平面靜力學(xué)一般力系

1、第五章 平面一般力系 靜力學(xué)1靜力學(xué) 一般力系的平衡條件和平衡方程 一、平面一般力系的平衡條件和平衡方程 由于 =0 為力平衡 MO=0 為力偶也平衡所以 平面任意力系平衡的充要條件為： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即： 2靜力學(xué)二矩式條件：x 軸不AB 連線三矩式條件：A、B、C不在同一直線上上式有三個(gè)獨(dú)立方程，只能求出三個(gè)未知數(shù)。一矩式3習(xí)題 . 在水平梁AB上作用一力偶矩為m 的力偶,在梁長(zhǎng)的中點(diǎn)C處作用一集中力P它與水平的夾角為, 如圖所示.梁長(zhǎng)為 l 且自重不計(jì).求支座A和 B的反力.l /2l /2ABCmP4解:取水平梁AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖.l /2l /2ABCmPX

2、AYARAXi = 0XA - P cos = 0XA = P cos mA(Fi) = 0Yi = 0YA - P sin + RA = 05靜力學(xué) 例1 已知：P，a ， 求：A、B兩點(diǎn)的支座反力。 解： 選AB梁研究； 畫(huà)受力圖（以后注明 解除約束，可把支反 力直接畫(huà)在整體結(jié)構(gòu) 的原圖上）； 列平衡方程：解除約束6解題步驟靈活選擇研究對(duì)象；正確畫(huà)出受力圖；列適當(dāng)?shù)钠胶夥匠糖蠼?。X=0Y=0MO(F)=07例5-2 直角剛架ABC承受插入端約束。在剛架的A端作用集中力F與集中力偶M，其尺寸a、b、均已知。與試求固定端約束的全部約束力。 89 例2 懸臂吊車(chē)如圖 a) 所示。A、B、C處均為

3、鉸接。AB梁自重W14 kN，載荷重Wl0 kN，BC桿自重不計(jì)，有關(guān)尺寸如圖 a) 所示。求BC桿所受的力和鉸A處的約束反力。靜力學(xué)10 解 (1) 選AB梁為研究對(duì)象，畫(huà)出分離體圖。在AB梁上主動(dòng)力有W1，和W；約束反力有支座A處的反力FAx和FAy；由于BC為二力桿，故B處反力為FBC，該力系為平面一般力系，受力圖如圖 b)所示。 (2) 列平衡方程并求解。選取坐標(biāo)軸如圖 b)所示。為避免解聯(lián)立方程，在列平衡方程時(shí)盡可能做到一個(gè)方程中只包含一個(gè)未知量，并且先列出能解出未知量的方程，于是有Fx=0，F(xiàn)y=0，MA(F)=0，解得：靜力學(xué)11 例5-2b：懸臂梁AB受集度大小為q=30KN/

4、m的均布荷載和集中力P=100KN的作用。如圖所示，已知l=3m,不計(jì)梁的自重。試求A端的約束反力。 解：(1)取AB為研究對(duì)象。 (2)畫(huà)受力圖。 (3)選取投影軸和矩心。 (4)列平衡方程求解： 校核： 可見(jiàn) 的計(jì)算正確。返回下一張上一張小結(jié)12靜力學(xué) 例3 自重W100 kN的T形剛架ABD，置于鉛垂面內(nèi)，載荷如圖 a)所示。已知M20 kNm，F(xiàn)400 kN，q20 kN/m，Ll m。求固定端A處的約束反力。13靜力學(xué) 解 (1) 取T形剛架為研究對(duì)象，其上作用有主動(dòng)力W、F、M和線性分布載荷。將線性分布載荷化為一合力，其大小等于線性分布載荷的面積，即F1q3L230 kN，其作用線

5、作用于三角形分布載荷的幾何中心，即距點(diǎn)A為L(zhǎng)處。約束反力有FAx，F(xiàn)Ay和MA。其受力與坐標(biāo)如圖 b)所示。(2) 列平衡方程：Fx=0，F(xiàn)y=0，MA(F)=0， 解得： 14 設(shè)有F1, F2 Fn 各平行力系， 向O點(diǎn)簡(jiǎn)化得： 合力作用線的位置為： 平衡的充要條件為 主矢 =0 主矩MO =0 靜力學(xué)平面平行力系： 各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系，叫平面平行力系。15靜力學(xué)所以 平面平行力系的平衡方程為：二矩式條件：AB連線不能平行 于力的作用線實(shí)質(zhì)上是各力在x 軸上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求解兩個(gè)獨(dú)立的未知數(shù)。一矩式16靜力學(xué) 例4 已知：P=

