第一部分靜力學

1、奧林匹克（物理）競賽專題輔導 2012年7月 濰坊第 PAGE 51頁第一部分 靜力學【競賽知識要點】重心 共點力作用下物體的平衡 物體平衡的種類 力矩 剛體的平衡 流體靜力學（靜止流體中的壓強）【內容講解】一.物體的重心 1.常見物體的重心：質量均勻分布的三角板的重心在其三條中線的交點；質量均勻分布的半徑R的半球體的重心在其對稱軸上距球心3R/8處；質量均勻分布的高為h的圓錐體的重心在其對稱軸上距頂點為3h/4處。2.重心：在xyz 三維坐標系中，將質量為m的物體劃分為質點m1、m2、m3mn.設重心坐標為（x0,y0，z0）,各質點坐標為（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)(xn,y

2、n,zn).那么： mx0=mixi my0=miyi mz0=mizi 【例題】1、（1）有一質量均勻分布、厚度均勻的直角三角板ABC，A=30B=90，該三角板水平放置，被A、B、C三點下方的三個支點支撐著，三角板靜止時，A、B、C三點受的支持力各是NA、NB、NC，則三力的大小關系是 .（2）半徑為R的均勻球體，球心為O點，今在此球內挖去一半徑為0.5R的小球，且小球恰與大球面內切，則挖去小球后的剩余部分的重心距O點距離為 .2、如圖所示，質量分布均勻、厚度均勻的梯形板ABCD，CD=2AB，求該梯形的重心位置。3、在質量分布均勻、厚度均勻的等腰直角三角形ABC（角C為直角）上，切去一等

3、腰三角形APB，如圖所示。如果剩余部分的重心恰在P點，試證明：APB的腰長與底邊長的比為 ：4. 4、（1）質量分別為m,2m,3mnm的一系列小球（可視為質點），用長均為L的細繩相連，并用長也是L的細繩懸于天花板上，如圖所示。求總重心的位置 5、如圖所示，質量均勻分布的三根細桿圍成三角形ABC，試用作圖法作出其重心的位置。 6、如圖所示，半徑為R圓心角為的一段質量均勻分布的圓弧，求其重心位置。 7、論證質量均勻分布的三角形板的重心在三條中線的交點上8、求半徑為R的厚薄均勻的半圓形薄板的重心9、均勻半球體的重心問題10、均勻圓錐體的重心11、如圖所示，有一固定的半徑為R的光滑半球體，將一長度恰

4、好等于、質量為m的均勻鏈條搭在球體上，其一端恰在球體的頂點上，并用水平拉力拉住鏈條使之靜止，求拉力的大小。12、將半徑為R的均勻薄壁球殼切成兩部分，做成高腳杯，如圖所示。已知高腳杯的腳高為，求高腳杯重心的高度。 二、平衡的種類平衡的種類有：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡穩(wěn)定平衡：處于平衡狀態(tài)的物體受到擾動而離開平衡位置，當擾動撤銷后，仍能回到原來的平衡位置。不穩(wěn)定平衡：處于平衡狀態(tài)的物體受到擾動而離開平衡位置，當擾動撤銷后，不能回到原來的平衡位置。隨遇平衡：處于平衡狀態(tài)的物體受到擾動而離開平衡位置，當擾動撤銷后雖不能回到原來的平衡位置，但仍處于平衡狀態(tài)。例1、一根質量為m的均勻桿，長為L，其一

5、端可繞固定的水平軸旋轉，另一端用勁度系數(shù)相同的水平輕彈簧拴住，使其處于豎直位置，如圖所示。問彈簧的勁度系數(shù)滿足什么要求才能使桿處于穩(wěn)定平衡？ 例2、如圖所示，浮子由兩個半徑為的球冠相結合而成，其質量為，中心厚度為（）長為、質量為的均勻細桿從浮子中心垂直插入，下端恰好到達下球冠表面細桿的鉛垂位置顯然是一個平衡位置，試分析平衡的穩(wěn)定性例3、一個不倒翁可以看成兩部分組成，一部分是半徑為r，底面是球冠的球扇形。球扇形圓錐部分頂角為900，另一部分是一半徑為的球挖去恰當?shù)囊徊糠痔自谇蛏刃紊?，兩球心重合，如圖所示。不倒翁各部分的質量均勻分布。（1）如果把不倒翁按倒在水平面上，放手后，不倒翁仍能立起，則重心

