4 根軌跡法課件

1、第四章 根軌跡法 1948年，W.R.Evans根據(jù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與其閉環(huán)特征方程式之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了一種非常實用的求取閉環(huán)特征方程式根的圖解法根軌跡法。 當(dāng)系統(tǒng)特征方程式中的某一參數(shù)（例如開環(huán)增益 、時間常數(shù) ）連續(xù)由零變化到無窮大時，特征方程式的根連續(xù)變化而在 平面上形成的運動軌跡，即為閉環(huán)系統(tǒng)特征根的根軌跡。 根軌跡法簡單、實用，是經(jīng)典控制理論的基本分析方法之一。第一節(jié) 根軌跡圖 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征根為根軌跡圖 可見，當(dāng) 時， 為兩相異的實根；當(dāng) 時， 為兩相等實根；當(dāng) 時，為一對共軛復(fù)根，實部為 ，虛部為 ，意味著這些復(fù)根都集中在

2、根平面上離虛軸 的垂直線上。 實際中，最常用的可變參數(shù)是系統(tǒng)的開環(huán)增益 ，以 為可變參數(shù)而得到的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。 第二節(jié) 繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 開環(huán)傳遞函數(shù)的兩種表達式閉環(huán)特征方程的幾種表達形式 相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程也有以下幾種常用的表達形式，可根據(jù)實際需要選擇合適的表達式。 閉環(huán)傳遞函數(shù)有以下兩種表示形式： （1）閉環(huán)特征方程的幾種表達形式 需要指出的是，上述六種表達方式其實質(zhì)是一致的，都是根據(jù)特征方程 而得到的。 （2） （3） （4） （5） （6）繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 根據(jù)上式等號兩邊的幅值和相角應(yīng)分別相等的條件，可得 由于系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 上式就是繪制根軌跡的相角條件和幅值

3、條件，相角條件是繪制根軌跡的依據(jù)根平面上凡滿足相角條件的點的全體就是根軌跡。或繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 因此，利用相角條件就可畫出根軌跡，即繪制根軌跡無需考慮幅值條件。而幅值條件用于確定根軌跡上某一點所對應(yīng)的 值，即根軌跡上凡滿足幅值條件的點就是相應(yīng) 值所對應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)極點，反之亦然。 相角條件與幅值條件的不同在于相角條件與 值無關(guān)。因此，將滿足相角條件的 值代入幅值條件，定能求得與之對應(yīng)的 值，即凡滿足相角條件的點必定同時滿足幅值條件。反之，滿足幅值條件的點未必都能滿足相角條件。 繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 圖示系統(tǒng)由幅值條件可得令 ，上式化為即可見，系統(tǒng)的等增益軌跡是一簇同心圓。對某個 值，對應(yīng)圓周

4、上無窮多個 值都能滿足上式，但只有同時滿足相角條件的 值才是特征根。繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 如圖中 點，由于相角 ，滿足根軌跡的相角條件，表明該點是根軌跡上的一個點。至于該 值所對應(yīng)的 值，根據(jù)幅值條件得 。不難看出，圖中 實軸段上的 值均滿足相角條件，因此該部分線段是系統(tǒng)的根軌跡。 綜上所述，根軌跡就是 平面上滿足相角條件點的集合。由于相角條件是繪制根軌跡的基礎(chǔ)，因此繪制根軌跡的一般步驟是：先找出 平面上滿足相角條件的點，并把它們連成曲線；然后根據(jù)需要，用幅值條件確定相關(guān)點對應(yīng)的 值。繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 用相角條件畫出圖示系統(tǒng) 變化時的根軌跡，并用幅值條件確定使閉環(huán)系統(tǒng)的一對共軛復(fù)數(shù)極點的阻

5、尼比 時的 值。 上述系統(tǒng)的相角條件和幅值條件為繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 在 平面上畫出開環(huán)極點 系統(tǒng)特征方程有兩個開環(huán)極點 、 。 確定實軸上的根軌跡 首先確定正實軸上是否有根軌跡。 在正實軸上任取一點 ，則 ，不滿足相角條件。因此，正實軸上沒有根軌跡。 在負(fù)實軸 間任取一點 ，則滿足相角條件， ，是根軌跡的一部分。繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù) 確定 平面上除實軸以外的其它根軌跡 在 平面上任取一點 ，令 、 。若 位于根軌跡上，則滿足相角條件 ，顯然，只有位于坐標(biāo)原點0與 間線段的垂直平分線上的點，才能滿足相角條件，因此該垂直平分線也是根軌跡的一部分。 確定一對阻尼比 的共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)極點 由于閉環(huán)極點

