【中考分類】特殊平行四邊形(解答題)

1、19特殊平行四邊形解答題三解答題12021年湖北十堰市如圖，四邊形ABCD是正方形, 點G是BC上任意一點，DEAG于點E，BFAG于點F. (1) 求證：DEBF = EF(2) 當點G為BC邊中點時, 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關系， 并說明理由 (3) 假設點G為CB延長線上一點，其余條件不變請你在圖中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數(shù)量關系不需要證明【關鍵詞】正方形的性質與判定、多邊形相似【答案】(1) 證明: 四邊形ABCD 是正方形, BFAG , DEAG DA=AB， BAF + DAE = DAE + ADE = 90 BAF = ADE ABF DAE BF =

2、 AE , AF = DE DEBF = AFAE = EF (2EF = 2FG 理由如下： ABBC , BFAG , AB =2 BG AFB BFG ABG AF = 2BF , BF = 2 FG 由(1)知, AE = BF， EF = BF = 2 FG (3) 如圖 DE + BF = EF 說明:第2問不先下結論，只要解答正確，給總分值.假設只有正確結論，.22021年山東青島市：如圖，在中，AE是BC邊上的高，將沿方向平移，使點E與點C重合，得(1求證：；(2假設，當AB與BC滿足什么數(shù)量關系時，四邊形是菱形？證明你的結論【關鍵詞】全等ADGCBFE三角形的性質與判定、菱形

3、的性質與判定【答案】證明：1四邊形是平行四邊形，是邊上的高，且是由沿方向平移而成，(2當時，四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形中，四邊形是菱形32021 年佛山市如圖，在正方形中，假設，求的長DFCBEA【關鍵詞】正方形知識的綜合應用【答案】解略注：證明，給5分；根據(jù)三角形全等得，給1分42021 年佛山市1列式：與的差不小于；(2假設1中的單位：是一個正方形的邊長，現(xiàn)將正方形的邊長增加，那么正方形的面積至少增加多少？【關鍵詞】正方形的性質，及不等式綜合應用【答案】1；化為扣1分2面積增加列式2分，整理1分，不等關系1分答：面積至少增加52021年佳木斯如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，

4、使點B落到點B的位置，AB與CD交于點E.(1試找出一個與AED全等的三角形，并加以證明.(2假設AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PGAE于G，PHEC于H，試求PG+PH的值，并說明理由.【關鍵詞】矩形的性質，全等三角形的判定【答案】1AEDCEB證明：四邊形ABCD是矩形，BC=BC=AD，B=B=D又BEC=DEAAEDCEB(2延長HP交AB于M，那么PMAB1=2，PGABPM=PGCDAB2=31=3AE=CH=8-3=5在RtADE中，DE=3AD=4PH+PM=ADPG+PH=AD=4.6 (2021年達州)如圖7，在ABC中，AB2BC，點D、點E分別為AB、A

5、C的中點，連結DE，將ADE繞點E旋轉180得到CFE.試判斷四邊形BCFD的形狀，并說明理由.【關鍵詞】菱形的判定【答案】解：四邊形BCFD是菱形，理由如下：點D、點E分別是AB、AC的中點DE 12BC 又CFE是由ADE旋轉而得DE=EFDF BC四邊形BCFD是平行四邊形又AB=2BC，且點D為AB的中點BD=BCBCFD是菱形72021年中山如下圖，在矩形中，兩條對角線相交于點以、為鄰邊作第1個平行四邊形，對角線相交于點，再以、為鄰邊作第2個平行四邊形，對角線相交于點；再以、為鄰邊作第3個平行四邊形依次類推1求矩形的面積；(2求第1個平行四邊形、第2個平行四邊形和第6個平行四邊形的面

6、積【關鍵詞】矩形、平行四邊形有關的計算【答案】1在中，(2矩形，對角線相交于點，四邊形是平行四邊形，又，同理，第6個平行四邊形的面積為82021肇慶如圖 5，ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O， ODCBA1求證：ABD是正三角形； (2求 AC的長結果可保存根號 【關鍵詞】菱形【答案】(1證明：AC是菱形ABCD的對角線，AC平分BCD 又ACD=30，BCD=60 BAD與BCD是菱形的一組對角，BAD=BCD=60 AB、AD是菱形的兩條邊， ABD是正三角形(2解：O為菱形對角線的交點，在中， ，答的長為92021肇慶如圖 ，ABCD是正方形G是 BC 上的一點，DEAG于 E，

7、BFAG于 F ADEFCGB1求證：； (2求證：【關鍵詞】正方形【答案】證明：1DEAG，BFAG， AED=AFB=90 ABCD是正方形，DEAG， BAF+DAE=90，ADE+DAE=90， BAF =ADE 又在正方形ABCD中，AB=AD在ABF與DAE 中，AFB =DEA=90，BAF =ADE ，AB=DA，ABFDAE (2ABFDAE，AE=BF，DE=AF 又 AF=AE+EF，AF=EF+FB，DE=EF+FB102021年廣西欽州1：如圖1，在矩形ABCD中，AFBE求證：DECF；【關鍵詞】矩形性質、全等三角形判定【答案】證明：AFBE，EFEF，AEBF四邊

