電子線路：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、數(shù) 字 電 路邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.2 邏輯代數(shù)的基本運算1.4 邏輯代數(shù)的基本定理 1.5 邏輯函數(shù)及其表示方法1.6 邏輯函數(shù)的公式化簡1.1 概述1.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.7 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法模擬信號：在時間上和數(shù)值上連續(xù)的信號。數(shù)字信號：在時間上和數(shù)值上不連續(xù)的（即離散的）信號。uu模擬信號波形數(shù)字信號波形tt對模擬信號進行傳輸、處理的電子線路稱為模擬電路。對數(shù)字信號進行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。一、數(shù)字信號與數(shù)字電路 1.1 概述0.3VVLVH3.6V0.4V2.4V 5Vt高低電平的概念數(shù)字電路的特點：速度快精度高抗干擾能力強易于集成應(yīng)用領(lǐng)域：數(shù)字通訊自動控

2、制測量儀表電子計算機基本工作信號是二進制的數(shù)字信號數(shù)字電路，又稱為邏輯電路分析和設(shè)計的主要工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）產(chǎn)生和處理數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路。 二、數(shù)制與碼 （一）數(shù)制 多位數(shù)中每一位的構(gòu)成（指用哪些碼）方法以及從低位到高位的進位規(guī)則稱為數(shù)制。1.十進制 十進制使用十個數(shù)碼：09注意：小數(shù)點的前一位為第0位，即i =0如：103.45=1102+0101+3100+410-1+510-2 日常生活最常用的是十進制、七進制（星期）等數(shù)字電路中使用的是二進制和十六進制 任意一個十進制數(shù)D可按“權(quán)”展開為：其中ki是第i位的數(shù)碼(09中的任意一個),10i 稱為第i 位的權(quán)D=kiX10

3、i計數(shù)的基數(shù)是10，進位規(guī)則是“逢十進一”。或：103.45=1100+010+31+40.1+50.012、二進制 計數(shù)的基數(shù)是2，進位規(guī)則是“逢二進一”其中ki是第i位的數(shù)碼（0或1）2i 稱為第i 位的權(quán) 如：(1010.11)2=123+022+121+020 +12-1+12-2=（10.75)10下標2和10分別代表二進制數(shù)和十進制數(shù)，有時也用B（Binary）和D（Decimal）代替下標2和10 如：1010.11B=10.75D任意一個二進制數(shù)D可按“權(quán)”展開為：D=kiX2i二進制僅使用0和1兩個數(shù)碼或 (1010.11)2=18+04+12+01 +10.5+10.25=

4、（10.75)103.十六進制 任意一個十六進制數(shù)D可按“權(quán)”展開為：D=kiX16i 如：(2F.8)16=2161+15160+816-1=(47.5)10下標16代表十六進制數(shù)，有時也用H（Hexadecimal）代替下標16。 如：2F.8H=47.5D 二進制、十六進制數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字電路計數(shù)的基數(shù)是16，進位規(guī)則是“逢十六進一” 十六進制使用09、A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15）共16個數(shù)碼（二）、數(shù)制轉(zhuǎn)換請熟記2的010次方所對應(yīng)的十進制數(shù)：將二進制數(shù)按“權(quán)”展開，然后把所有各項按十進制數(shù)相加將十進制數(shù)展成ki2i的形式例：(123)10=6

5、4+32+16+8+0+2+1 1.二進制十進制轉(zhuǎn)換2.十進制二進制轉(zhuǎn)換1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024 如：(1011)2=123+022+121+120=(11)10注意：不要漏掉0得到二進制數(shù):knkn-1k1k0（有小數(shù)時還會有k-1）=(1111011)2=164+132+116+18+04+12+11整數(shù)部分采用除2取余法，先得到的余數(shù)為低位，后得到的余數(shù)為高位。小數(shù)部分采用乘2取整法，先得到的整數(shù)為高位，后得到的整數(shù)為低位。所以：(44.375)10(101100.011)2或者：采用的方法 除2取余、乘2取整原理：將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進行轉(zhuǎn)

