新高一2022年暑假講義第1講 集合的概念（解析版）

1、第1講：集合的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1通過實例了解集合的含義；2.理解集合中元素的特征；3.體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號并會應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】一、元素與集合的概念1元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，常用小寫拉丁字母a，b，c，表示2集合：把一些元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C，表示3集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的4集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的二、元素與集合的關(guān)系知識點關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合AaA“a屬于A”不屬于如果a不是集合

2、A中的元素，就說a不屬于集合AaA“a不屬于A”三、常用數(shù)集及表示符號名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法或【考點剖析】考點一：確定性如果元素的界限部明確，即不能構(gòu)成集合，其中包括：著名的科學(xué)家；比較高的人；成績比較好的學(xué)生，跑得比較快的同學(xué)，接近于的數(shù)等例1下列各對象可以組成集合的是（ ）A與1非常接近的全體實數(shù)B某校2020-2021學(xué)年度笫一學(xué)期全體高一學(xué)生C高一年級視力比較好的同學(xué)D與無理數(shù)相差很小的全體實數(shù)B【詳解】A中對象不確定，故錯；B中對象可以組成集合；C中視力比較好的對象不確定，故錯；D中相差很小的對象不確定，故錯.故選：B變式訓(xùn)練1：下列選項中元素的全體可以組成集合

3、的是（ ）A2007年所有的歐盟國家B校園中長的高大的樹木C學(xué)?；@球水平較高的學(xué)生D中國經(jīng)濟發(fā)達(dá)的城市A【詳解】A：因為2007年歐盟國家是確定的，所以本選項符合題意；B：因為不確定什么樣子的樹木叫高大的樹木，所以本選項不符合題意；C：因為不確定籃球水平較高是一種什么水平，所以本選項不符合題意；D：因為不確定經(jīng)濟水平什么樣叫發(fā)達(dá)，所以本選項不符合題意，故選：A變式訓(xùn)練2：下列各組對象：接近于的數(shù)的全體；比較小的正整數(shù)全體；平面上到點的距離等于的點的全體；正三角形的全體；的近似值的全體.其中能構(gòu)成集合的組數(shù)有（ ）A組B組C組D組A【詳解】“接近于的數(shù)的全體”的對象不確定，不能構(gòu)成集合；“比較小

4、的正整數(shù)全體”的對象不確定，不能構(gòu)成集合；“平面上到點的距離等于1的點的全體”的對象是確定的，能構(gòu)成集合；“正三角形的全體”的對象是確定的，能構(gòu)成集合；“的近似值的全體的對象”不確定，不能構(gòu)成集合；故正確.故選：A.變式訓(xùn)練3：下列各組對象能構(gòu)成集合的是（ ）A新冠肺炎死亡率低的國家B19世紀(jì)中國平均氣溫較高的年份C一組對邊平行的四邊形D的近似值C【詳解】解：只要一組對邊平行的四邊形都在選項C這個全體中，那么C中所有對象能構(gòu)成一個集合，而選項A，B，D都沒有明確的判定標(biāo)準(zhǔn)判定個體是否在全體中.故選：C.考點二：互異性集合中的元素互相不相同例2已知集合是由三個元素組成的，且，求_.【詳解】解：由

5、3A，可得3=a2，或3=2a2+5a，由3=a2，解得a=1，經(jīng)過驗證a=1不滿足條件，舍去.由3=2a2+5a，解得a=1或，經(jīng)過驗證：a=1不滿足條件，舍去.a=.故.變式訓(xùn)練1：已知集合是由三個元素組成，若，則實數(shù)的值為_.或【詳解】因為，則或或，當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時，或（舍）當(dāng)時，符合題意；綜上所述：或，故或變式訓(xùn)練2：已知集合中的元素為，若，則_.或；【詳解】由，若，此時，符合題意；若，則，當(dāng)時，不符題意，當(dāng)時，符合題意，綜上可得：或.故1或2.變式訓(xùn)練3：已知集合中的元素為，若，則實數(shù)的值為_.或【詳解】依題意，當(dāng)時，符合題意.當(dāng)時，不滿足互

6、異性，錯誤.當(dāng)，（舍去）或，時，符合題意.綜上所述，實數(shù)的值為或.故或考點三：元素與集合的關(guān)系元素與集合之間只能用屬于（）和不屬于（）.例3下列元素與集合的關(guān)系表示正確的是（ ）；ABCDB【詳解】為正整數(shù)集，所以，故不正確；表示整數(shù)集，所以，故正確；表示有理數(shù)集，則，故正確，不正確；故選：B變式訓(xùn)練1：下列關(guān)系中，正確的個數(shù)為（ ）；.A1B2C3D4B【詳解】0是自然數(shù)，故，正確；是無理數(shù)，故，錯誤；無理數(shù)，故，錯誤；是整數(shù)，故，正確；是實數(shù)，故，錯誤.故正確個數(shù)是2個.故選：B.變式訓(xùn)練2：給出下列關(guān)系：；，其中正確的個數(shù)為（ ）A1B2C3D4D【詳解】根據(jù)元素與集合的關(guān)系：12R，正