6、20kN, m=16kNm， q=20kN/m， a=0.8m， 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：17例題5-4a.組合梁ABC的支承與受力情況如圖所示.已知 P = 30kN, Q = 20kN, = 45o.求支座A和C的約束反力.2m2m2m2mPQABC18解:取整體為研究對(duì)象畫(huà)受力圖.Xi = 0XA - 20 cos45o = 0XA = 14.14 kNYi = 0YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 (1)2m2m2m2mPQABCRCXAYAmAmA(Fi) = 0mA - 230 - 620sin45o +8RC = 0 (2)19取BC桿為研究

7、對(duì)象畫(huà)受力圖.2m2mQBCXBYBRCmB(Fi) = 0- 220sin45o +4RC = 0RC = 7.07 kN (3) 把(3)式分別代入(1)和(2)式得:YA = 37.07 kNmA = 31.72 kN.m20靜力學(xué) 例5 塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架自重W1500 kN，其作用線至右軌的距離e0.5 m，最大起重量W2250 kN，其作用線至右軌的距離L10 m，軌道AB的間距b4 m，平衡重W到左軌的距離a6 m。若W=300 kN，W2250 kN，求軌道A、B對(duì)兩輪的反力。21靜力學(xué)解 取起重機(jī)為研究對(duì)象。畫(huà)出受力圖如圖所示，該力系為一平面平行力系。其平衡方程為Fy=

8、0，MB(F)=0，解得 討論：為了保證起重機(jī)安全工作，設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮兩種翻倒情況。 (1)當(dāng)滿載時(shí)，為了使起重機(jī)不繞B點(diǎn)翻倒，考慮平衡的臨界狀況FA0，這時(shí)列MB(F)0的平衡方程，可求出平衡重的最小值Wmin275 kN ，22靜力學(xué) (2) 當(dāng)空載時(shí)，為了使起重機(jī)不繞A點(diǎn)翻倒，考慮平衡的臨界狀況FB0，這時(shí)列MA(F)0的平衡方程，可求出平衡重的最大值Wmax375 kN 。實(shí)際工作時(shí)不允許處于極限狀態(tài)，需使其安全工作，平衡重應(yīng)在這兩者之間，即WminWWmax。23 物體系的平衡 （1）整體系統(tǒng)平衡，每個(gè)物體也平衡?？扇≌w或部分系統(tǒng)或單個(gè)物體為研究對(duì)象。 （2）分清內(nèi)力和外力。在受力

9、圖上不考慮內(nèi)力。（3）靈活選取平衡對(duì)象和列寫(xiě)平衡方程。盡量減少方程中的未知量，簡(jiǎn)捷求解。 （4）如系統(tǒng)由n個(gè)物體組成，而每個(gè)物體在平面力系作用下平衡，則有3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可解3n個(gè)未知量。 1物體系平衡24平面力系平面簡(jiǎn)單力系平面一般力系平面匯交力系平面平行力系平面力偶系25 靜定與靜不定問(wèn)題 對(duì)每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目.則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就可以求得全部未知量,這樣的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題. 若未知量的數(shù)目超過(guò)獨(dú)立平衡方程的數(shù)目.則單獨(dú)應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就不能求出全部未知量,這樣的問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題.26 物體系統(tǒng)是指由若干個(gè)物體通過(guò)適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組

10、成的系統(tǒng).解靜定物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的一般步驟:(a)分析系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成.(b)按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或個(gè) 體為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析并畫(huà)受力圖.(c)列平衡方程并解出未知量27靜力學(xué)例 靜不定問(wèn)題在強(qiáng)度力學(xué)（材力,結(jié)力,彈力）中用位移諧調(diào)條件來(lái)求解。靜定（未知數(shù)三個(gè)） 靜不定（未知數(shù)四個(gè)）28靜定與靜不定概念 29靜力學(xué)例 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。 物體系統(tǒng)（物系）：由若干個(gè)物體通過(guò)約束所組成的系統(tǒng)，叫物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱物系。30靜力學(xué)物系平衡的特點(diǎn)： 物系靜止 物系中每個(gè)單體也是平衡的。每個(gè)單體可列3個(gè)平衡方程

11、，整個(gè)系統(tǒng)可列3n個(gè)方程（設(shè)物系中有n個(gè)物體）解物系問(wèn)題的一般方法： 由局部 整體（常用），由整體 局部（用較少）31例7：圖示三鉸拱。已知P=6kN，M=5kNm，A=1m。求支座A、B的反力。BCXCXBYBYCMACXCXAYAYCPXAYAYBXBABCMP2aPa(2)研究對(duì)象：BC (1)研究對(duì)象：整體32 三鉸拱ABC的支承及荷載情況如圖所示.已知P =20kN,均布荷載q = 4kN/m.求鉸鏈支座A和B的約束反力.1m2m2m3mABCqP33解:取整體為研究對(duì)象畫(huà)受力圖.XAYAXBYBmA(Fi) = 0- 4 3 1.5- 20 3+ 4 YB = 0YB = 19.5