8、形ABCD是矩形，AB90，ADBCDAECBF112021年廣西梧州如圖，ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CEAB交MN于E，連結AE、CD(1求證：ADCE；(2填空：四邊形ADCE的形狀是 【關鍵詞】垂直平分線、全等三角形、菱形判定【答案】(1證明：MN是AC的垂直平分線OAOC AODEOC=90 CEAB DAOECO ADOCEO ADCE (2四邊形ADCE是菱形DECF；12 (2021年宜賓：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF，交AD于點M，交CD的延長線于點F.(1求證：AM=DM；(2假設DF=2，求菱形ABCD的周長【關

9、鍵詞】菱形的性質,全等三角形的判定【答案】1略證：四邊形ABCD是菱形，ABCD,AB=AD. ACEF,AM=AE. AE=AB, AM=AD.AM=DM.(2提示:證明AMEDMF.DF=AEABCD的周長為16.132021年日照市正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG(1求證：EG=CG；(2將圖中BEF繞B點逆時針旋轉45，如圖所示，取DF中點G，連接EG，CG問1中的結論是否仍然成立？假設成立，請給出證明；假設不成立，請說明理由 DFBACE第24題圖FBADCEG第24題圖(3將圖中BEF繞B點旋轉任意角度，如圖

10、所示，再連接相應的線段，問1中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？均不要求證明FBADCEG第24題圖【關鍵詞】正方形,圖形的全等，【答案】解：1證明：在RtFCD中， G為DF的中點， CG=FD同理，在RtDEF中， EG=FD CG=EG(21中結論仍然成立，即EG=CG證法一：連接AG，過G點作MNAD于M，與EF的延長線交于N點FBADCEGMNN圖 一在DAG與DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG在DMG與FNG中， DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 在RtAM

11、G 與RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EGFBADCEGM圖 二 EG=CG 證法二：延長CG至M,使MG=CG，連接MF，ME，EC， 在DCG 與FMG中，F(xiàn)G=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，F(xiàn)MGDCG MFCDAB在RtMFE 與RtCBE中， MF=CB，EF=BE，MFE CBEFBADCE圖GMECMEFFECCEBCEF90 MEC為直角三角形 MG = CG， EG=MC (31中的結論仍然成立，即EG=CG其他的結論還有:EGCG142021年河南如圖，在RtABC中，ACB=90, B =60，BC=2點0是A

12、C的中點，過點0的直線l從與AC重合的位置開始，繞點0作逆時針旋轉，交AB邊于點D.過點C作CEAB交直線l于點E，設直線l的旋轉角為. (1)當=_度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為_； 當=_度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為_； (2)當=90時,判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由【關鍵詞】動態(tài)四邊形【答案】130，1；60，1.5； (2當=900時，四邊形EDBC是菱形. =ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四邊形EDBC是平行四邊形. 在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=2.AO= . 在RtAO

13、D中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形 152021年孝感 三個牧童A、B、C在一塊正方形的牧場上看守一群牛，為保證公平合理，他們商量將牧場劃分為三塊分別看守，劃分的原那么是：每個人看守的牧場面積相等；在每個區(qū)域內(nèi)，各選定一個看守點，并保證在有情況時他們所需走的最大距離看守點到本區(qū)域內(nèi)最遠處的距離相等按照這一原那么，他們先設計了一種如圖1的劃分方案：把正方形牧場分成三塊相等的矩形，大家分頭守在這三個矩形的中心對角線交點，看守自己的一塊牧場過了一段時間，牧童B和牧童C又分別提出了新的劃分方案牧童B的劃分方案如圖2：三塊矩形的面積相等，

14、牧童的位置在三個小矩形的中心牧童C的劃分方案如圖3：把正方形的牧場分成三塊矩形，牧童的位置在三個小矩形的中心，并保證在有情況時三個人所需走的最大距離相等請答復：(1牧童B的劃分方案中，牧童 (填A、B或C在有情況時所需走的最大距離較遠；3分(2牧童C的劃分方案是否符合他們商量的劃分原那么？為什么？提示：在計算時可取正方形邊長為25分【關鍵詞】方案設計【答案】1 C ； 3分 (2牧童C的劃分方案不符合他們商量的劃分原那么 4分理由如下：如圖，在正方形DEFG中，四邊形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN=NP=HG可知EN=NF，S矩形HENM S矩形MNFP 5分取正方形邊長為2，設

15、HD=x，那么HE=2x.在RtHEN和RtDHG中，由HN=HG得：EH2+EN2=DH2+DG2 ，即：解得， 7分 S矩形HENM = S矩形MNFP =，S矩形DHPG =S矩形HENM S矩形DHPG牧童C的劃分方案不符合他們商量的劃分原那么162021年婁底如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC的中點，連結AD，在AD的延長線上取一點E，連結BE，CE.(1求證：ABEACE(2當AE與AD滿足什么數(shù)量關系時，四邊形ABEC是菱形？并說明理由.【關鍵詞】全等、四邊形【答案】1證明：AB=AC點D為BC的中點BAE=CAEAE=AEABEACESAS(2當AE=2AD或AD=DE或D

16、E=AE時，四邊形ABEC是菱形理由如下：AE=2AD，AD=DE又點D為BC中點，BD=CD四邊形ABEC為平行四形邊AB=AC四邊形ABEC為菱形172021恩施市兩個完全相同的矩形紙片、如圖7放置，求證：四邊形為菱形CDEMABFN【關鍵詞】菱形的判定、全等【答案】證明: 四邊形ABCD、BFDE是矩形BMDN,DMBN 四邊形BNDM是平行四邊形 又AB=BF=ED,A=E=90AMB=EMDABMEDM BM=DM 平行四邊形BNDM是菱形 18(2021年義烏)如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動，設AP=，現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF點E