6、位于 的直線上，所以第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 規(guī)則1 根軌跡的連續(xù)性 當(dāng) 由0連續(xù)變化到時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征根也一定是連續(xù)變化的，所以根軌跡也必然是連續(xù)的。 由于閉環(huán)特征方程為實系數(shù)代數(shù)方程，相應(yīng)的特征根或為實數(shù)，或為共軛復(fù)數(shù)，或兩者兼而有之。因此，根軌跡必然對稱于實軸。 規(guī)則2 根軌跡的對稱性 這樣，只需畫出 上半平面的根軌跡，下半平面的根軌跡可根據(jù)對稱性原理作出。繪制根軌跡的一般規(guī)則 規(guī)則3 根軌跡的分支數(shù)及其起點和終點 當(dāng) 變化時，根軌跡共有 條分支，它們分別從 個開環(huán)極點出發(fā)，其中 條根軌跡分支的終點為 個開環(huán)零點， 條根軌跡分支的終點在無窮遠(yuǎn)處。如果把無窮遠(yuǎn)處的終點稱為無限零點，則

7、根軌跡的終點有 個有限零點， 個無限零點。 證明 設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為繪制根軌跡的一般規(guī)則 當(dāng) 時，特征方程根的位置就是根軌跡的起點，此時 當(dāng) 變化時，特征方程中的任一根由起點連續(xù)地向其終點變化的軌跡，即為根軌跡的一條分支。由于 ，因而閉環(huán)特征方程式 的最高階次必等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù) ，系統(tǒng)根軌跡共有 條分支。表明根軌跡的起點 就是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。繪制根軌跡的一般規(guī)則 當(dāng) 時，特征方程根的極限位置就是根軌跡的終點，由 表明，開環(huán)傳遞函數(shù)的零點 是 條根軌跡分支的終點。得 式 的幅值條件為繪制根軌跡的一般規(guī)則當(dāng) 時，上式為可見，當(dāng) 時， 也能滿足上式，此時 條根軌跡分支的終點在無窮遠(yuǎn)處。

8、 繪制根軌跡的一般規(guī)則 規(guī)則4 根軌跡在實軸上的分布 在 平面實軸的線段上存在根軌跡的條件是，在這些線段右邊的開環(huán)零點和開環(huán)極點的數(shù)目之和為奇數(shù)。 對于實軸根軌跡上的任一點 ，其右邊每個開環(huán)零點或極點指向該點矢量的相角為 ；其左邊的每個開環(huán)零點或極點指向該點的矢量 繪制根軌跡的一般規(guī)則的相角都為 ；一對共軛開環(huán)零點或極點指向該點的矢量的相角相互抵消，其和為零。 由相角條件可知，只有在右邊開環(huán)零點、極點的總數(shù)為奇數(shù)的實軸線段上，才有根軌跡存在。除此之外，實軸上其它線段上的點均不能滿足相角條件。 例1 設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。繪制根軌跡的一般規(guī)則的應(yīng)用 解 由規(guī)則3可知

9、，系統(tǒng)的根軌跡在 時分別從三個開環(huán)極點 、 、 出發(fā)， 時根軌跡的二條分支趨向開環(huán)零點 、 ，另一條趨向無窮遠(yuǎn)處。 按照規(guī)則4可以判定，在實軸的0至-1線段和-2至-3線段上，以及從-4至 的線段上存在根軌跡。繪制根軌跡的一般規(guī)則 規(guī)則5 根軌跡的漸近線 伸向無窮遠(yuǎn)處根軌跡的漸近線與實軸的交點為（ ， ），相角為 ，其中 繪制根軌跡的一般規(guī)則 由于開環(huán)復(fù)數(shù)極點和零點總是成對出現(xiàn)的，因此 總是一個實數(shù)。為便于記憶，上式可簡化為 例2 設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。 解 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，它們的起點為開環(huán)極點（0，-1，-2）；繪制根軌跡的一般規(guī)則的應(yīng)用 因系統(tǒng)無開環(huán)零點

10、，所以3條根軌跡分支均沿漸近線趨向無窮遠(yuǎn)； 漸近線的相角為 實軸上的0至-1線段和-2至 線段是根軌跡。漸近線與實軸的交點為繪制根軌跡的一般規(guī)則 規(guī)則6 根軌跡的分離點與會合點 二條以上根軌跡分支的交點稱為根軌跡的分離點或會合點。如果根軌跡分支在實軸上相交后走向復(fù)平面，則該交點稱為根軌跡的分離點。 如果根軌跡分支由復(fù)平面走向?qū)嵼S，則它們在實軸上的交點稱為會合點。根據(jù)根軌跡的對稱性，分離點和會合點或位于實軸上，或產(chǎn)生于共軛復(fù)數(shù)對中。繪制根軌跡的一般規(guī)則 如果根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間，則在這兩個相鄰極點之間，至少存在一個分離點。 如果根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點（其中一個零點可

