函數的性質PPT學習教案

1、會計學1函數的性質函數的性質第1頁/共69頁第2頁/共69頁第3頁/共69頁第4頁/共69頁第5頁/共69頁第6頁/共69頁第7頁/共69頁第8頁/共69頁第9頁/共69頁第10頁/共69頁例3.已知函數f(x)對任意實數x,都有f(xm)f(x),求證:2m是f(x)的一個周期.證明：因為f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數.第11頁/共69頁例4.已知函數f(x)對任意實數x,都有f(xm)f(xm),求證:2m是f(x)的一個周期. 證明：因為f(xm)f(xm)令xmt，則xmt2m于是f(t2m)f(t)對于tR恒

2、成立，所以f(x)是以2m為周期的周期函數.第12頁/共69頁例5.已知函數f(x)對任意實數x,都有f(xm),求證:2m是f(x)的一個周期.證明：由已知f(x2m)f(xm)m f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數.第13頁/共69頁例6.已知函數f(x)對任意實數x,都有f(xm) ,求證:4m是f(x)的一個周期.證明：由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m) f(x)所以f(x)是以4m為周期的周期函數.第14頁/共69頁例7.已知函數f(x)對任意實數x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求證:2|ab|是f(x)的一個周期.(ab)證明：不妨設ab

3、于是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b)f(2bx) f(b(xb)f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一個周期當ab時同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期第15頁/共69頁例8.已知函數f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因為f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)兩式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以6為周期的周期函數20046334 f(2004)f(0)2004第16頁/共69頁第17頁/共69頁第18頁/共6

4、9頁第19頁/共69頁第20頁/共69頁例10.已知對于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求證：f(x)是偶函數；若存在正整數m使得f(m)0，求滿足f(xT)f(x)的一個T值(T0) 證明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)為偶函數令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m=f(x2m) f(x) 即T4m(周期函數)第21頁/共69頁例11.數列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN) 求a100； 求S1

5、00. 解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6為周期的周期數列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)第22頁/共69頁例12.對每一個實數對x,y,函數f(t)滿足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,試求滿足f(a)a的所有整數a.解：令xy0，得f(0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，

6、得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2 第23頁/共69頁當x取任意正整數時，f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即對任意大于1的正整數t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，進一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以當x4時，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4時，f(x)x綜上所述，滿足f(a)a的整數只有a1或a2第24頁/共69頁例13.設f(x)是一個從實數集R到R的一個映射,對于任意的實數x,都有|f(x)|1,并且 f(x)+求證:f(x)是周期函數. 證明：由已知f(x)+所以第25頁

7、/共69頁)421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f (2)第26頁/共69頁于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1)，記這個差為d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1) f(x1)f(x)d即是說數列f(xn)是一個以f(x)為首項，d為公差的等差數列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)對所有的自然數n成立，而對于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x) xR所以f(x)是周期為1的周期函數.第27頁/共69頁第28頁/共69頁第29頁/共69頁第30頁/共

8、69頁第31頁/共69頁1.數列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6為周期的周期數列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a) 2ba第32頁/共69頁2.已知函數f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因為f(x)f(x1)f(x1)所以f(

9、x1)f(x)f(x2)兩式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)第33頁/共69頁練習.1.數列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100. 2.已知函數f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)f(x1)f(x1) ,f(0)2004，求f(2004) 3.函數f(x) 是定義域為R且以2為周期的周期函數，當x0,2時，f(x)=|x-1|；當x2k,2k+2( kZ)時，求f(x)的解析式，并證明f(x)是偶函數。第34頁/共69頁第35頁/共69頁第36頁/共69頁第37頁/共69頁第38頁/共69頁第39頁/共6

10、9頁練習1已知函數 ，函數y=g(x)的圖像與y=f -1(x+1)的圖像關于直線y=x對稱，則g(11)的值為： A B1 C D 2已知定義在R上的函數f(x)的反函數為f -1(x)，且函數y=f(x+1)的反函數為y= f -1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000)3.對于任意的 ,函數f(x)表示 x2-4x+3中的較大者,則求函數f(x)的解析式及f(x)的最小值. (f(x)min=2)第40頁/共69頁第41頁/共69頁第42頁/共69頁第43頁/共69頁第44頁/共69頁第45頁/共69頁第46頁/共69頁第47頁/共69頁第48頁/共69頁第49頁/共69頁第50頁/共69頁第51頁