17、、F為折痕與矩形邊的交點，再將紙片復原。 (1當時，折痕EF的長為；當點E與點A重合時，折痕EF的長為；(2請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當時菱形的邊長；(3令，當點E在AD、點F在BC上時，寫出與的函數(shù)關系式。當取最大值時，判斷與是否相似？假設相似，求出的值；假設不相似，請說明理由。溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對你有所幫助哦！【關鍵詞】矩形、菱形與函數(shù)的綜合【答案】解：13， (2當時，如圖1，連接，為折痕，令為，那么，DCBAPEF圖1在中，解得，此時菱形邊長為DCFBAPEOH(3如圖2，過作，易證，DC(F)HBAPEO當與點重合時，如圖3，連接，顯然，函數(shù)的值在軸

18、的右側隨的增大而增大，當時，有最大值此時，綜上所述，當取最大值時，不寫不扣分19 (2021年金華市) (此題10分)在平面直角坐標系中，O為坐標原點.(1)點A(3,1)，連結OA，平移線段OA，使點O落在點B.設點A落在點C,作如下探究：探究一：假設點B的坐標為(1，2)，請在圖1中作出平移后的像，那么點C的坐標是 ；連結AC，BO，請判斷O，A，C，B四點構成的圖形的形狀，并說明理由；yBAOx圖11xOABy圖21探究二：假設點B的坐標為(6，2)，按探究一的方法,判斷O，A，B,C四點構成的圖形的形狀.(溫馨提示:作圖時,別忘了用黑色字跡的鋼筆或簽字筆描黑喔!(2)通過上面的探究，請

19、直接答復以下問題：假設三點A (a，b)，B(c，d)，C (a+c，b+d)，順次連結O，A，C，B，請判斷所得到的圖形的形狀；在的條件下，如果所得到的圖形是菱形或者是正方形，請選擇一種情況，寫出a，b，c，d應滿足的關系式.答案：(1)探究一： C (4，3)，1分圖正確得2分，圖略2分四邊形OACB為平行四邊形，1分理由如下：由平移可知，OABC，且OA=BC，所以四邊形OACB為平行四邊形.2分探究二：線段1分(2) 平行四邊形或線段2分菱形：a2+b2=c2+d2 (a=c，b=d除外正方形：a=d且b=c或b=c且a=d1分(寫出菱形需滿足的條件或寫出正方形需滿足的條件其中一種即可

20、給分)20(2021年營口市)如圖1，P是線段AB上的一點，在AB的同側作APC和BPD，使PCPA，PDPB，APCBPD，連接CD，點E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，順次連接E、F、G、H(1)猜測四邊形EFGH的形狀，直接答復，不必說明理由；(2)當點P在線段AB的上方時，如圖2，在APB的外部作APC和BPD，其他條件不變，(1)中的結論還成立嗎？說明理由；(3)如果(2)中，APCBPD90，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由AAABBBPPPDCCDFFEEGGHH圖1 圖2 圖3CHDGBPFEA第25題2答圖答案：1四邊形是菱形2

21、分(2成立3分理由：連接4分，即又，SAS6分分別是的中點，分別是，的中位線，321CHDGEAPFB第25題3答圖四邊形是菱形7分(3補全圖形，如答圖8分判斷四邊形是正方形9分理由：連接2中已證，又11分2中已證分別是的中位線，又2中已證四邊形是菱形，菱形是正方形212021山西省太原市如圖，是邊上一點，(1在圖中作的角平分線，交于點；要求：尺規(guī)作圖，保存作圖痕跡，不寫作法和證明(2在1中，過點畫的垂線，垂足為點，交于點，連接，將圖形補充完整，并證明四邊形是菱形AOENM【關鍵詞】菱形的判定【答案】解：1如圖，射線為所求作的圖形AOBCDENM (2方法一：平分 在和中四邊形是平行四邊形四邊

22、形是菱形方法二：同方法一， 于點，在和中四邊形是平行四邊形或，四邊形是菱形22 (2021山西省太原市問題解決如圖1，將正方形紙片折疊，使點落在邊上一點不與點，重合，壓平后圖1ABCDEFMN得到折痕當時，求的值方法指導：為了求得的值，可先求、的長，不妨設：=2類比歸納在圖1中，假設那么的值等于 ；假設那么的值等于 ；假設為整數(shù)，那么的值等于 用含的式子表示聯(lián)系拓廣圖2NABCDEFM 如圖2，將矩形紙片折疊，使點落在邊上一點不與點重合，壓平后得到折痕設那么的值等于 用含的式子表示問題解決解：方法一：如圖1-1，連接N圖1-1ABCDEFM 由題設，得四邊形和四邊形關于直線對稱 垂直平分 四邊

