的庫存的500噸原油噸原油A和和1000噸原油噸原油B一起，生一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤為產(chǎn)汽油乙，利潤為5,000千元千元 。x1 , x2 , x3 以價格以價格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A的噸數(shù)的噸數(shù)y

52、=0 x=0 x0 y=1優(yōu)于方法優(yōu)于方法1的結果的結果b1 b2 b3 b4方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0

53、10)(xxxxxxxc 直接處理處理分段線性函數(shù)直接處理處理分段線性函數(shù)c(x) IP模型，模型，LINDO求求解，得到的結果與解，得到的結果與方法方法2相同相同. .處理分段線性函數(shù)，方法處理分段線性函數(shù)，方法3更具一般性更具一般性44332211bzbzbzbzx)()()()()(44332211bczbczbczbczxcbk x bk+1yk=1, ,否則否則, ,yk=03432321211,yzyyzyyzyz)4 , 3 , 2 , 1(0, 14321kzzzzzk10, 1321321或yyyyyy方法方法3 bk x bk+1 , ,x= zkbk+z k+1 bk+1

54、zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ).c(x)x1200090005000050010001500b1 b2 b3 b4對于對于k=1,2,3分派問題分派問題4.4 接力隊選拔和選課策略接力隊選拔和選課策略若干項任務分給一些候選人來完成，每人的專長不同，若干項任務分給一些候選人來完成，每人的專長不同，完成每項任務取得的效益或需要的資源就不同，如何分完成每項任務取得的效益或需要的資源就不同，如何分派任務使獲得的總效益最大，或付出的總資源最少。派任務使獲得的總效益最大，或付出的總資源最少。若干種策略供選擇，不同的策略得到的收益或付出的

55、若干種策略供選擇，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各個策略之間有相互制約關系，如何在滿成本不同，各個策略之間有相互制約關系，如何在滿足一定條件下作出決擇，使得收益最大或成本最小。足一定條件下作出決擇，使得收益最大或成本最小。丁的蛙泳成績退步到丁的蛙泳成績退步到115”2；戊的自由泳成績進；戊的自由泳成績進步到步到57”5, 組成接力隊的方案是否應該調(diào)整組成接力隊的方案是否應該調(diào)整？如何選拔隊員組成如何選拔隊員組成4 4 100100米混合泳接力隊米混合泳接力隊? ?例例1 混合泳接力隊的選拔混合泳接力隊的選拔 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰

56、泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候選人的名候選人的百米成績百米成績窮舉法窮舉法：組成接力隊的方案共有組成接力隊的方案共有5!=120種種。目標目標函數(shù)函數(shù)若選擇隊員若選擇隊員i參加泳姿參加泳姿j 的比賽，記的比賽，記xij=1, , 否則記否則記xij=0 0-1規(guī)劃模型規(guī)劃模型 cij( (秒秒) )隊員隊員i 第第j 種泳姿的百米成績種泳姿的百米成績約束約束條件條件每人最多入選泳姿之一每人最多入選泳姿之一 ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2

57、787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.44151jiijijxcZMin每種泳姿有且只有每種泳姿有且只有1 1人人 5, 1, 141ixjij4, 1, 151jxiij模型求解模型求解 最優(yōu)解：最優(yōu)解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它變量為其它變量為0;成績?yōu)槌煽優(yōu)?53.2( (秒秒) )=413”2 MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54SUBJECT TO x11+x

58、12+x13+x14 =1 x41+x42+x43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1END INT 20 輸入輸入LINDO求解求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、蝶泳、丙丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. .丁蛙泳丁蛙泳c43 = =69.675.2，戊自由泳，戊自由泳c54= =62.4

59、 57.5, , 方案是否調(diào)整？方案是否調(diào)整？ 敏感性分析？敏感性分析？乙乙 蝶泳、丙蝶泳、丙 仰泳、仰泳、丁丁 蛙泳、戊蛙泳、戊 自由泳自由泳IP規(guī)劃一般沒有與規(guī)劃一般沒有與LP規(guī)劃相類似的理論，規(guī)劃相類似的理論，LINDO輸出的敏感性分析結果通常是沒有意義的。輸出的敏感性分析結果通常是沒有意義的。最優(yōu)解：最優(yōu)解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成績?yōu)槌煽優(yōu)?17”7 c43, c54 的新數(shù)據(jù)重新輸入模型，用的新數(shù)據(jù)重新輸入模型，用LINDO求解求解 指派指派( (Assignment) )問題問題：每項任務有且只有一人承擔，每項任務有且只有一人承擔，每人只能承擔一項

60、每人只能承擔一項，效益不同，怎樣分派使總效益最大，效益不同，怎樣分派使總效益最大. 討論討論甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、蝶泳、丙丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. .原原方方案案為了選修課程門數(shù)最少，應學習哪些課程為了選修課程門數(shù)最少，應學習哪些課程 ？ 例例2 選課策略選課策略要求至少選兩門數(shù)學課、三門運籌學課和兩門計算機課要求至少選兩門數(shù)學課、三門運籌學課和兩門計算機課 課號課號課名課名學分學分所屬類別所屬類別先修課要求先修課要求1微積分微積分5數(shù)學數(shù)學 2線性代數(shù)線性代數(shù)4數(shù)學數(shù)學 3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法4數(shù)學；運籌學數(shù)學；運籌學微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結構數(shù)據(jù)結構3數(shù)