6、換。 整數(shù)部分采用除2取余法，小數(shù)部分采用乘2取整法。轉(zhuǎn)換后再合并。3.二進制十六進制轉(zhuǎn)換十六進制實際上也應(yīng)屬于二進制的范疇例：（10111011001.111）2將4位二進制數(shù)（恰好有16個狀態(tài)）看作一個整體時，它的進位關(guān)系正好是“逢十六進一”所以只要以小數(shù)點為界，每4位二進制數(shù)為一組（高位不足4位時，前面補0，低位不足4位時，后面補0），并代之以等值的十六進制數(shù)，即可完成轉(zhuǎn)換 =（5D9.E）16=（0101，1101，1001.1110）24.十六進制二進制轉(zhuǎn)換5.十六進制十進制轉(zhuǎn)換將每1位十六進制數(shù)代之以等值的4位二進制數(shù)只要將十六進制數(shù)按公式：展開，然后把所有各項按十進制數(shù)相加，即轉(zhuǎn)

7、換成十進制數(shù)。也可先將十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，再轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)?；颍?3F)16=(111111)2=(1000000-1)2=126-1=(64-1)10=(63)10例：(3F)16或：(3F)16=(111111)2=125+124+123+122+121+120=(63)10例：(8AF.D5)16=(100010101111.11010101) 2=3161+15160=(63)10當數(shù)碼表示不同的對象（或信息）時被稱為代碼 如：郵政編碼、汽車牌照、房間號等，它們都沒有大小的含意(三)碼制為了便于記憶和處理（如查詢），在編制代碼時總要遵循一定的規(guī)則，這些規(guī)則就叫做碼制。1. BCD

8、碼：用4位二進制數(shù)碼表示十進制數(shù)，有多種不同的碼制。這些代碼稱為二十進制代碼，簡稱BCD碼。8421碼、2421碼、5211碼是有權(quán)碼。如8421碼中從左到右的權(quán)依次為：8、4、2、1。8421碼是最常用的BCD碼。余3碼是無權(quán)碼，編碼規(guī)則是：將余3碼看作四位二進制數(shù)，其數(shù)值要比它表示的十進制數(shù)多3余3循環(huán)碼主要特點是：相鄰的兩個代碼之間只有一位取值不同8421碼余3碼2421碼5211碼余3循環(huán)碼0123456789權(quán)無權(quán)碼無權(quán)碼種類編碼十進制數(shù)幾種常見的BCD碼 8421碼是BCD代碼中最常用的一種。若把每一個代碼都看成是一個四位二進制數(shù)，各位的權(quán)依次為8，4，2，1。另外，每個代碼的數(shù)值

9、恰好等于它所表示的十進制數(shù)的大小。 2421碼也是一種有權(quán)碼，它的另兩個特點是：編碼方案不唯一（如十進制數(shù)“5”可以編碼為“1011”或“0101”）；09、18、27等數(shù)字編碼互為按位取反結(jié)果，這有助于十進制的運算簡化； 余3碼被看成4位二進制數(shù)時，則它的數(shù)值要比它所表示的十進制數(shù)碼多3。如果將兩個余3碼相加，所得的和將比十進制數(shù)和所對應(yīng)的二進制數(shù)多6。因此，在用余3碼作十進制加法運算時，若兩數(shù)之和為10，正好等于二進制數(shù)的16，于是從高位自動產(chǎn)生進位信號。 余3循環(huán)碼是一種無權(quán)碼，其特點是：每兩個相鄰編碼之間只有一位碼元不同。這一特點使數(shù)據(jù)在形成和傳輸時不易出現(xiàn)錯誤。三、算術(shù)運算與邏輯運算

10、邏輯代數(shù)是英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾（Geroge.Boole）于1848年首先進行系統(tǒng)論述的，也稱布爾代數(shù)。 所研究的是兩值變量的運算規(guī)律，即0，1表示兩種不同的邏輯狀態(tài)。 算術(shù)運算：兩個表示數(shù)量大小的二進制數(shù)碼之間進行的數(shù)值運算。 邏輯運算：兩個表示不同邏輯狀態(tài)的二進制數(shù)碼之間按照某種因果關(guān)系進行的運算。在數(shù)字電路中二進制數(shù)碼的0和1，不僅可以表示大小，還可以表示不同的邏輯狀態(tài)（將在下一節(jié)專門介紹 ）例：當0和1表示大小時，它們之間可以進行算術(shù)運算運算規(guī)則 ：“逢二進一”1 1 0 1 + 1 11101+11=010101011100001110-11=1011例：1 1 1 0- 1 11