23、形是正方形， 設那么 在中， 解得，即 在和在中， 設那么 解得即分 方法二：同方法一， 如圖12，過點做交于點，連接N圖1-2ABCDEFMG四邊形是平行四邊形 同理，四邊形也是平行四邊形在與中類比歸納或； 聯(lián)系拓廣23 (2021襄樊市如下圖，在中，將繞點順時針方向旋轉得到點在上，再將沿著所在直線翻轉得到連接 (1求證：四邊形是菱形； (2連接并延長交于連接請問：四邊形是什么特殊平行四邊形？為什么？ADFCEGB【關鍵詞】菱形的判定、矩形的判定【答案】ADFCEGB(1證明：是由繞點旋轉得到， 是等邊三角形，又是由沿所在直線翻轉得到是平角點F、B、C三點共線是等邊三角形3分 四邊形是菱形(

24、2四邊形是矩形證明：由1可知：是等邊三角形，于四邊形是平行四邊形，而四邊形是矩形24 (2021年安順)如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連結BF。(1求證：BD=CD；(2如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論。【關鍵詞】矩形判定【答案】1，是的中點， ， (2四邊形是矩形 ，是的中點，四邊形是平行四邊形又 四邊形是矩形252021重慶綦江如圖，在矩形ABCD中，是邊上的點，AE=BC，DFAE，垂足為F，連接DE(1求證：；(2如果，求的值262021年北京市閱讀以下材料：小明遇到一個問題：5個

25、同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形.他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片繞AB的中點O旋轉至三角形紙片處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個新的正方形DEFG.請你參考小明的做法解決以下問題：(1現(xiàn)有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請將其分割后拼接成一個平行四邊形.要求：在圖3中畫出并 指明拼接成的平行四邊形畫出一個符合條件的平行四邊形即可；(2如圖4，在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，分別連結AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ請在圖4中探究平行四邊形MNP

26、Q面積的大小畫圖并直接寫出結果. 【關鍵詞】正方形 操作探究【答案】27 (2021年北京市在中，過點C作CECD交AD于點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉得到線段EF(如圖1)1在圖1中畫圖探究：當P為射線CD上任意一點P1不與C重合時，連結EP1繞點E逆時針旋轉得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關系，并加以證明；當P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結EP2,將線段EP2繞點E 逆時針旋轉得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論.(2假設AD=6,tanB=,AE=1,在的條件下，設CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值

27、范圍.【關鍵詞】旋轉、三角形全等、正方形、二次函數(shù)解：1直線與直線的位置關系為互相垂直證明：如圖1，設直線與直線的交點為線段分別繞點逆時針旋轉90依次得到線段，F(xiàn)DCBAE圖1G2G1P1HP2，按題目要求所畫圖形見圖1，直線與直線的位置關系為互相垂直(2四邊形是平行四邊形，可得由1可得四邊形為正方形DG1P1HCBAEF圖2如圖2，當點在線段的延長線上時，F(xiàn)G1P1CABEDH圖3如圖3，當點在線段上不與兩點重合時，當點與點重合時，即時，不存在綜上所述，與之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍是或282021年長春如圖，在矩形中，點分別在邊上，求的長ABCDEF【關鍵詞】矩形的性質、直角三角形的

28、有關計算、相似三角形有關的計算和證明【答案】解：四邊形是矩形，AB=6A=D=90，DC=AB=6又AE=9在RtABE中，由勾股定理得：BE=，即EF=262021年長春如圖，拋物線與軸正半軸交于點，以為邊在軸上方作正方形，延長交拋物線于點，再以為邊向上作正方形(1求的值2分yxOCBAEFD2求點的坐標5分【關鍵詞】正方形的性質、待定系數(shù)法、二次函數(shù)a0與a，b，c的關系【答案】解：1拋物線與軸正半軸交于點把的坐標代入得：9a-3-=0a=(2)設正方形BDEF的邊長為x，那么D3+x，3點D在拋物線上 解這個方程得：x1=，不合題意，舍去F(3，)292021年安徽學校植物園沿路護欄紋飾

29、局部設計成假設干個全等菱形圖案，每增加一個菱形圖案，紋飾長度就增加dcm，如下圖每個菱形圖案的邊長cm，其一個內(nèi)角為6060dL第19題圖(1假設d26，那么該紋飾要231個菱形圖案，求紋飾的長度L；(2當d20時，假設保持1中紋飾長度不變，那么需要多少個這樣的菱形圖案？【關鍵詞】菱形的性質、【答案】1菱形圖案水平方向對角線長為30cm按題意，cm(2當20cm時，設需x個菱形圖案，那么有：解得即需300個這樣的菱形圖案28.2021年安徽如圖，將正方形沿圖中虛線其中xy剪成四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼成一個矩形非正方形(1畫出拼成的矩形的簡圖；(2求的值xyxyyxxy【關鍵詞】正方形、矩形

30、的性質，解一元二次方程、分式的根本性質、【答案】解：1如下圖說明：其它正確拼法可相應賦分(2解法一：由拼圖前后的面積相等得：因為y0，整理得：解得：負值不合題意，舍去解法二：由拼成的矩形可知：以下同解法一302021年郴州市如圖9，E是正方形ABCD對角線BD上的一點，求證：AE=CEDCEBA【關鍵詞】是正方形【答案】證明：因為四邊形是正方形 所以 又BE 是公共邊 所以 所以 31(2021年陜西省)問題探究(1請在圖的正方形ABCD內(nèi)，畫出使APB90的一個點P，并說明理由(2請在圖的正方形ABCD內(nèi)含邊，畫出使APB60的所有的點P，并說明理由問題解決如圖，現(xiàn)有一塊矩形鋼板ABCD，A

