1.5 全稱量詞與存在量詞 教學(xué)設(shè)計（1）

1、第一章集合與常用邏輯用語1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定本課是高中數(shù)學(xué)第一章第5節(jié)，學(xué)生對于命題的理解還是停留在初中所學(xué)知識的基礎(chǔ)上，理解起來可能不是很好理解。否定詞是學(xué)生容易忽略的，應(yīng)提醒學(xué)生。以學(xué)生探究為主學(xué)習(xí)全稱量詞命題的否定與存在量詞命題的否定，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的本節(jié)的重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)，在否定的過程中應(yīng)注意全稱量詞與存在量詞之間的相互轉(zhuǎn)化，重點(diǎn)是在意義上理解命題的否定。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞B.了解含有量詞的全稱量詞命題和存在

2、量詞命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性C.會寫全稱量詞命題和存在量詞命題的否定。D. 使學(xué)生體會從具體到一般的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括、轉(zhuǎn)化的能力1.數(shù)學(xué)抽象：全稱量詞與存在量詞的含義；2.邏輯推理：全稱量詞命題和存在量詞命題的真假；3.直觀想象：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定。1.教學(xué)重點(diǎn)：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，全稱量詞命題和存在量詞命題的否定；2.教學(xué)難點(diǎn)：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假。多媒體教學(xué)過程落實核心素養(yǎng)目標(biāo)情景引入，溫故知新情景1：德國著名的數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出這樣一個問題：“任意取一個奇數(shù)，可以把它寫成三個質(zhì)數(shù)之和，比如

3、77,77=53+17+7”,同年歐拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正確，并且認(rèn)為：每一個偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)之和，雖然通過大量檢驗這個命題是正確的，但是不需要證明這就是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想200多年后我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤才證明了“1+2”即：凡是比某一個正整數(shù)大的任何偶數(shù)，都能表示成一個質(zhì)數(shù)加上兩個質(zhì)數(shù)相乘，或者表示成一個質(zhì)數(shù)加上一個質(zhì)數(shù)從陳景潤的“1+2”到“1+1”似乎僅一步之遙，但它是一個迄今為止仍然沒有得到正面證明也沒有被推翻的命題要想正面證明就需要證明“任意一個”“每一個”“都”這種命題成立，要想推翻它只需“存在一個”反例情景2：我們學(xué)校為了迎接10月28號的秋季田徑運(yùn)動

4、會,正在排練由1000名學(xué)生參加的開幕式團(tuán)體操表演.這1000名學(xué)生符合下列條件：（1）所有學(xué)生都來自高二年級；（2）至少有30名學(xué)生來自高二.一班；（3）每一個學(xué)生都有固定表演路線. 結(jié)合圖片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一個”等短語，在邏輯上稱為量詞.二、探索新知探究一 全稱量詞命題的含義1.思考:下列語句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)x3(2)2x+1是整數(shù)(3)對所有的xR,x3(4)對任意一個xZ,2x+1是整數(shù)【答案】（1）不是 (2)不是 (3) 是 （4）是關(guān)系：(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用量詞“所有的”對變量 x進(jìn)行限定; (4)在(

5、2)的基礎(chǔ)上,用短語”對任意一個”對 變量x進(jìn)行限定.2、歸納新知（1）全稱量詞及表示:定義：短語“對所有的”、“對任意一個”、“對一切”、“對每一個”、“任給”、“所有的”在邏輯中通常叫全稱量詞。表示：用符號“”表示。（2）全稱量詞命題及表示:定義：含有全稱量詞的命題，叫全稱量詞命題。表示：全稱命題“對M中任意一個x，有含變量x的語句p(x）成立”表示為:。讀作:“對任意x屬于，有p(x)成立”。例如:命題(1)對任意的nZ,2n+1是奇數(shù);(2)所有的正方形都是矩形。都是存在量詞命題。3.練習(xí)：用量詞“ ”表達(dá)下列命題:(1)實數(shù)都能寫成小數(shù)形式;(2)凸多邊形的外角和等于2； （3）任一