11、0 1 1在邏輯代數(shù)（又稱布爾代數(shù)）中的變量稱為邏輯變量一、三種基本運算（一）基本運算的概念變量的取值只有和兩種可能 只有當兩個開關(guān)同時閉合，指示燈才會亮我們約定：把開關(guān)閉合作為條件滿足，把指示燈亮作為結(jié)果發(fā)生只有條件同時滿足時，結(jié)果才發(fā)生,+-AYB邏輯與（邏輯乘、積）這種因果關(guān)系叫做邏輯與，或者叫邏輯乘。滅亮1.2 邏輯代數(shù)的基本運算只要條件之一滿足時，結(jié)果就發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯或開關(guān)閉合時，指示燈不亮，而開關(guān)斷開時，指示燈亮邏輯非只要有任意一個開關(guān)閉合，指示燈就亮；只要條件滿足，結(jié)果就不發(fā)生；而條件不滿足，結(jié)果一定發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯非，或者叫邏輯反 邏輯或（邏輯加、和）滅亮

12、+-AYB邏輯非（邏輯反、反相）+-AYR亮滅若條件滿足用1表示，不滿足用0表示；事件發(fā)生用1表示，不發(fā)生用表示0。則可以列出邏輯關(guān)系的圖表邏輯真值表 與（AND）或（OR） 非（NOT）ABYABYAY0 0 00 1 01 0 01 1 10 0 00 1 11 0 11 1 10 1 1 0 1.邏輯真值表（二）邏輯運算的描述2.邏輯表達式3.邏輯符號Y=AB 或?qū)懗桑篩=AB與：或：非:Y=A+B實現(xiàn)與、或、非邏輯運算的單元電路分別叫做與門、或門、非門 &YAB1ABY1AY與門或門非門與門或門非門二、復(fù)合邏輯運算實際的邏輯問題往往比與、或、非復(fù)雜的多，不過它們都可以用與、或、非的組合

13、來實現(xiàn)。最常見的復(fù)合邏輯運算有與非、或非、與或非、異或、同或等。ABY0 0 1與非或非異或同或0 1 11 0 11 1 0只有輸入都是1時,輸出才是0ABY0 0 10 1 01 0 01 1 0ABY0 0 00 1 11 0 11 1 0ABY0 0 10 1 01 0 01 1 1只要輸入有一個為0,輸出就是1只有輸入都是0時,輸出才是1輸入不同時,輸出為1輸入不同時,輸出為0只要輸入有一個為1時,輸出就是0輸入相同時,輸出為0輸入相同時,輸出為1A B與或非&=11=1與或非真值表 只有A、B或C、D同時為1時,輸出才是0與或非表達式： 與或非門 邏輯符號 與非門 或非門 異或門

14、同或門 &11.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、常量之間的關(guān)系二、基本公式0-1律：描述了變量與常量之間的運算規(guī)則 互補律:描述了變量與其反變量之間的運算規(guī)律重疊律:描述了同一變量的運算規(guī)律非非律：表明一個變量經(jīng)過兩次求反之后還原為其本身分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。以上定律可以用真值表證明，也可以用公式證明。例如， 證明加對乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。 證： (A+B)(A+C)= (A+B)A+ (A+B)C =AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC=A+BC 因此有 A+BC=(A+B)(A+C) 證明 AB0

15、 00 11 01 11110111010001000證明：公式可推廣為：若兩個乘積項分別含有同一因子的原變量和反變量（如上式中的A和 ），而這兩項的其它因子又都是第三個乘積項的因子，則第三個乘積項是多余的。 例： A+ =1吸收一、代入定理1.4 邏輯代數(shù)的基本定理任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立例： A B= A+B利用反演律BC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：二、反演定理例：又例：如Y是一個與或式（先與運算再或運算），而看作一個整體（或說成一個變量） 將Y中的則變成了或與式對于任意一個邏輯函數(shù)式F，做如下處理： 若把式中

16、的運算符“.”換成“+”, “+” 換成“.”; 常量“0”換成“1”，“1”換成“0”； 原變量換成反變量，反變量換成原變量那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的反函數(shù)式。注： 保持原函數(shù)的運算次序，必要時適當?shù)丶尤肜ㄌ?不屬于單個變量上的非號有兩種處理方法 非號保留，而非號下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換 將非號去掉，而非號下的函數(shù)式保留不變例：F(A、B、C)其反函數(shù)為或三、對偶定理 將一個等式兩邊的“ ”換成“+”，“+”換成“ ”，0換成1，1換成0，保持變量不變，得到一個新的等式.，這兩個等式互為對偶式，這就是對偶定理。 例：我們觀察基本公式會發(fā)現(xiàn)公式1和公式2它們都互為對偶式。 互為對偶式

