全國高中數(shù)學(xué)競賽專題_三角函數(shù)

1、. .PAGE14 / NUMPAGES14三角恒等式與三角不等式一、基礎(chǔ)知識定義1 角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。定義2 角度制：把一周角360等分，每一等分為一度?；《戎疲喊训扔诎霃介L的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對值|=,其中r是圓的半徑。定義3 三角函數(shù)：在直角坐標平面，把角的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設(shè)它的坐標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數(shù)sin=

2、,余弦函數(shù)cos=,正切函數(shù)tan=，余切函數(shù)cot=，正割函數(shù)sec=,余割函數(shù)csc=定理1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=；商數(shù)關(guān)系：tan=；乘積關(guān)系：tancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos,

3、tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇變偶不變，符號看象限）。定理3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期：2. 奇偶性：奇函數(shù) 有界性：當且僅當x=2kx+時，y取最大值1，當且僅當x=3k-時, y取最小值-1，值域為-1，1。對稱性：直線x=k+均為其對稱軸，點（k, 0）均為其對稱中心。這里kZ.定理4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最

4、小正周期：2。 奇偶性：偶函數(shù)。有界性：當且僅當x=2k時，y取最大值1；當且僅當x=2k-時，y取最小值-1。值域為-1，1。對稱性：直線x=k均為其對稱軸，點均為其對稱中心。這里kZ.定理5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xk+)在開區(qū)間(k-, k+)上為增函數(shù), 最小正周期為，值域為（-，+），點（k，0），（k+，0）均為其對稱中心。定理6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()= 兩角和與差的變式：三角和的正切公式：定理7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos, sin-sin

5、=2sincos,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-), cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-), sinsin=-cos(+)-cos(-).定理8 二倍角公式：sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=三倍角公式與變式：，定理9 半角公式: sin=, cos=,tan=定理10 萬能公式: , ,定理11 輔助角公式：如果a, b是實數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(a, b)的一個角為，則sin

6、=,cos=，對任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分別是角A，B，C的對邊，R為ABC外接圓半徑。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊。定理14 射影定理：在任意ABC中有，定理15 歐拉定理：在任意ABC中，其中O,I分別為ABC的外心和心。定理16 面積公式：在任意ABC中，外接圓半徑為R,切圓半徑為r，半周長則定理17 與ABC三個角有關(guān)的公式： （1） （2）（3）（4）（5）（6）定理18 圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+

7、k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4 函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x-1, 1)，函數(shù)y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù)y=

8、tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x-, +). 函數(shù)y=cotx(x0, )的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x-, +).定理19 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理20 若干有用的不等式：（1）若，則sinxxtanx.（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；函數(shù)在上為增函數(shù)。（3）嵌入不

9、等式：設(shè)A+B+C=，則對任意的x,y,zR，有等號成立當且僅當yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法與例題1結(jié)合圖象解題。例1 求方程sinx=lg|x|的解的個數(shù)。解在同一坐標系畫出函數(shù)y=sinx與y=lg|x|的圖象，由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。2三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例2 設(shè)x(0, ), 試比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小。解 若，則-1cosx0，所以cos，所以sin(cosx) 0,又00，所以cos(sinx)sin(cosx).若，則因為sinx+cosx=sin(x+)，所以0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cos

10、x).綜上，當x(0,)時，總有cos(sinx)0).例6 已知f(x)=sin(x+)(0, 0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。解 由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(x+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意xR成立。又0，解得=，因為f(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=2時，此時f(x)=sin(x+)在0，上不是

11、單調(diào)函數(shù)，綜上，=或2。7三角公式的應(yīng)用。例7 已知sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值。解 因為-，所以cos(-)=-又因為+，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例8 已知ABC的三個角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值。解 因為A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又0，所以。例9 求證：tan20+4cos70=解 tan20+4cos70=+4si

