2013-計(jì)算力學(xué)7插值函數(shù)的構(gòu)造

1、1七月 221計(jì)算力學(xué) 插值函數(shù)的構(gòu)造2七月 222本章要點(diǎn)C0型單元插值函數(shù)構(gòu)造Hermite單元插值函數(shù)構(gòu)造*階譜單元插值函數(shù)構(gòu)造3七月 223目錄1 幾點(diǎn)說明 2 Lagrange單元簇 3 Serendipity單元簇 4 三角形單元簇 5 三維單元的插值函數(shù) 6 Hermite單元簇 7 階譜單元4七月 224.1 幾點(diǎn)說明主要討論C0型單元包括三角形單元系，矩形單元系（Lagrange和Serendipity單元族），不考慮C1型單元（梁除外）；對等參元（等參數(shù)單元）而言，插值函數(shù)等同于形函數(shù)位移函數(shù)的完全多項(xiàng)式構(gòu)造參照：Pascal三角形1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4

2、x3yx2y2xy3y4完全二次完全三次完全一次Pascal三角形5七月 225.1 幾點(diǎn)說明對協(xié)調(diào)元而言，構(gòu)造插值函數(shù)的原則性要求：1. Ni(xj,yj,zj)=ij2.保證連續(xù)性，即協(xié)調(diào)性3.完備性，對C0單元，要求包含任意線性項(xiàng)4.Ni=1 保證剛體平動(dòng)，但不保證能描述常應(yīng)變狀態(tài)6C0型單元簇插值函數(shù)構(gòu)造72 Lagrange單元簇82 .1 一維Lagrange多項(xiàng)式012nn次多項(xiàng)式在n+1個(gè)點(diǎn)上都等于1Kronecker dalta9 單元的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中只包含場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值的0型單元稱為Lagrange單元 對于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元，如果他的包含場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值，則單元的場函數(shù)可插

3、值表示為:2.1 Lagrange單元012n10七月 22102.2 二維Lagrange多項(xiàng)式對所有的點(diǎn)沿著兩個(gè)編號(hào)，設(shè)第i個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的編號(hào)為(I,J)，其對應(yīng)的插值函數(shù)為：(0,0)(n,0)(0,m)(I,J)(n,m)1111七月 22112.2 二維Lagrange多項(xiàng)式線性二次三次幾種常用的Lagrange單元：若m=n，其對應(yīng)的Pascal三角形為菱形：1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4x3y3x2y3x3y2x4yx5y5xy4三次完全多項(xiàng)式很多寄生項(xiàng)12七月 22122.3 三維Lagrange多項(xiàng)式(0,0,0)(m,n,p)(0,n,p)(

4、n,0,0)132.4 Lagrange單元的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：滿足協(xié)調(diào)性，形式統(tǒng)一，使用簡單缺點(diǎn)：二維、三維情形有大量內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，增加自由度高階多項(xiàng)式擬合性差14令由形函數(shù)性質(zhì)4123(-1,-1)1111(1,-1)(1,1)(-1 ,1)正則(基準(zhǔn))坐標(biāo)系劃線法(試湊法):采用經(jīng)過除了本節(jié)點(diǎn)外的其他節(jié)點(diǎn)的直線方程的左部的函數(shù)積來構(gòu)造插值函數(shù)N，這個(gè)方法的本質(zhì)還是Lagerange插值法。矩形單元的形函數(shù)矩陣構(gòu)造2.5 劃線法1234(x1 , y1)aabb(x2 , y2)(x3 , y3)(x4 , y4)15同理,有4123(-1,-1)1111(1,-1)(1,1)(-1 ,1)正則(自然

5、)坐標(biāo)系2.5 劃線法對于點(diǎn)可設(shè):16 三角單元中特殊部位的面積坐標(biāo)值L1=0L2=0L3=0PL2=bL3=cL1=a1）三角形頂點(diǎn)1相似的L1=1，其余的L2=L3=0；2）三角形所對底邊上的L1=0; (1,2,3)3)平行于1所對底邊的n-n直線,其L1=kn/k=常量.4)三角形中某點(diǎn)P的面積坐標(biāo)可由通過P點(diǎn)平行于三角形底邊直線的面積坐標(biāo)來決定.L1=1(a,b,c)213yx2 六節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)構(gòu)造L3-1/2=0L1-1/2=0L2-1/2=0(1/2,0,1/2)(1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)213yx465L1-

6、1/2=0L2-1/2=0(1/2,0,1/2)(1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)(1,0,0)(0,0,1)213yx4652.5 劃線法17對于點(diǎn)可設(shè):L3-1/2=0L1-1/2=0L2-1/2=0(1/2,0,1/2)(1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)213yx465對于4點(diǎn)可設(shè):2.5 劃線法183 Serendipity單元簇193.1 一些Serendipity單元的插值函數(shù)線性1 (-1,-1)4 (-1,1)3 (1,1)2 (1,-1)20二次123456783.1 一些Serendipity單元的插值函數(shù)21三

7、次1234567891011123.1 一些Serendipity單元的插值函數(shù)22使之有完全四次多項(xiàng)式四次12345678910111213141516插值函數(shù)的構(gòu)造：湊 or 有規(guī)律3.1 一些Serendipity單元的插值函數(shù)233.2 Serendipity單元插值函數(shù)的構(gòu)造變節(jié)點(diǎn)數(shù)法12345678 (1) 構(gòu)造角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：雙線性乘積，暫時(shí)保證在本節(jié)點(diǎn)處為1,在其余角節(jié)點(diǎn)處為024(2) 構(gòu)造邊中節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：某個(gè)方向的一次項(xiàng)與另一個(gè)方向的Lagrange多項(xiàng)式的乘積。保證在本節(jié)點(diǎn)處為1,在其余所有節(jié)點(diǎn)處為0，但在單元內(nèi)部不為0。若沒有中心點(diǎn)(單元內(nèi)），由此構(gòu)造的插值函數(shù)為

