第三章-晶格振動與晶體的光學(xué)性質(zhì)一

1、第三章-晶格振動與晶體的光學(xué)性質(zhì)一其中為彈性恢復(fù)力系數(shù)。設(shè)原子質(zhì)量為m，則第n個原子的運動方程為試解 格波方程其中q為波數(shù)，na相當(dāng)于將原點取在第0個原子的平衡位置時第n個原子的平衡位置，和A為常數(shù)。 色散關(guān)系二、格波的簡約性質(zhì)、簡約區(qū) 簡約區(qū)在簡約區(qū)內(nèi)，與q一一對應(yīng)，稱為q的主值范圍。格波：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動， 不同原子間有振動位相差，這種振動以波的形式在 整個晶體中傳播，稱為格波。從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中x是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取na（即原子的位置），這是一系列周期排列的點。由此可知，一個格波解表示所有原子同時做頻率為的

2、振動，不同原子有不同的振動位相，相鄰兩原子的振動位相差為aq。若aq改變2的整數(shù)倍，這兩個格波所描述的所有原子的振動狀態(tài)完全相同。1=4a ，即q1=2/ 1 = /2a；2=4a/5，即q2=2/ 2 = 5/2aq2- q2=2/a由圖可以看出，由q1和q2所確定的各原子的相對位置是完全相同的，即這兩個波數(shù)描述同一晶格振動狀態(tài)。三、周期性邊界條件（BornKarman邊界條件） 設(shè)晶體中原子總數(shù)為N，晶體鏈長為Na，所謂周期性邊界條件就是將一有限長度的晶體鏈看成無限長晶體鏈的一個重復(fù)單元，即：12nNN+1N+2N+nh =整數(shù)這表明，引入周期性邊界條件后，波數(shù)q不能任意取值，只能取分立的

3、值。 在q軸上，相鄰兩個q的取值相距 ， 即在q軸上，每一個q的取值所占的空間為所以，q的分布密度為：LNa 為晶體鏈的長度。簡約區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù)(q) 2/a (Na/2)2/a N晶體鏈的原胞數(shù)晶格振動格波的總數(shù)=N1=晶體鏈的自由度數(shù)。四、格波的簡諧性、聲子概念這是n(t)在q空間中的Fourier展開式。將上式代入系統(tǒng)總機械能的表達式中，再利用線性變換系數(shù)的正交條件：即可將系統(tǒng)的總機械能化為：運動方程： 經(jīng)變換后，Q(q, t)代表一個新的空間坐標，它已不再是描述某個原子運動的坐標了，而是反映晶體中所有原子整體運動的坐標，稱為簡正坐標。 一個波數(shù)為q的格波相當(dāng)于一個頻率為(q)的簡

4、諧振子，我們將晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的正則振動稱為一種振動模式。對于由N個原子組成的一維單原子鏈，共有N種格波，即有N個振動模式，就相當(dāng)于有N個獨立的簡諧振子。 根據(jù)量子力學(xué)理論，簡諧振子的能量是量子化的，第j個振動模式的簡諧振子的能量本征值為：聲子的概念： 聲子是晶格振動的能量量子。 聲子具有能量 ，也具有準動量 ，它的行為類似 于電子或光子，具有粒子的性質(zhì)。但聲子與電子或光子是 有本質(zhì)區(qū)別的，聲子只是反映晶體原子集體運動狀態(tài)的激 發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨存在，它并不是一種真實 的粒子。我們將這種具有粒子性質(zhì)，但又不是真實物理實 體的概念稱為準粒子。所以，聲子是一種準粒子。

5、 一種格波即一種振動模式稱為一種聲子，對于由N個原子 組成的一維單原子鏈，有N種格波，即有N種聲子。當(dāng)一種 振動模式處于其能量本征態(tài)時，稱這種振動模有nj個聲子。 當(dāng)電子或光子與晶格振動相互作用時，總是以 為單 元交換能量，若電子交給晶格 的能量，稱為發(fā)射 一 個聲子；若電子從晶格獲得 的能量，則稱為吸收一 個聲子。 聲子與聲子相互作用，或聲子與其他粒子（電子或光子） 相互作用時，聲子數(shù)并不守恒。聲子可以產(chǎn)生，也可以湮 滅。其作用過程遵從能量守恒和準動量守恒。 對于由N個原子組成的一維單原子鏈，有N個振動模式， 即有N種不同的聲子。因此，晶格振動的總能量為：3.2 一維雙原子鏈的振動一、運動方