31、B4，BC3，工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的APB和CPD鋼板，且APBCPD60，請你在圖中畫出符合要求的點P和P，并求出APB的面積結果保存根號【關鍵詞】正方形對角線 等邊三角形 圓周角性質 三角形面積【答案】解：1如圖，連接AC、BD交于點P，那么APB90，點P為所求，(2如圖，畫法如下：1以AB為邊在正方形內(nèi)作等邊ABP；2作ABP的外接圓O，分別與AD、BC交于點E、F在O中，弦AB所對的弧APB上的圓周角均為60，弧EF上的所有點均為所求的點P，(3如圖，畫法如下：1連接AC；2以AB為邊作等邊ABE；3作等邊ABE的外接圓O，交AC于點P；4在AC上截取APCP那么點

32、P、P為所求(評卷時，作圖準確，無畫法的不扣分過點B作BGAC，交AC于點G在RtABC中，AB4，BC3，ACBG在RtABG中，AB4，AG在RtBPG中，BPA60，PG，APAG+PGSAPB322021重慶綦江如圖，在矩形ABCD中，是邊上的點，AE=BC，DFAE，垂足為F，連接DE(1求證：；(2如果，求的值DABCEF【關鍵詞】全等三角形，矩形，三角函數(shù)【答案】(1證明：在矩形中，(2解：由1知在直角中，在直角中，332021威海如圖1，在正方形中，分別為邊上的點，連接交點為(1如圖2，連接，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論；1DCBAOHGFEEBADCGFH(2將正方形沿

33、線段剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形假設正方形的邊長為3cm，那么圖3中陰影局部的面積為_【關鍵詞】正方形的性質與判定【答案】1四邊形是正方形證明：EBADCGFH圖2O四邊形是正方形，.，四邊形是菱形由知，四邊形是正方形(21342021年貴州省黔東南州如圖，l1、l2、l3、l4是同一平面內(nèi)的四條平行直線，且每相鄰的兩條平行直線間的距離為h，正方形ABCD的四個頂點分別在這四條直線上，且正方形ABCD的面積是25。(1連結EF，證明ABE、FBE、EDF、CDF的面積相等。(2求h的值?！娟P鍵詞】特殊平行四邊形相關的面積問題【答案】解：連結EFl1l2l3l4，且四邊

34、形ABCD是正方形BEFD，BFED四邊形EBFD為平行四邊形BE=FD又l1、l2、l3和l4之間的距離為hSABE=BEh，SFBE=BEh，SEDF=FDh，SCDF=FDhSABE= SFBE= SEDF= SCDF 4分(2過A點作AHBE于H點。方法一：SABE= SFBE= SEDF= SCDF又 正方形ABCD的面積是25，且AB=AD=5又l1l2l3l4E、F分別是AD與BC的中點AE=AD=在RtABE中，BE=又ABAE=BEAH方法二：不妨設BE=FD=x (x0)那么SABE= SFBE= SEDF= SCDF=又正方形ABCD的面積是25，SABE=，且AB=5那

35、么 又在RtABE中：AE=又BAE=90o，AHBERtABERtHAE，即變形得： 把兩邊平方后代入得：解方程得 (舍去把代入得： 352021年江蘇省如圖，在梯形中，兩點在邊上，且四邊形是平行四邊形(1與有何等量關系？請說明理由；(2當時，求證：是矩形ADCFEB【關鍵詞】矩形、平行四邊形【答案】1解：(1分理由如下：，四邊形和四邊形都是平行四邊形.又四邊形是平行四邊形，(2證明：四邊形和四邊形都是平行四邊形，又四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形362021年浙江省紹興市假設從矩形一邊上的點到對邊的視角是直角，那么稱該點為直角點例如，如圖的矩形中，點在邊上，連，那么點為直角點(1假設矩形一

36、邊上的直角點為中點，問該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關系？并說明理由；(2假設點分別為矩形邊，上的直角點，且，求的長 【關鍵詞】矩形的性質【答案】362021年廣西南寧如圖13-1，在邊長為5的正方形中，點、分別是、邊上的點，且，.(1求的值；(2延長交正方形外角平分線如圖13-2，試判斷的大小關系，并說明理由；(3在圖13-2的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形？假設存在，請給予證明；假設不存在，請說明理由圖13-1ADCBE圖13-2BCEDAFPF【關鍵詞】正方形的性質與判定【答案】解：1四邊形ABCD為正方形FADCBE132四邊形是平行四邊形(備注：作平行四邊形，并計算出或的長度，但

37、沒有證明點在邊上的扣1分解法：在邊上存在一點，使四邊形是平行四邊形證明：在邊上取一點，使，連接、四邊形為平行四邊形(備注：此小題假設有其他的證明方法，只要證出判定平行四邊形的一個條件，即可得1分BCEDAFP541M372021年清遠如圖，正方形，點是上的一點，連結，以為一邊，在的上方作正方形，連結求證：EBCGDFA【關鍵詞】正方形的性質與判定、全等三角形的性質與判定【答案】證明：四邊形和四邊形都是正方形 382021年衢州如圖，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點P在矩形上方，點Q在矩形內(nèi)求證：1PBA=PCQ=30；2PA=PQACBDPQ【關鍵詞】矩形的性質與判定【