8、最終的結(jié)果。如有單元中心點(diǎn)，則需對邊中節(jié)點(diǎn)修正.?3.2 Serendipity單元插值函數(shù)的構(gòu)造變節(jié)點(diǎn)數(shù)法25(3) 使角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)在邊中點(diǎn)處等于0123456781234567812345678123456781.01.0123456781.00.50.51.01.03.2 Serendipity單元插值函數(shù)的構(gòu)造變節(jié)點(diǎn)數(shù)法26七月 2226位移函數(shù)的特點(diǎn)(邊上節(jié)點(diǎn)為p+1個(gè))：一個(gè)方向一次乘以另一個(gè)方向的p次Lagrange多項(xiàng)式在Pascal三角形中的分布12222p4p4最多只能形成三次完全多項(xiàng)式增加完全多項(xiàng)式階次的方法：增加內(nèi)部節(jié)點(diǎn)3.2 Serendipity單元插值函數(shù)的構(gòu)

9、造變節(jié)點(diǎn)數(shù)法27若單元包含內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，插值函數(shù)的構(gòu)造方法： 1) 構(gòu)造角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)（不考慮其它節(jié)點(diǎn)）2) 構(gòu)造邊節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)（不考慮內(nèi)部節(jié)點(diǎn)）3) 構(gòu)造內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)6) 修正角節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)，使之在邊節(jié)點(diǎn)等于0這種方法適用于缺少內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和任意邊節(jié)點(diǎn)的單元，缺少某個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需將相應(yīng)的插值函數(shù)置0.4) 修正邊節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)，使之在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)等于05) 修正角節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)，使之在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)等于03.2 Serendipity單元插值函數(shù)的構(gòu)造變節(jié)點(diǎn)數(shù)法283.3 例：帶內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的三次平面單元的插值函數(shù)12345678910111213(1) 構(gòu)造角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)29(2) 構(gòu)造邊節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)

10、例：帶內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的三次平面單元的插值函數(shù)1234567891011121330(3) 構(gòu)造內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)最終的插值函數(shù)求解方法： 1）Lagrange插值公式 ） 劃線/面法例：帶內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的三次平面單元的插值函數(shù)1234567891011121331(4) 修正邊節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)?例：帶內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的三次平面單元的插值函數(shù)32(5) 修正角節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)比較劃線法與變節(jié)點(diǎn)數(shù)法結(jié)果?例：帶內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的三次平面單元的插值函數(shù)33附：49節(jié)點(diǎn)平面單元的插值函數(shù)表123456789插值函數(shù)存在節(jié)點(diǎn)i才包含下列各項(xiàng)i=5i=6i=7i=8i=9N1=(1-)(1-)/4-N5/2-N8/2-N9/4N2

11、=(1+)(1-)/4-N5/2-N6/2-N9/4N3 =(1+)(1+)/4-N6/2-N7/2-N9/4N4 =(1-)(1+)/4-N7/2-N8/2-N9/4N5 =(1-2)(1-)/2-N9/2N6 =(1-2)(1+)/2-N9/2N7 =(1-2)(1+)/2-N9/2N8 =(1-2)(1-)/2-N9/2N9 =(1-2)(1-2)344 三角形單元簇35七月 22354. 1. 一般公式123線性123456二次12345678910三次顯然 N1=L1 N2=L2 N3=L3361 (M,0,0)2 (0,M,0)3 (0,0,M)i (I,J,K)4. 1 一般公式

12、374. 1 一般公式384. 2 例：三次三角形單元的插值函數(shù)12345678910三次39例：三次三角形單元的插值函數(shù)12345678910三次401xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4對應(yīng)的Pascal三角形這種形式的三角形單元的插值多項(xiàng)式總是完備的，并且插值多項(xiàng)式之和共有10個(gè)系數(shù)，而它卻在10個(gè)節(jié)點(diǎn)處等于1，故可推出它恒等于1例：三次三角形單元的插值函數(shù)415 三維單元的插值函數(shù)425 .1 六面體的Serendipity簇5123467891011121314151617181920218-21節(jié)點(diǎn)的六面體單元（線性二次）43(1) 不考慮邊中節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部

13、節(jié)點(diǎn)的角節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)(2) 不考慮內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的邊中節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)5 .1 六面體的Serendipity簇51234678910111213141516171819202144(3) 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)(4) 修正邊中節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)5 .1 六面體的Serendipity簇51234678910111213141516171819202145(5) 修正角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)若某個(gè)節(jié)點(diǎn)不存在，則去掉相應(yīng)的項(xiàng)5 .1 六面體的Serendipity簇465 .2 六面體的Lagrange簇3節(jié)曾經(jīng)介紹475 .3 四面體單元對M次單元，一節(jié)點(diǎn)有四個(gè)與之對應(yīng)的編號(hào)(I, J, K, P)1 (3,0,0,0)2 (0,3,0,0)3 (0,3,0,0)4 (0,0,0,4)(0,2,1,0)(0,1,1,1)(1,0,0,2)其原理與平面的三角形單元完全類似，最后得到的仍是完全m次多項(xiàng)式485 .4 三棱柱單元方法：平面內(nèi)用面