6、個實數(shù)乘以-1都等于它的相反數(shù)?！窘馕觥浚?）x能寫成小數(shù)形式;x x|x是凸n邊形,x的外角和等于;(3)x(-1)= -x.例1.判斷下列全稱量詞命題的真假(1) 所有的素數(shù)都是奇數(shù);(2) , |x|+11(3) 對每一個無理數(shù)x,x2也是無理數(shù)【解析】（1）2是素數(shù),但不是奇數(shù),全稱命題(1)是假命題;(2),|x|0,從而|x|+11,全稱命題(2)是真命題;（3）是無理數(shù),但是有理數(shù)，,全稱命題(3)是假命題;4、思考：如何判斷全稱量詞命題的真假？【解析】若判定一個全稱量詞命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗證P(x)成立;若判定一個全稱量詞命題是假命題,只要能舉出集合M

7、中的一個x=x0 ,使得P(x)不成立即可。探究二 存在量詞命題的含義1.思考：下列語句是命題嗎?(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一個xR,使2x+1=3;(4)至少有一個xZ,x能被2和3整除.【解析】(1)不是 （2）不是 （3）是 （4）是關(guān)系：(3)在(1)的基礎(chǔ)上,用短語“存在一個”對變量x的取值進(jìn)行限定,使(3)變成了可以判斷真假的語句;(4)在(2)的基礎(chǔ)上,用“至少有一個”對變量x的取值進(jìn)行限定,從而使(4)變成了可以判斷真假的語句.2.存在量詞命題的定義（1）存在量詞及表示:定義：短語“存在一個”、“至少有一個

8、”、“有些”、“有一個”、“對某個”、“有的”在邏輯中通常叫做存在量詞。表示：用符號“”表示。（2）存在量詞命題及表示：定義：含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.表示：存在量詞命題“存在M中的一個x,使p(x)成立”可用符號簡記為xM,p(x).讀作:“存在一個x屬于M,使p(x)成立”.3.練習(xí)：下列命題是不是存在量詞命題？ （1）有的平行四邊形是菱形; （2）有一個素數(shù)不是奇數(shù) 【答案】都是存在量詞命題。4.練習(xí)： 設(shè)q(x):x2=x,使用不同的表達(dá)方法寫出存在量詞命題“xR,q(x)”【解析】存在實數(shù)x,使x2=x成立； 至少有一個xR,使x2=x成立；對有些實數(shù)x,使x2=x成立；

9、有一個xR,使x2=x成立；對某個xR,使x2=x成立。例2 下列語句是不是全稱量詞命題或存在量詞命題。(1) 有一個實數(shù)a，a不能取倒數(shù)；(2) 所有不等式的解集A,都是AR；(3) 有的四邊形不是平行四邊形?！窘馕觥浚?）存在量詞命題 （2）全稱量詞命題 （3）存在量詞命題例3 判斷下列存在量詞命題的真假 (1)有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0;(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線;(3)有些平行四邊形是菱形.【解析】(1)由于 ， ,因此使x2+2x+3=0的實數(shù)x不存在.所以,存在量詞命題(1)是假命題.(2)由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是互相平行的,因此不存在兩個相

10、交的直線垂直于同一條直線.所以,存在量詞命題(2)是假命題。（3）由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題。5.思考：如何判斷存在量詞命題的真假【答案】要判斷存在量詞命題“xM,p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個存在量詞命題是假命題.探究三 全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1.定義：一般地，對一個命題進(jìn)行否定，就可以得到一個新的命題，這一新命題稱為原命題的否定。牛刀小試：說出下列命題的否定。（1） 56是7的倍數(shù)；（2） 空集是集合A=1,2,3的真子集；【解

11、析】（1）否定： 56不是7的倍數(shù)；（2）否定： 空集不是集合A=1,2,3的真子集。2.思考：（2）每一個素數(shù)都是奇數(shù)；?！窘馕觥?2)存在一個素數(shù)表示奇數(shù)；。從形式看，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題。【結(jié)論】含有一個量詞的全稱量詞命題的否定,有下面的結(jié)論：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題。（2）p:每一個四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上【解析】（1）否定： 存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).（2）否定：存在一個四邊形，它的四個頂點(diǎn)不在同一個圓上；（3）否定：的個位數(shù)字等于3.3.思考：（2）某些平行四邊形是菱形；。【答案】否定:（1）所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù);（2）每一個平行四邊形都不是菱