38、答案】證明：(1)四邊形ABCD是矩形，ABC=BCD=90PBC和QCD是等邊三角形，PBC=PCB=QCD=60，PBA=ABCPBC=30，PCD= BCDPCB=30PCQ=QCDPCD=30PBA=PCQ=30(2)AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC，PABPQC，PA=PQACBDPQ392021年舟山如圖，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點P在矩形上方，點Q在矩形內(nèi)求證：1PBA=PCQ=30；2PA=PQACBDPQ【關鍵詞】矩形的性質與判定【答案】證明：(1)四邊形ABCD是矩形，ABC=BCD=90PBC和QCD是等邊三角形，PBC=PCB=

39、QCD=60，PBA=ABCPBC=30，PCD= BCDPCB=30PCQ=QCDPCD=30PBA=PCQ=30(2)AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC，PABPQC，PA=PQACBDPQ402021年廣州市如圖12，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P。(1假設AG=AE，證明：AF=AH；(2假設FAH=45，證明：AG+AE=FH；(3假設RtGBF的周長為1，求矩形EPHD的面積。【關鍵詞】正方形、矩形【答案】412021年益陽市如圖，ABC中，BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的長. 小萍同學靈活運用

40、軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.請按照小萍的思路，探究并解答以下問題：(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出ABD、ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形； (2)設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值.BCAEGDF【關鍵詞】正方形【答案】(1)證明：由題意可得：ABDABE，ACDACF .DABEAB，DACFAC，又BAC45，EAF90.又ADBCEADB90FADC90.又AEAD，AFADAEAF.四邊形AEGF是正方形.(2)解：設ADx，那么AEEGGFx.BD2，DC3BE2，CF3

41、BGx2，CGx3.在RtBGC中，BG2CG2BC2( x2)2(x3)252.化簡得，x25x60解得x16，x21舍所以ADx6.422021年濟寧市在平面直角坐標中，邊長為2的正方形的兩頂點、分別在軸、軸的正半軸上，點繞點順時針旋轉，當點第一次落在直線上時停止旋轉，旋轉過程中，邊交直線于點，邊交軸于點如圖.(1求邊在旋轉過程中所掃過的面積；(2旋轉過程中，當和平行時，求正方形 旋轉的度數(shù)；OABCMN3設的周長為，在旋轉正方形的過程中，值是否有變化？請證明你的結論.【關鍵詞】動態(tài)問題【答案】1解：點第一次落在直線上時停止旋轉，旋轉了.在旋轉過程中所掃過的面積為.(2解：，,.又，.又,

42、.旋轉過程中，當和平行時，正方形旋轉的度數(shù)為.(3答：值無變化. 證明：延長交軸于點，那么，.又，. 又, .，.在旋轉正方形的過程中，值無變化. 432021年衡陽市如圖，ABC中，AB=AC，AD、AE分別是BAC和BAC和外角的平分線，BEAEABCDEF(1求證：DAAE；OABCMN(2試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結論 【關鍵詞】三角形、矩形【答案】解：1證明：(2ABDE，理由是：44(2021年南充)如圖5，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，于E，交AG于F求證：DCBAEFG【關鍵詞】正方形的性質、全等三角形的判定【答案】證明：是正方形，又，在與中，45(202

43、1年湖州)如圖，矩形，將沿對角線折疊，記點的對應點為，假設=20，那么的度數(shù)為 _CADCB20【關鍵詞】矩形的性質，折疊【答案】 46(2021年湖州)如圖：在中，為邊的中點，過點作，垂足分別為.(1求證：；(2假設，求證：四邊形是正方形. DCBEAF【關鍵詞】全等三角形的判定，正方形的判定【答案】(1， ，是的中點，.(2，四邊形為矩形. ，四邊形為正方形472021臨沂數(shù)學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平行線CF于點F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，那么AM=EC，易證

44、，所以在此根底上，同學們作了進一步的研究：(1小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點改為“點E是邊BC上除B，C外的任意一點，其它條件不變，那么結論“AE=EF仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由； (2小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上除C點外的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF仍然成立你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖3【關鍵詞】正方形的性質，全等三角形的判定與性質【答案】解：1正確ADFCGEBM證明：在上取一點，使，連接，是外角平分線，AS

45、A(2正確ADFCGEBN證明：在的延長線上取一點使，連接四邊形是正方形，ASA482021年蘭州如圖15，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，ADE和BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結論【關鍵詞】平行四邊形、菱形、正方形的性質、三角形中位線的性質【答案】證明：如圖，連結AC、BD PQ為ABC的中位線， PQ AC同理 MNAC MNPQ， 四邊形PQMN為平行四邊形在AEC和DEB中，AEDE，ECEB，AED60CEB，即 AECDEB AECDEB ACBD PQACBDPN， PQMN為菱形4920

46、21年遂寧如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，點P在邊BC上移動，點E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DC的中點.求證：EF+GH=5cm；求當APD=90o時，的值【關鍵詞】矩形的性質、勾股定理【答案】矩形ABCD，AD=10cm，BC=AD=10cm，E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DO的中點，EF+GH=BP+PC=BC，EF+GH=5cm矩形ABCD，B=C=90o，又APD=90o，由勾股定理得AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+(BC-BP)2+2AB2=BP2+(10-BP)2+32,即100=2BP2-20BP+100+32