11、以位于無窮遠(yuǎn)處）之間，則在這兩個相鄰零點之間，至少存在一個會合點。 如果根軌跡位于實軸上一個開環(huán)極點與一個開環(huán)零點（有限零點或無限零點）之間，則在這兩個相鄰的極、零點之間，或既不存在分離點也不存在會合點，或既存在分離點又存在會合點。繪制根軌跡的一般規(guī)則 如果系統(tǒng)的特征方程式為則根軌跡的分離點和會合點可由下述方程的根確定 需要說明的是，此處用來確定分離點或會合點的條件只是必要條件，而非充分條件。按上式求得的根并非都是實際的分離點或會合點，只有位于根軌跡上的那些重根才是實際的分離點或會合點。 繪制根軌跡的一般規(guī)則 此外，在分離點或會合點處，根軌跡離開實軸的相角應(yīng)為 ， 為趨向或離開實軸的根軌跡分支

12、數(shù)。 證明 由于分離點或會合點是特征方程的重根，方程出現(xiàn)重根的條件是 值必須同時滿足即繪制根軌跡的一般規(guī)則的應(yīng)用 例3 求圖示系統(tǒng)根軌跡的分離點。 解 特征方程式為 根據(jù)根軌跡在實軸上的分布，可知 是根軌跡的實際分離點。繪制根軌跡的一般規(guī)則 規(guī)則7 根軌跡的出射角和入射角 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為根軌跡的出射角。根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為根軌跡的入射角。繪制根軌跡的一般規(guī)則 證明 設(shè) 為靠近開環(huán)復(fù)數(shù)極點 的根軌跡上點，所以開環(huán)零點和極點指向 點矢量的相角和它們指向 矢量的相角相等。由于 位于根軌跡上，滿足相角條件，即繪制根軌跡的一般規(guī)則

13、 規(guī)則8 根軌跡與虛軸的交點 當(dāng)根軌跡與虛軸相交時，表示特征方程式存在純虛根，此時系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)。 根軌跡與虛軸的交點，可通過下述方法求得： 采用勞斯穩(wěn)定判據(jù)； 采用試探法求解； 令特征方程中的 ，然后再使其實部和虛部分別等于零，求出 、 ，這時得到的 值，就是根軌跡與虛軸交點的頻率，而 值則為臨界穩(wěn)定增益。繪制根軌跡的一般規(guī)則 規(guī)則9 根軌跡的走向 以閉環(huán)極點 形式表示的閉環(huán)特征方程式為 以開環(huán)零、極點形式表示的閉環(huán)特征方程式為繪制根軌跡的一般規(guī)則當(dāng) 時， 與 無關(guān)，且有即閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和。開環(huán)傳遞函數(shù)極點確定后，其和為常數(shù)。當(dāng) 變化時，若部分閉環(huán)極點在 平面上向左移動，則

14、另一部分閉環(huán)極點必向右移動，以保證全部極點為常數(shù)。此規(guī)則可用于定性判斷 時的根軌跡走向。繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表第四節(jié) 例題 例4 繪制圖示系統(tǒng)的根軌跡。 解 根據(jù)例2、例3已知系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)、起始點、分離點，實軸上的根軌跡和漸近線與實軸的交點及相角，現(xiàn)求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點。 令特征方程中 ，得例題 解本題的MATLAB程序為 % 1/s(s+1)(s+2) n=1； d=conv(1,1,1,2)0； rlocus(n,d)令實部和虛部分別等于零，可得 因此，根軌跡在 點與虛軸相交，交點對應(yīng)的 值等于6。例題 例5 設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡

15、。 解 根軌跡的起點、終點及分支數(shù) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，它們的起點為開環(huán)極點（0，-2，-3），終點為開環(huán)零點-1和無窮遠(yuǎn)零點。 實軸上的根軌跡 實軸上的0至-1和-2至-3間的線段是根軌跡的一部分。 例題 根軌跡的漸近線 根軌跡的分離點 根據(jù)公式 ，可得分離點為 例題 解本題的MATLAB程序為 % k(s+1)/s(s+2)(s+3) k=1 z=-1； p=0,-2,-3； n,d=zp2tf(z,p,k) rlocus(n,d)例題 解 根軌跡的起點、終點及分支數(shù) 實軸上的根軌跡 實軸上的0至-3線段是根軌跡的一部分。 例6 設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。