17、互為對偶式1.5 邏輯函數(shù)及其表示方法 一、邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)：如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、的邏輯函數(shù)。記為注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。二、邏輯函數(shù)的表示方法(邏輯式、真值表、邏輯圖、卡諾圖）1.邏輯表達式邏輯表達式：將輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系用邏輯運算符號來描述。特點是：簡潔、抽象，便于化簡和轉(zhuǎn)換 。例:Y=(B+C)A2.邏輯真值表（簡稱真值表）特點是：直觀、煩瑣（尤其是輸入變量較多時），具有唯一性。是將實際的問

18、題抽象為邏輯問題的首選描述方法 。真值表：將輸入變量所有的取值和對應(yīng)的函數(shù)值，列成表格。ABY0 0 10 1 11 0 11 1 0邏輯圖：將輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系用邏輯圖形符號來描述。3.邏輯圖卡諾圖是專門用來化簡邏輯函數(shù)的，將在下一節(jié)專門介紹。 4.卡諾圖特點是：接近實際電路，是組裝、維修的必要資料 。例：對一個舉重裁判電路，規(guī)定必須有一名主裁判和任一名副裁判同時認定運動員動作合格，試舉才成功，即燈亮。主裁判掌握按鈕A，兩名副裁判分別掌握按鈕B和C，裁判認為動作合格才按鈕。解：以A=1,B=1,C=1表示三按紐按下狀態(tài)，A=0,B=0,C=0表示沒有按下，Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不

19、亮，得邏輯函數(shù)： Y=F(A,B,C)A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 Y=(B+C)A =A (B+C)(3)邏輯圖：(1) 邏輯真值表 (2) 邏輯表達式：Y=ABC+A!BC+AB!C =ABC+A!BC+ABC+AB!C =AB+AC =A (B+C)三、邏輯函數(shù)的最小項： 最小項：一個n變量的邏輯函數(shù)的“與或”式，若其中每個“與”項都包含了n個變量(每個變量或以其原變量形式、或以其反變量形式在“與”項中必須并且僅出現(xiàn)一次)，這種“與”項稱為最小項。 三變量邏輯函數(shù)的最小項有8個（23），四變

20、量邏輯函數(shù)的最小項有16個（24），. n變量邏輯函數(shù)的最小項有2n個 。 以三變量的邏輯函數(shù)為例，以下為三變量最小項的編號表(下一頁）任意的邏輯函數(shù)可以寫成最小項Y=f(A)最小項 任意的Y=f(A)都可以寫成任意的邏輯函數(shù)可以寫成最小項Y=f(A,B)最小項 任意的8、設(shè)計一個二樓樓梯開關(guān)控制電路。樓梯上有一盞燈，各層樓各有一個控制該燈的開關(guān)A、B，要求上樓時可在樓下開燈，上樓后在樓上順手關(guān)燈，下樓時可在樓上開燈，下樓后在樓下順手關(guān)燈。用與非門實現(xiàn)該邏輯電路。8、設(shè)計一個二樓樓梯開關(guān)控制電路。樓梯上有一盞燈，各層樓各有一個控制該燈的開關(guān)A、B，要求上樓時可在樓下開燈，上樓后在樓上順手關(guān)燈，

21、下樓時可在樓上開燈，下樓后在樓下順手關(guān)燈。用與非門實現(xiàn)該邏輯電路。方案：A為任意值是，輸出Y可以隨B變化；B為任意值時 ，輸出Y可以隨A變化。ABY001010111100將真值表代入公式，可得到系數(shù)的值。任意的邏輯函數(shù)可以寫成最小項之和Y=f(A,B,C)最小項 任意的若兩個最小項僅有一個因子不同，則稱這兩個最小項具有相鄰性。例： 和 ，這兩個最小項相加時能合并，并可消去1個因子。最小項性質(zhì)：在輸入變量的任何一取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1。任意兩個最小項的乘積為0。全體最小項之和為1。具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并為一項并消去一個因子。 邏輯函數(shù)的最小項之和形式：利用