6、程及其解aMmnnn-1n+1 考慮一個由P和兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈，設(shè)晶格常數(shù)（即原胞大?。閍，平衡時相鄰兩原子的間距為a/2，P、Q兩原子的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M m），原子間的力常數(shù)為。 在t時刻，第n個原胞中，P原子的位移為n ，Q原子的位移為n 。 若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，則運動方程為：試解：q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單位距離兩點間的振動位相差。代入方程得：久期方程：解得我們將頻率為的晶格振動稱為光學(xué)波；頻率為的振動稱為聲學(xué)波。由于cos(aq)以2為周期，所以是q的周期函數(shù)，其周期為2/a。簡約區(qū)：若有一個波數(shù)q不在簡約區(qū)中，我們一定可

7、以在簡約區(qū)中找到唯一一個q，使得q和q所描述的晶格振動狀態(tài)完全相同。這時， q和q滿足：為倒格矢二、光學(xué)波和聲學(xué)波的物理圖象第n個原胞中P、Q兩種原子的位移之比這里R為大于零的實數(shù)，反映原胞中P、Q兩種原子的振幅比，為兩原子位相差。1. 光學(xué)波（optical branch）由于于是，原胞中兩種不同原子的振動位相差在、象限之間，屬于反位相型。物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動位相基本上相反，即 原胞中的兩種原子基本上作相對振動。當(dāng)q0時，這時原胞中兩種原子振動位相完全相反。原胞中兩種原子的位移與其質(zhì)量成反比，且運動方向相反，即原胞中兩種原子作相對振動，而原胞 質(zhì)心保持不動。當(dāng)q0時，有極大值：

8、當(dāng)q/a時， 取極小值： 如果原胞內(nèi)為兩個帶相反電荷的離子（如離子晶體），那么正負離子的相對振動必然會產(chǎn)生電偶極矩，而這一電偶極矩可以和電磁波發(fā)生相互作用。在某種光波的照射下，光波的電場可以激發(fā)這種晶格振動，因此，我們稱這種振動為光學(xué)波或光學(xué)支。2. 聲學(xué)波（acoustic branch）即：在、象限，屬于同位相型。當(dāng)q0時，原胞內(nèi)兩種原子的振動位相完全相同。物理圖象：原胞中的兩種原子的振動位相基本相同， 這時，原胞基本上作為一個整體振動，而 原胞中兩種原子基本上無相對振動。q0時這與連續(xù)介質(zhì)的彈性波 vq 是一致的。當(dāng)q0時這表明，在長波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運動完全一致，振幅和位相均相

9、同，這時的格波非常類似于聲波，所以我們將這種晶格振動稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。事實上，在長波極限下，晶格可以看成連續(xù)的彈性介質(zhì)，格波類似于聲波。當(dāng)q0時，0；當(dāng) 時在max和+min之間存在一個頻率“空隙”，這表明值處于“空隙”的波將強烈衰減，不能在晶體中傳播。從能量角度看， 表示聲子的能量。所以頻率“空隙”就對應(yīng)于聲子能量的禁帶。三、周期性邊界條件周期性邊界條件：h =整數(shù)， N為晶體鏈的原胞數(shù)。q的分布密度：推廣：若每個原胞中有s個原子，則一維晶格振動每一個 q對應(yīng)有1個聲學(xué)波（對應(yīng)于原胞的整體振動）和 s-1個光學(xué)波。 晶格振動格波的總數(shù)sN晶體鏈的自由度數(shù)。3.3 三維晶格振動一、三維簡單晶