12、形;（3） 從命題形式看,這三個存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.【結(jié)論】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題。（3）有一個偶數(shù)是素數(shù).【解析】（2） 該命題的否定：所有三角形都不是等邊三角形（3） 該命題的否定：任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)例6 寫出下列命題的否定，并判斷真假； （1）任意兩個等邊三角形都相似； 【解析】（1） 該命題的否定：存在兩個對邊三角形，它們不相似。因為任意兩個等邊三角形的三邊成比例，所以任意兩個等邊三角形都 相似。因此這是一個假命題。（2）該命題的否定：.所以這是一個假命題。通過實例，讓學(xué)生感知、了解全稱量詞、存在量詞。讓學(xué)生了解量詞對實際生活和數(shù)學(xué)的作用，提高學(xué)生用數(shù)

13、學(xué)的思維方式思考并解決問題的能力。通過思考，理解全稱量詞、全稱量詞命題的含義，教會學(xué)生解決和研究問題。通過練習(xí)進(jìn)一步鞏固全稱量詞的含義，提高學(xué)生解決問題的能力。通過例題進(jìn)一步鞏固全稱量詞命題的含義，學(xué)會判斷全稱量詞命題的真假，提高學(xué)生解決問題的能力。通過思考，總結(jié)方法，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力。通過思考，理解存在量詞、存在量詞命題的含義，教會學(xué)生解決和研究問題。通過練習(xí)進(jìn)一步鞏固存在量詞命題的含義，提高學(xué)生解決問題的能力。通過例題，使學(xué)生學(xué)會區(qū)別全稱量詞命題及存在量詞命題，提高學(xué)生的抽象概括能力。通過例題進(jìn)一步鞏固存在量詞命題的含義，學(xué)會判斷存在量詞命題的真假，提高學(xué)生解決問題的能力。

14、通過思考，總結(jié)判斷命題真假的方法，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力。介紹新定義，為進(jìn)一步講解全稱量詞命題和存在量詞命題的否定打基礎(chǔ)。通過思考，總結(jié)寫全稱量詞命題否定的方法，提高學(xué)生分析、解決問題的能力。去體驗知識方法。發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)。通過例題進(jìn)一步理解怎么寫全稱量詞命題的否定。通過思考，總結(jié)寫存在量詞命題的否定的方法，提高學(xué)生分析、解決問題的能力。去體驗知識方法。發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)。通過例題進(jìn)一步鞏固怎么寫全稱量詞命題的否定，提高學(xué)生解決問題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測1下列說法中，正確的個數(shù)是()存在一個實數(shù)x0，使2xeq oal(2,0)x040；

15、所有的素數(shù)都是奇數(shù)；至少存在一個正整數(shù)，能被5和7整除A0B1C2D3【解析】方程2x2x40無實根；2是素數(shù)，但不是奇數(shù)；正確故選B.【答案】B2設(shè)命題p：nN，n22n，則命題p的否定為()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n【解析】因為“xM，p(x)”的否定是“xM，p(x)”，所以命題“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”故選C.【答案】C3判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出這些命題的否定(1)有一個奇數(shù)不能被3整除；(2)xZ，x2與3的和不等于0；(3)有些三角形的三個內(nèi)角都為60；(4)每個三角形至少有兩個銳角；(5)與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線【解】(1)是存在量詞命題，否定為：每一個奇數(shù)都能被3整除(2)是全稱量詞命題，否定為：x0Z，xeq oal(2,0)與3的和等于0.(3)是存在量詞命題，否定為：任意一個三角形的三個內(nèi)角不都為60.(4)是全稱量詞命題，否定為：存在一個三角形至多有一個銳角(5)是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”，即“任意一條與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線”，否定為：存在一條與圓只有一個公共點(diǎn)的直線不是圓的切線通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，提高學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。四、