22、基本公式 可把任一邏輯函數(shù)式展開為最小項之和的形式。這種形式在邏輯函數(shù)的圖形化簡法中以及計算機輔助分析和設(shè)計中得到廣泛應(yīng)用。例1：例2：1.6邏輯函數(shù)的公式化簡一、 邏輯運算符的完備性 對于一個代數(shù)系統(tǒng)， 若僅用它所定義的一組運算符號就能解決所有的運算問題， 則稱這一組符號是一個完備的集合， 簡稱完備集。 在邏輯代數(shù)中， 與、 或、 非是三種最基本的運算，n變量的所有邏輯函數(shù)都可以用n個變量及一組邏輯運算符“、 +、 -”來構(gòu)成， 因此稱“、 +、 -”運算符是一組完備集。 但是“與、 或、 非”并不是最好的完備集， 因為它實現(xiàn)一個函數(shù)要使用三種不同規(guī)格的邏輯門。 實際上從反演律可以看出， 有

23、了“與”和“非”可得出“或”， 有了“或”和“非”可得出“與”， 因此“與非”、 “或非”、 “與或非”運算中的任何一種都能單獨實現(xiàn)“與、 或、 非”運算， 這三種復(fù)合運算每種都是完備集， 而且實現(xiàn)函數(shù)只需要一種規(guī)格的邏輯門， 這就給設(shè)計工作帶來許多方便。 例如，任何一個邏輯函數(shù)式都可以通過邏輯變換寫成以下五種形式： 與或式 或與式 與非與非式 或非或非式 與或非式 意義 表達式越簡單邏輯圖就越簡單，對應(yīng)的實際電路也就越簡單、經(jīng) 濟、可靠 最簡與或式的定義：乘積項最少、乘積項中的因子也最少。二、化簡方法1.合并法利用公式： 例： AB是公共因子介紹最簡與或式的目的有兩個：一是容易判斷是否最簡，

24、二是化簡的工具（就是基本公式和定理）方便。 兩個乘積項分別含有同一因子的原變量和反變量，而其它因子都相同公共因子，可以合并成一項，留下公共因子2.吸收法利用公式： 例： 兩個乘積項相加，如果一項是另一項的因子，則另一項是多余的3.消項法利用公式 例： 4.消因子法例： 兩個乘積項分別含有同一因子A的原變量和反變量，而這兩項的其它因子又都是第三個乘積項的因子，則第三個乘積項是多余的兩個乘積項相加，如果一項的反是另一項的因子，則另一項中的這個因子是多余的摩根定理提取C消去因子證明：A+!AB=!A(A+!B)(反演律)=!AA+!A!B=!A!B=A+B吸收化簡較復(fù)雜的函數(shù)時，往往需要靈活地、交替

25、地綜合運用上述方法，才能得到最簡的結(jié)果。例： 解：注意用公式化簡斜體部分。用公式化簡函數(shù)，沒有固定的步驟，比較靈活，有一定的技巧。消去因子摩根定理吸收兩個乘積項分別含有同一因子B的原變量和反變量，而這兩項的其它因子又都是第三個乘積項的因子，則第三個乘積項是多余的1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡 一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 （一）最小項的相鄰性中，兩個最小項只有一個變量取值不同，我們就說這兩個最小項在邏輯上相鄰。例如： 、ABC就是兩個邏輯相鄰的最小項 中，用公式可以化簡上式： 合并這兩個最小項合并成了一項，消去了那個變量取值不同的變量（因子），剩下“公共”變量（因子）。 這不是一個“偶然”，而是一個規(guī)

26、律,但直接從表達式中觀察相鄰的最小項有一定的難度。（二）卡諾圖卡諾圖以方塊圖的形式，將邏輯上相鄰的最小項放在一起，這對化簡邏輯函數(shù)非常直觀、方便 三變量的卡諾圖 四變量的卡諾圖 000111100m0m1m3m21m4m5m7m60001111000m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9m11m10ABCDBCA除了幾何位置（上下左右）相鄰的最小項邏輯相鄰以外，一行或一列的兩端也有相鄰性 。圖形左側(cè)和上側(cè)的數(shù)字，表示對應(yīng)最小項變量的取值 AB=11CD=10要熟記這些數(shù)字和最小項的排列次序ABCD=1110對應(yīng)的最小項是 m14=（三）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)首先把邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項之和的形式，然后在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置上填1，其余填0（也可以不填），就得到了表示這個邏輯函數(shù)的卡諾圖。實際上就是將函數(shù)值填入相應(yīng)的方塊。 例：填寫三變量邏輯函數(shù)Y（A、B、C）=m(3,5,6,7)的卡諾圖0001111001BCA1解：Y有4個最小