16、 系統(tǒng)有4條根軌跡分支，它們的起點為開環(huán)極點（0，-3， ），終點為無窮遠(yuǎn)處。例題 根軌跡的漸近線 根軌跡的分離點 漸近線與實軸的夾角分別為 、 ，漸近線與實軸的交點為 。 根據(jù)公式 ，可得分離點為 ，分離角為 ，對應(yīng)分離點的 值 復(fù)數(shù)極點 的出射角例題 根軌跡與虛軸的交點 系統(tǒng)特征方程為 解本題的MATLAB程序為 % k/s(s+3)(s2+2s+2) g=tf(1,conv(1,3, 1,2,2) 0) rlocus(g) 令 ，實部和虛部分別為零，得確定閉環(huán)極點的方法 當(dāng) 值滿足幅值條件時，對應(yīng)的根軌跡上的點，就是此時的閉環(huán)極點。同樣，利用幅值條件可確定根軌跡上任一點所對應(yīng)的 值。 有

17、時已知一對主導(dǎo)共軛極點的阻尼比，要求確定閉環(huán)極點及其相應(yīng)的開環(huán)增益。為此可先畫出一條給定的 線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡的交點確定一對共軛閉環(huán)極點。然后用幅值條件求相應(yīng)的開環(huán)增益，并用試探法求出滿足幅值條件的實數(shù)極點。 例4中，若給定一對主導(dǎo)極點的阻尼比 ，則 。確定閉環(huán)極點的方法 用試探法可以確定此時的另一個閉環(huán)極點為 ，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為在圖中作60線可得它與根軌跡的交點為 ，根據(jù)幅值條件，對應(yīng)的開環(huán)增益為第五節(jié) 參數(shù)根軌跡和多回路系統(tǒng)的根軌跡 以開環(huán)增益 為可變參量的常規(guī)根軌跡是最常見的。若需要研究除 外的其它參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，就要繪制以其它參數(shù)為可變參量的根軌跡，即參數(shù)根軌跡或廣

18、義根軌跡。 若系統(tǒng)可變參量為時間常數(shù) ，此時不能采用前述的方法直接繪制系統(tǒng)根軌跡，而需要把閉環(huán)特征方程式中不含 的各項去除該方程，使原方程變?yōu)?其中： 為等效開環(huán)傳遞函數(shù)， 在其中相當(dāng)于 的位置。這樣，前述的各項規(guī)則依然有效。參數(shù)根軌跡 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 例7 設(shè)反饋系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以 為參變量的根軌跡。特征方程為 以不含 的項 ，除以上式得 參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中， 。 根軌跡的起點、終點及分支數(shù) 實軸上的根軌跡 負(fù)實軸為根軌跡的一部分。 系統(tǒng)有2條根軌跡分支，起始于開環(huán)極點 ，終止于開環(huán)零點0和無窮遠(yuǎn)處。參數(shù)根軌跡 根軌跡的會合點 根據(jù) ，可得會合點為 ，會合角為

19、，相應(yīng)的 ， 。 復(fù)數(shù)極點 的出射角 解本題的MATLAB程序為 % ks/(s2+2s+10) n=1 0 d=1 2 10 rlocus(n,d) 多回路系統(tǒng)的根軌跡 對多回路系統(tǒng)而言，需先作內(nèi)環(huán)根軌跡，再用幅值條件求出內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點，進而作為外環(huán)的部分開環(huán)極點，再畫出外環(huán)的根軌跡。 例8 試?yán)L制以 為參變量的根軌跡。 解 內(nèi)環(huán)的根軌跡 內(nèi)環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，其根軌跡與例4相同。多回路系統(tǒng)的根軌跡 內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 求出 時的內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點為： ， 內(nèi)環(huán)化簡后的外環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為式中， 。多回路系統(tǒng)的根軌跡 外環(huán)（系統(tǒng)）的根軌跡 實軸上的根軌跡在0至-1，-2.33至-3處。 根軌跡的4條分支分別始于開環(huán)極點0、-2.33和 ，終于開環(huán)零點-1，-3和無窮遠(yuǎn)處。 根軌跡的漸近線與實軸的交點為 ，相角 。 復(fù)數(shù)極點 處的出射角 。 根軌跡與虛軸的交點為 ， ， 。第六節(jié) 正反饋回路和非最小相位系統(tǒng)的根軌跡 局部正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的特征方程式為或 可見，正反饋回路根軌跡的幅值條件與負(fù)反饋回路完全相同，為 正反饋回路的根軌跡 但相角條件卻變?yōu)?故又稱零度根軌跡。在繪制零度根軌跡時，需要對有關(guān)涉及相角條件的規(guī)則進行修改。 規(guī)則4 在 平面實軸的線段上存在根軌跡的條件是，在這些線段右邊的開環(huán)零點和開環(huán)極點的數(shù)目之和為偶數(shù)。 規(guī)則5 根軌跡的 條漸近線與實軸的相角為正反饋