47、，解得BP=2或8(cm)當BP=2時,PC=8,EF=1,GH=4,這時當BP=8時,PC=2,EF=4,GH=1,這時的值為或450(2021年咸寧市)如圖，將矩形沿對角線剪開，再把沿方向平移得到(1證明；CBAD第19題2假設，試問當點在線段上的什么位置時，四邊形是菱形，并請說明理由5109湖北宜昌：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點A與邊DC上的動點P重合(P不與點D，C重合)， MN為折痕，點M，N分別在邊BC， AD上，連接AP，MP，AM， AP與MN相交于點FO過點M，C，P(1)請你在圖1中作出O(不寫作法，保存作圖痕跡)；(2)與 是否相等？請你說明理由；(3)隨著點

48、P的運動，假設O與AM相切于點M時，O又與AD相切于點H設AB為4，請你通過計算，畫出這時的圖形(圖2，3供參考) 圖1 圖2 圖3(第3題【關鍵詞】矩形的性質與判定【答案】解：(1)如圖； (2)與不相等假設，那么由相似三角形的性質，得MNDC D=90，DCAD，MNAD據(jù)題意得，A與P關于MN對稱，MNAP據(jù)題意，P與D不重合，這與“過一點A只能作一條直線與直線MN垂直矛盾 假設不成立不成立 (2) 解法2：與不相等理由如下：P， A關于MN對稱，MN垂直平分APcosFAN= D=90， cosPAD=FAN=PAD，=P不與D重合，P在邊DC上;ADAP;從而 (3)AM是O的切線，

49、AMP=90，CMPAMB=90BAMAMB=90，CMP=BAMMN垂直平分，MA=MP，B=C=90， ABMMCD MC=AB=4， 設PD=x，那么CP=4x，BM=PC=4x (5分)連結HO并延長交BC于JAD是O的切線，JHD=90矩形HDCJ (7分)OJCP， MOJMPC， OJ:CP=MO:MP=1:2，OJ=(4x)，OH=MP=4OJ=(4x) MC2= MP2CP2，(4x)2(4x)2=16 解得:x=1即PD=1，PC=3，BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7由此畫圖(圖形大致能示意即可) (3解法2：連接HO，并延長HO交BC于J點，連接AO 由切線性質知

50、，JHAD，BCAD，HJBC，OJMC，MJ=JC AM，AH與O相切于點M，H，AMO=AHO=90，OM=OH， AO=AO，RtAMORtAHO 設AM=x，那么 AM=AH=x，由切線性質得，AMPM，AMP=90，BMA+CMP=90BMA+BAM=90，BAM=CMP ，B=MCP=90，MN為AP的中垂線，AM=MPABMMCP 四邊形ABJH為矩形，得BJ=AH=x，RtABM中，BM=，MJ=JC，9分AB=MC4=2()， AD=BC=7，PC=3 由此畫圖(圖形大致能示意即可)5209湖南邵陽如圖十二，直線的解析式為，它與軸、軸分別相交于兩點平行于直線的直線從原點出發(fā)，

51、沿軸的正方形以每秒1個單位長度的速度運動，它與軸、軸分別相交于兩點，設運動時間為秒(1求兩點的坐標；(2用含的代數(shù)式表示的面積；(3以為對角線作矩形，記和重合局部的面積為，OMAPNylmxBOMAPNylmxBEPF圖十二當時，試探究與之間的函數(shù)關系式；在直線的運動過程中，當為何值時，為面積的？【關鍵詞】直角坐標系、一元二次方程解法及應用、一次函數(shù)的實際應用【答案】解 (1當時，；當時，； (2，； (3當時，易知點在的外面，那么點的坐標為,點的坐標滿足即，同理，那么， 所以； 當時，解得兩個都不合題意，舍去；當時，解得，綜上得，當或時，為的面積的53(2021年肇慶市)如圖 ，ABCD是菱

52、形，對角線AC與BD相交于O， ODCBA1求證：ABD是正三角形； (2求 AC的長結果可保存根號 【關鍵詞】菱形【答案】1證明：AC是菱形ABCD的對角線，AC平分BCD 又ACD=30，BCD=60 BAD與BCD是菱形的一組對角，BAD=BCD=60AB、AD是菱形的兩條邊，ABD是正三角形(2解：O為菱形對角線的交點，在中，答的長為54(2021年肇慶市)如圖 ，ABCD是正方形G是 BC 上的一點，DEAG于 E，BFAG于 F (1求證：； (2求證：ADEFCGB【關鍵詞】正方形【答案】證明：1DEAG，BFAG， ADEFCGB圖6AED=AFB=90 ABCD是正方形，DE

53、AG， BAF+DAE=90，ADE+DAE=90， BAF =ADE 又在正方形ABCD中，AB=AD 在ABF與DAE 中，AFB =DEA=90，BAF =ADE ，AB=DA，ABFDAE (2ABFDAE，AE=BF，DE=AF 又 AF=AE+EF，AF=EF+FB，DE=EF+FB552021年山西省在中，將繞點順時針旋轉角得交于點，分別交于兩點(1如圖1，觀察并猜測，在旋轉過程中，線段與有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；ADBECFADBECF(2如圖2，當時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3在2的情況下，求的長【關鍵詞】全等三角形的性質與判定；菱形的性質與判定；等腰三角形