7、確；2Q，正確；|3|=3N，正確；|-3|=3Z，正確；0N，錯誤，故正確的個數(shù)為4故選：D變式訓(xùn)練3：若集合中的元素滿足，且，則下列各式正確的是（ ）A，且B，且C且D，且D【詳解】因為，所以，.故選：D考點三：元素的個數(shù)例3設(shè)集合A中的元素均為實數(shù)，且滿足條件：若aA，則eq f(1,1a)A(a1，且a0)求證：(1)若2A，則A中必還有另外兩個元素；(2)集合A不可能是單元素集證明：(1)若aA，則eq f(1,1a)A.又因為2A，所以eq f(1,12)1A.因為1A，所以eq f(1,11)eq f(1,2)A.因為eq f(1,2)A，所以eq f(1,1f(1,2)2A.所

8、以A中另外兩個元素為1，eq f(1,2).(2)若A為單元素集，則aeq f(1,1a)，即a2a10，方程無實數(shù)解所以aeq f(1,1a)，所以集合A不可能是單元素集變式訓(xùn)練1：集合中的元素為，當(dāng)時，若，則稱為的一個“孤立元素”，則中孤立元素的個數(shù)為（ ）A1B2C3D4A【詳解】解：對于元素，故不滿足孤立元素的定義；對于元素，故不滿足孤立元素的定義；對于元素，故不滿足孤立元素的定義；對于元素，故滿足孤立元素的定義；故中孤立元素的個數(shù)為個.故選：A.變式訓(xùn)練2：非空集合具有下列性質(zhì)：若、，則；若、，則，下列判斷一定成立的是（ ）（1）；（2）；（3）若、，則；（4）若、，則.A（1）（3

9、）B（1）（2）C（1）（2）（3）D（1）（2）（3）（4）C【詳解】由可知.對于（1），若，對任意的，則，所以，這與矛盾，（1）正確；對于（2），若且，則，依此類推可得知，（2）正確；對于（3），若、，則且，由（2）可知，則，所以，（3）正確；對于（4），由（2）得，取，則，所以（4）錯誤.故選：C.【過關(guān)檢測】1、能夠組成集合的是（ ）A與2非常數(shù)接近的全體實數(shù)B很著名的科學(xué)家的全體C某教室內(nèi)的全體桌子D與無理數(shù)相差很小的數(shù)C【詳解】解：A.與2非常接近的數(shù)不確定，不能構(gòu)成集合；B.“很著名”，怎么算很著名，不確定，不能構(gòu)成集合；C.某教室內(nèi)的桌子是確定的，可構(gòu)成集合；D.“相差很小”，

10、怎么算相差很小是不確定的，不能構(gòu)成集合.故選：C.2、下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（ ）A上課遲到的學(xué)生B年高考數(shù)學(xué)難題C所有有理數(shù)D小于的正整數(shù)B【詳解】上課遲到的學(xué)生屬于確定的互異的對象，所以能構(gòu)成集合；年高考數(shù)學(xué)難題界定不明確，所以不能構(gòu)成集合；任意給一個數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，所以能構(gòu)成集合；小于的正整數(shù)分別為，所以能夠組成集合.故選：3、下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（ ）A所有的正方形B方程的整數(shù)解C我國較長的河流D出席十九屆四中全會的全體中央委員C【詳解】對于A選項，“所有的正方形”對象是明確的，故能構(gòu)成集合；對于B選項，“方程的整數(shù)解”的對象是明確的，故能構(gòu)成集合；對于C選項，“

11、較長”不是一個確定的范圍，“我國較長的河流”的對象不明確，故不能構(gòu)成集合；對于D選項，“出席十九屆四中全會的全體中央委員”的對象是明確的，故能構(gòu)成集合.故選：C.4、下列判斷正確的個數(shù)為（ ）（1）所有的等腰三角形構(gòu)成一個集合；（2）倒數(shù)等于它自身的實數(shù)構(gòu)成一個集合；（3）質(zhì)數(shù)的全體構(gòu)成一個集合；（4）由2，3，4，3，6，2構(gòu)成含有6個元素的集合A1B2C3D4C【詳解】在（1）中，所有的等腰三角形構(gòu)成一個集合，故（1）正確；在（2）中，若，則a21，a1，構(gòu)成的集合為1，1，故（2）正確；在（3）中，質(zhì)數(shù)的全體構(gòu)成一個集合，任何一個質(zhì)數(shù)都在此集合中，不是質(zhì)數(shù)的都不在，故（3）正確；在（4）

12、中，集合中的元素具有互異性，構(gòu)成的集合為2，3，4，6，含4個元素，故（4）錯誤故選：C5、已知集合中的元素為，若，則實數(shù)的值為（ ）A1或B1CD或0C【詳解】當(dāng)時，得，此時，不滿集合中元素的互異性，不合題意；當(dāng)時，得，若，則，不滿集合中元素的互異性，不合題意；若，則，滿足.故選：C6、下列關(guān)系中，正確的個數(shù)為（ ）；.A6B5C4D3D【詳解】由元素與集合的關(guān)系，得：在中，故正確；在中，故正確；在中，故錯誤；在中，故錯誤；在中，故錯誤；在中，故正確.故選：D.7、集合中的元素滿足，則集合中的元素為_答案：0,1,2解析eq f(6,3x)N，3x1或2或3或6，即x2或1或0或3.又xN，故x0或1或2.即集合A中的元素為0,1,2.8、設(shè)數(shù)集由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則（1）若，則中至少還有幾個元素？（2）集合是否為雙元素集合？請說明理由（3）若中元素個數(shù)不超過，所有元素的和為，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合中的元素（1）中至少還有兩個元素；（2）不是雙元素集合，答案見解析