12、 kNYi = 0YA - 20 + 19.5 = 0YA = 0.5 kN1m2m2m3mABCqPXi = 043+XA+XB = 0 (1)34取BC為研究對(duì)象畫(huà)受力圖.XCYC1m3mBCPXB19.5kNmC(Fi) = 0-120 + 219.5 + 3 XB = 0XB = - 6.33 kN (2)把(2)式代入(1)式得:XA = - 5.67 kN35靜力學(xué) 例8 已知：OA=R， AB= l ， 當(dāng)OA水平時(shí)，沖壓力為P時(shí)，求： M=？ O點(diǎn)的約束反力？ AB桿內(nèi)力？ 沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力？解：研究B36靜力學(xué)負(fù)號(hào)表示力的方向與圖中所設(shè)方向相反再研究輪37靜力學(xué)（a）（b）

13、（c） 例9 由不計(jì)自重的三根直桿組成的A字形支架置于光滑地面上，如圖 a) 所示，桿長(zhǎng)ACBCL3 m，ADBEL/5，支架上有作用力F10.8 kN，F(xiàn)20.4 kN，求橫桿DE的拉力及鉸C和A、B處的反力。38靜力學(xué) 解 A字形支架由三根直桿組成，要求橫桿DE的拉力和鉸C的反力，必須分開(kāi)研究，又DE為二力桿，所以可分別研究AC和BC兩部分，但這兩部分上A、B、C、D、E處都有約束反力，且未知量的數(shù)目都多于3個(gè)。用各自的平衡方程都不能直接求得未知量。如果選整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，則可一次求出系統(tǒng)的外約束反力。(1)先取整體為研究對(duì)象，在其上作用有主動(dòng)力Fl和F2，A、B處均為光滑面約束，而A處

14、是兩個(gè)方向上受到約束，因而約束反力有FAx，F(xiàn)Ay和FB，并選取坐標(biāo)軸如圖 b) 所示。列出平衡方程 39靜力學(xué)Fx0，F(xiàn)y0，MA(F)0，解得 (2) 再取較簡(jiǎn)易部分BC為研究對(duì)象，其受力圖如圖 c) 所示。這里需要注意的是C處反力，在整體研究時(shí)為內(nèi)力，在分開(kāi)研究BC時(shí)，則變成了外力。列出平衡方程。 Fx0，F(xiàn)y0，MC(F)0， 解得 40靜力學(xué) 5.5 平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算由物系的多樣化，引出僅由桿件組成的系統(tǒng)桁架41靜力學(xué)桁架：由桿組成，用鉸聯(lián)接，受力不變形的系統(tǒng)。節(jié)點(diǎn)桿件42(a)靜力學(xué)桁架的優(yōu)點(diǎn)：輕，充分發(fā)揮材料性能。桁架的特點(diǎn)：直桿，不計(jì)自重，均為二力桿；桿端鉸接； 外力作用

15、在節(jié)點(diǎn)上。 力學(xué)中的桁架模型：基本三角形 ， 三角形有穩(wěn)定性。(b)(c)43靜力學(xué)工程力學(xué)中常見(jiàn)的桁架簡(jiǎn)化計(jì)算模型44靜力學(xué)解： 研究整體，求支座反力一、節(jié)點(diǎn)法例11已知：如圖 P=10kN，求各桿內(nèi)力？計(jì)算平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力的方法有兩種：1、節(jié)點(diǎn)法2、截面法45靜力學(xué) 依次取A、C、D節(jié)點(diǎn)研究，計(jì)算各桿內(nèi)力。46靜力學(xué)節(jié)點(diǎn)D的另一個(gè)方程可用來(lái)校核計(jì)算結(jié)果恰與 相等,計(jì)算準(zhǔn)確無(wú)誤。 47靜力學(xué)解： 研究整體求支反力 二、截面法例12 已知：如圖，h，a，P， 求：4、5、6桿的內(nèi)力。選截面 I-I ，取左半部研究IIA48靜力學(xué)說(shuō)明 ： 節(jié)點(diǎn)法：用于設(shè)計(jì)，計(jì)算全部桿內(nèi)力； 截面法：用于校核，