54、；直角三角形的有關計算；旋轉【答案】解：1證明：證法一由旋轉可知，又即(證法二由旋轉可知，而即 (2四邊形是菱形. 證明：同理四邊形是平行四邊形. ADBECFG又四邊形是菱形. (3解法一過點作于點，那么在中，10分由2知四邊形是菱形，(解法二在中， (其它解法可參照給分562021年山西省如圖，直線與直線相交于點分別交軸于兩點矩形的頂點分別在直線上，頂點都在軸上，且點與點重合 (1求的面積；(2求矩形的邊與的長；(3假設矩形從原點出發(fā)，沿軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為秒，矩形與重疊局部的面積為，求關于的函數(shù)關系式，并寫出相應的的取值范圍ADBEOCFxyyG【關鍵詞】

55、一次函數(shù)的幾何應用；一次函數(shù)與二元一次方程；矩形的性質；特殊平行四邊形相關的面積問題；相似三角形有關的計算【答案】1解：由得點坐標為由得點坐標為由解得點的坐標為 (2解：點在上且 點坐標為又點在上且點坐標為 (3解法一：當時，如圖1，矩形與重疊局部為五邊形時，為四邊形過作于，那么ADBEORFxyyM圖3GCADBEOCFxyyG圖1RMADBEOCFxyyG圖2RM即即當時，如圖2，為梯形面積，G8t,0GR=,當時，如圖3,為三角形面積，572021年黃石市如圖，中，點是邊上一個動點，過作直線，設交的平分線于點，交的外角平分線于點(1探究：線段與的數(shù)量關系并加以證明；(2當點在邊上運動時，

56、四邊形會是菱形嗎？假設是，請證明，假設不是，那么說明理由；(3當點運動到何處，且滿足什么條件時，四邊形是正方形？AFNDCBMEO【關鍵詞】等腰三角形；菱形的性質與判定；正方形的性質與判定；直角三角形性質【答案】解：1其證明如下：是的平分線，同理可證(2四邊形不可能是菱形，假設為菱形，那么，而由1可知，在平面內(nèi)過同一點不可能有兩條直線同垂直于一條直線(3當點運動到中點時，那么四邊形為，要使為正方形，必須使，是以為直角的直角三角形，當點為中點且是以為直角的直角三角形時，四邊形是正方形582021年黃石市正方形在如下圖的平面直角坐標系中，在軸正半軸上，在軸的負半軸上，交軸正半軸于交軸負半軸于，拋物

57、線過三點(1求拋物線的解析式；3分(2是拋物線上間的一點，過點作平行于軸的直線交邊于，交所在直線于，假設，那么判斷四邊形的形狀；3分(3在射線上是否存在動點，在射線上是否存在動點，使得且，假設存在，請給予嚴格證明，假設不存在，請說明理由4分OyxBEADCF【關鍵詞】正方形的性質；待定系數(shù)法；相似三角形判定和性質；特殊平行四邊形相關的面積問題；等腰梯形的判定；全等三角形的性質與判定【答案】解：1依條件有，由知由得將的坐標代入拋物線方程，得拋物線的解析式為(2OyxBEADCFNMQ設，設，那么，舍去此時點與點重合，那么為等腰梯形3分(3在射線上存在一點，在射線上存在一點使得，且成立，證明如下：

58、當點如圖所示位置時，不妨設，過點作，垂足分別為假設由得：BANDMCQHP BADMCQHPN HNADCBMP，592021年廣東省正方形邊長為4，、分別是、上的兩個動點，當點在上運動時，保持和垂直，(1證明：；(2設，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式；當點運動到什么位置時，四邊形面積最大，并求出最大面積；(3當點運動到什么位置時，求此時的值DMABCN【關鍵詞】正方形的性質；相似三角形判定和性質；直角梯形；與二次函數(shù)有關的面積問題；二次函數(shù)的極值問題；相似三角形有關的計算和證明【答案】解：1在正方形中，在中，(2， ，當時，取最大值，最大值為10(3，要使，必須有，由1知，當點運動到的中

59、點時，此時(其它正確的解法，參照評分建議按步給分602021年廣東省在菱形中，對角線與相交于點，過點作交的延長線于點(1求的周長；(2點為線段上的點，連接并延長交于點求證：AQDEBPCO【關鍵詞】菱形的性質；勾股定理；平行四邊形的判定；利用平行四邊形證明線段相等；全等三角形的性質與判定【答案】解：1因為四邊形為菱形，所以，故四邊形為平行四邊形，那么有，所以，又垂直于，所以在中有，所以， 故三角形的周長為(2因為四邊形為菱形，所以，那么=又，所以全等于故有612021年廣東省如下圖，在矩形中，兩條對角線相交于點以、為鄰邊作第1個平行四邊形；對角線相交于點；再以、為鄰邊作第2個平行四邊形，對角線

60、相交于點；再以、為鄰邊作第3個平行四邊形依次類推(1求矩形的面積；(2求第1個平行四邊形、第2個平行四邊形和第6個平行四邊形的面積 A1A2B2C2C1B1O1DABCO【關鍵詞】矩形的性質與判定；勾股定理；菱形的性質與判定；特殊平行四邊形相關的面積問題；有理數(shù)運算【答案】解：1在中，(2矩形，對角線相交于點，四邊形是平行四邊形，又， 同理，第6個平行四邊形的面積為622021年安徽20如圖，將正方形沿圖中虛線其中xy剪成四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼成一個矩形非正方形(1畫出拼成的矩形的簡圖；【解】(2求的值【解】【關鍵詞】矩形、正方形【答案】解：1說明：其它正確拼法可相應賦分(2解法一：由拼