12、n20例10 證明：分析：等號左邊涉與角7x、5x、3x、x右邊僅涉與角x，可將左邊各項逐步轉(zhuǎn)化為、的表達式，但相對較繁. 觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.證明：因為從而有評述：本題看似“化簡為繁”，實質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡捷. 另本題也可利用復(fù)數(shù)求解. 令，展開即可.2013北約 已知證明： 證明：對任一自然數(shù)n與任意實數(shù)為任一整數(shù)），有思路分析：本題左邊為n項的和，右邊為2項之差，故嘗試將左邊各項“裂”成兩項之差，并希冀能消去其中許多中間項.證明：同理評述：本題裂項技巧也可通過數(shù)學(xué)歸納法獲得.“裂項相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：.例13 設(shè)的角所對的邊成等比數(shù)

13、列，則 的取值圍是（ ）A. B. C. D. 解 設(shè)的公比為，則，而因此，只需求的取值圍因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且即有不等式組即解得從而，因此所求的取值圍是故選C例14 ABC接于單位圓，三個角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于A1、B1、C1，則的值為（ ）A2B4C6D8解：如圖，連BA1，則AA1=2sin(B+同理原式=選A.例15 若對所有實數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、解：記 ，則由條件，恒為，取，得，則為奇數(shù)，設(shè)，上式成為，因此為偶數(shù)，令，則，故選擇支中只有滿足題意故選D例16 已知是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與軸交點的縱坐標的最大值是A

14、 B. 2 C. D. 4解：由已知條件可知，函數(shù)圖象與軸交點的縱坐標為。令，則。因此 選 A。例17 已知，直線與的交點在直線上，則。解：由已知可知，可設(shè)兩直線的交點為，且為方程，的兩個根，即為方程的兩個根。因此，即0。1、。2、已知函數(shù)，則f(x)的最小值為_。3、已知，且。則的值是_.4、設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1對任意實數(shù)x恒成立，則=5、設(shè)0.8、已知9、若A，B，C為ABC三個角，試求sinA+sinB+sinC的最大值。10、證明：11、已知，為銳角，且x（+-）0，求證：12、求證：sin1sin2sin3sin

15、89=全國高中數(shù)學(xué)競賽專題-三角恒等式與三角不等式 實戰(zhàn)演練答案1、解：根據(jù)題意要求，。于是有。因此。因此答案為 1。2、解：實際上，設(shè)，則g(x)0，g(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且y=g(x)的圖像關(guān)于直線對稱，則對任意，存在，使g(x2)=g(x1)。于是，而f(x)在上是減函數(shù)，所以，即f(x)在上的最小值是。3、解：4、解：令c=，則對任意的xR，都有f(x)+f(xc)=2，于是取，c=，則對任意的xR，af(x)+bf(xc)=1，由此得。一般地，由題設(shè)可得，其中且，于是af(x)+bf(xc)=1可化為，即，所以。由已知條件，上式對任意xR恒成立，故必有，若b=0，則由(

16、1)知a=0，顯然不滿足(3)式，故b0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ)。當c=2k時，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2k+(kZ)，cosc=1。由(1)、(3)知，所以。5、解因為00, cos0.所以sin（1+cos）=2sincos2=當且僅當2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan時，sin(1+cos)取得最大值。6、思路分析：等式左邊同時出現(xiàn)、，聯(lián)想到公式.證明：評述：本題方法具有一定的普遍性. 仿此可證等.7、證明 由題設(shè)知an0，令an=tanan, an，則an=因為，an，所以an=，所以an=又因為a0=ta

17、na1=1，所以a0=，所以。又因為當0 xx，所以注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值圍的一致性。另外當x時，有tanxxsinx，這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。8、分析：條件涉與到角、，而結(jié)論涉與到角，.故可利用消除條件與結(jié)論間角的差異，當然亦可從式中的“A”入手.證法1： 證法2：9、解 因為sinA+sinB=2sincos, sinC+sin, 又因為，由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以sinA+sinB+sinC3sin=,當A=B=C=時，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。10、證明：所以，評述：類似地，