10、格的振動0lRlRlRl RlRl-ll-ll 晶格振動的勢能是原子位移的函數(shù)，在微小位移的情況下，可將它在平衡位置附近展開為Taylor級數(shù)，并取平衡位置為勢能原點，在簡諧近似下，系統(tǒng)的勢能為：其中，(l)和(l)分別是第l和第l個原子沿方向和方向的位移。力常數(shù)第l個原子的運動方程為：這里我們考慮了晶體中所有原子的相互作用。晶體中各力常數(shù)之間并不是都是獨立的，而必須滿足：，1，2，3另外，由于晶格的周期性，力常數(shù)的絕對位置無關(guān)，只與他們的相對位置Rl-Rl，若相對位置一樣，無論哪兩個原子，其力常數(shù)均相同。設(shè)格波解：帶入運動方程，經(jīng)化簡后得：，1，2，3這是關(guān)于A1、A2和A3的線性齊次方程組

11、，有非零解的條件為：久期方程這是關(guān)于2的三次方程，由此可以解出2的三個根，即可得與q的三個關(guān)系式，對應(yīng)于三維情況沿三個方向的振動，即三支聲學(xué)波：一支縱波，兩支橫波。推廣：對于復(fù)式晶格，若每個原胞中有s個原子，由運動方程可以解得3s個與q的關(guān)系式（即色散關(guān)系式），對應(yīng)于3s支格波，其中3支為聲學(xué)波（一支縱波，兩支橫波），3(s1)支為光學(xué)波。二、布里淵區(qū)考察(q)在q空間中的周期性。設(shè)有兩個波矢q 和q所描述的晶格振動狀態(tài)完全相同，對于第j支格波，有上式對于任意時刻t和任意的格矢Rl都成立，于是有：由于Gn為倒格矢，h為整數(shù)所以有q-qGn ，（由于Rl為任意格矢）即： j(qGn)=j(q)

12、這表明在q空間中， j(q)是以倒格矢Gn 為周期的周期函數(shù)。所以，在三維情況下我們?nèi)钥蓪⒉ㄊ竡限制在簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。 若將原點取在簡約區(qū)的中心，那么，在布里淵區(qū)邊界面上周期對于的兩點間應(yīng)滿足關(guān)系：0GnqqGn 布里淵區(qū)邊界面方程這表明布里淵區(qū)的邊界面是倒格矢的垂直平方面。布里淵區(qū)的幾何作圖法： 根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)，作出該晶體的倒易空間點陣，并取一 個倒格點為原點； 由近到遠作各倒格矢的垂直平方面； 在原點周圍圍成一個包含原點在內(nèi)的最小封閉體積， 即為簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)。顯然，簡約區(qū)就是倒易空間中的WibnerSeitz原胞。這種幾何作圖法不僅可以給出簡約區(qū)，即第一布里淵區(qū)，也給出了簡約

13、區(qū)以外的許多封閉區(qū)域，它們由內(nèi)向外依次稱為第二布里淵區(qū)、第三布里淵區(qū)等。1222222333333可以證明，每個布里淵區(qū)的體積均相等，都等于第一布里淵區(qū)的體積，即倒格子原胞的體積b 。布里淵區(qū)序號的確定：從某個區(qū)域中的任一點到原點聯(lián)成一條直線，若此直線穿過n個布里淵區(qū)邊界面，那么，這個區(qū)域就是第n+1個布里淵區(qū)。正格子格常數(shù)倒格子格常數(shù)簡約區(qū)bccafcc由12個110面圍成的正12面體fccabcc由8個111面和6個100面圍成的14面體三、周期性邊界條件 設(shè)晶體為一平行六面體，其棱邊沿基矢a1、a2和a3方向，N1、N2和N3分別為晶體沿三個基矢方向的原胞數(shù)。那么，晶體的總原胞數(shù)為：N N1 N2 N3 。周期性邊界條件：對于第j支格波：1, 2, 3h = 整數(shù)令1, 2, 3h1 , h2 , h3整數(shù)可見，引入周期性邊界條件后，波矢q的取值不連續(xù)，這些的q取值在q空間中構(gòu)成一個態(tài)空間點陣。在q空間中，每一個q的取值（狀態(tài)）所占的空間為