16、計(jì)算部分桿內(nèi)力； 先把桿都設(shè)為拉力，計(jì)算結(jié)果為負(fù)時(shí)；說(shuō)明是壓力，與所設(shè)方向相反。 49靜力學(xué)三桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零桿。四桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩兩在一條直線上，同一直線上兩桿內(nèi)力等值、同性。兩桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、且兩桿不在一條直線上時(shí)，該兩桿是零桿。三、特殊桿件的內(nèi)力判斷50解： 選整體研究 ； 受力如圖； 選坐標(biāo)Bxy； 列方程為： 解方程得 ： 靜力學(xué) 例1 已知各桿均鉸接，B端插入地內(nèi)，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，桿重不計(jì)。 求AC 桿內(nèi)力？B點(diǎn)的反力？習(xí) 題 課51 受力如圖 取E為矩心，列方程 解方程求未知數(shù)靜力學(xué)再研究CD桿52注意 區(qū)分以下幾個(gè)

17、概念：力系的平衡，單個(gè)剛體的平衡，剛體系的平衡，變形體的平衡（1）單個(gè)剛體的平衡力系的平衡 （2）剛體系的平衡力系的平衡力系的平衡剛體系的平衡（3）變形體的平衡剛化后仍平衡力系平衡變形體的平衡剛化后仍平衡力系平衡（4）僅在靜力學(xué)中： 單個(gè)剛體的平衡 力系的平衡53 例2 已知:P=100N, AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平, ED鉛垂,BD垂直于 斜面。 求 ?和支座反力？靜力學(xué)解： 研究整體； 畫(huà)受力圖； 選坐標(biāo)，列方程： 54靜力學(xué)再研究AB桿，受力如圖55靜力學(xué)（a）（b） 例3 圖 a)所示的組合梁由AC和CD組成，不計(jì)自重。已知F20 k

18、N，q10 kN/m，M20 kNm，l1 m。試求插入端A和滾動(dòng)支座B處的約束反力。56靜力學(xué)解 (1) 先取整體為研究對(duì)象。在其上作用有主動(dòng)力F、M、q和插入端A和滾動(dòng)支座B處的約束反力FAx、FAy、MA和FB。列出平衡方程Fx0， (a)Fy0， (b)MA(F)0， (c)以上三個(gè)方程包含四個(gè)未知量，必須再補(bǔ)充方程才能求解。 (2) 再取較簡(jiǎn)易部分CD為研究對(duì)象，其受力圖如圖 b) 所示。這里需要注意的是C處約束反力，在整體研究時(shí)為內(nèi)力，在單獨(dú)研究CD時(shí)，則變成了外力。列出平衡方程57靜力學(xué)MC(F)0， (d)由式(d)解得 代入式(a)、(b)、(c)中解得注意：此題研究整體時(shí)，

19、可將均布載荷作為合力通過(guò)點(diǎn)C，但在梁CD或AC平衡時(shí)，則分別受一半的均布載荷。 58靜力學(xué) 例4 已知 P， d，求：a、b、c、d 四桿的內(nèi)力。解：由零桿判式研究A點(diǎn)：59靜力學(xué) 例5 已知：連續(xù)梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 鉛垂, 不計(jì)梁重 求：A ,B和D點(diǎn)的反力（看出未知數(shù)多余三個(gè)，不能先 整體求出，要拆開(kāi)） 解： 研究起重機(jī)；60靜力學(xué) 再研究整體 再研究梁CD61靜力學(xué) 例6 作出下列各物 體的受力圖。62靜力學(xué) 例7 作出下列各物體的受力圖。 P 最小維持平衡 P 最大維持平衡狀態(tài) 受力圖； 狀態(tài)受力圖63靜力學(xué) 例8 構(gòu)件1及2用楔塊3聯(lián)結(jié)，已知楔塊與構(gòu)件間的摩擦

20、系數(shù) f=0.1，求能自鎖的傾斜角a 。解：研究楔塊，受力如圖64靜力學(xué) 例9 已知：B塊重Q=2000N，與斜面的摩擦角j =15， A塊與 水 平面的摩擦系數(shù)f=0.4， 不 計(jì)桿重。 求：使B塊不下滑， 物塊A 最小重量。解： 研究B塊，若使B塊不下滑，65靜力學(xué)再研究A塊：66靜力學(xué)例10 已知：Q=10N， f 動(dòng) =0.1 f 靜 =0.2，求：P=1 N; 2N, 3N 時(shí)摩擦力F？解：所以物體運(yùn)動(dòng)：此時(shí)（沒(méi)動(dòng)，F(xiàn) 等于外力）（臨界平衡）（物體已運(yùn)動(dòng)）67 例11 制動(dòng)器的構(gòu)造如圖 a) 所示。已知重物重W500 N，制動(dòng)輪與制動(dòng)塊間的靜摩擦因數(shù)fS0.6，R250 mm，r150