6、位置要滿足什么要求？（2）如果把不倒翁放在一個固定的、半徑為R的大球面上，只要不倒翁與大球面的接觸面為扇形球面，不倒翁就能處于穩(wěn)定平衡，則重心位置要滿足什么要求？ 例4、在固定的半徑為R的半球體上面放“不倒翁”玩具，玩具的下面是半徑為的球面，已知，玩具重心在對成軸上距離最低點為處，要使“不倒翁”在固定的球面上穩(wěn)定平衡，求玩具“不倒翁”的極限傾斜角 例5、桿AB的重心為C，它的A、B兩端分別支在相互垂直的兩光滑斜面上而靜止，如圖所示。試論證該桿的平衡類型。 例6、質量為m、長為b的均勻細棒AB一端用不可伸長的細繩拴住，細繩繞過光滑的定滑輪P與勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連，如圖所示。細棒AB的A端是一

7、在定滑輪P正下方的光滑轉軸，AP=a，已知b a，圖中c=0時彈簧處于原長。試確定細棒AB平衡時的值，并討論平衡的穩(wěn)定性。例7、羅馬教皇卡爾諾為信徒布拉基羅用薄白鐵皮制作了一頂高帽子。高帽子是頂角為、高為的圓錐形。設人頭為直徑的光滑球，問這頂帽子能保持在布拉基羅的頭上嗎？例8、截面為正方形的均勻木塊浮在水面上，如圖所示。為使木塊關于水平軸的擾動是穩(wěn)定平衡，木塊的密度應為多大？ 三、一般物體的平衡【內容】如圖所示，一物體在xoy平面內的F1、F2Fn各力作用下處于靜止狀態(tài)，根據(jù)一般物體的平衡條件可列下列方程：以過坐標原點垂直于xoy平面的直線為轉動軸列力矩平衡方程：對于垂直于xoy平面的任意轉動

8、軸A，坐標為，合力矩為 由式可得：這說明由式可以導出對于垂直于xoy平面的任意轉動軸的力矩平衡，所以，對于平面力系統(tǒng)的物體平衡，有且只有三個獨立的平衡方程，即：、和對于任意垂直于力所在平面的軸合力矩為零，。也可以列、或其他列法，但只能列出三個獨立的平衡方程。若對于三維空間的力平衡，可以列出六個獨立的平衡方程。關于平衡狀態(tài)方程組可總結如下：一條直線上力作用下物體的平衡，有且只有一個平衡方程平面力作用下物體的平衡，有且只有三個獨立的平衡方程。這里指的是最多可列出三個獨立的平衡方程，這三個平衡方程分別是： ， M=0. 三維空間的力作用下物體的平衡，有且只有六個平衡方程。這里指的是最多可列出六個獨立

9、的平衡方程，這六個平衡方程分別是： ， ， Mx=0, My=0, Mz=0【例題講解】第一部分：平面力系統(tǒng)問題例1.內表面光滑的半球形碗，半徑為R，一根重為G、長為的均勻直棒AB，B端擱在碗里，A端露出碗外，如圖所示，求B、C兩點對棒的作用力各是多大？ 例2. 如圖所示，長為L的桿豎立在水平面上，桿與地面間的動摩擦因數(shù)為，桿的上端被固定在地面上鋼索拉住，它與桿間的夾角為，今用水平力作用在桿上，問水平力的作用點距地面高度h滿足什么條件，桿始終不會被拉倒？例3、人對均勻細桿的一端施力，力的方向始終垂直于桿，要將桿從地板上慢慢的無滑動的抬到豎直位置試求桿與地板間的最小靜摩擦因數(shù)例4、如圖所示。寫字

10、臺抽屜長a，寬b，抽屜兩側與側壁之間的摩擦因數(shù)均為，抽屜底面是光滑的，抽屜前方有對稱地安裝著的兩個把手A與B，相距h，要想拉動一個把手將抽屜拉出，問應小于什么值？例5、質量為、長為的均勻光滑細繩，對稱地搭在半徑為的滑輪上，求繩中的最大張力。例6、質量為、長為的均勻桿AB的下端A靠在豎直墻上，借助一條輕繩保持傾斜靜止狀態(tài)。繩的一端連在桿上D點，另一端連在墻上C點，如圖所示。，繩和桿與墻壁成的夾角分別為、，求桿與墻壁之間的靜摩擦因數(shù)滿足什么條件?例7、均勻小木棒放在粗糙球面內，木棒長等于球面半徑，木棒與球面間靜摩擦因數(shù)為，求木棒平衡時與水平方向成的最大角。例8（十一屆復賽）、有一木板可繞其下端的水

11、平軸轉動，轉軸位于一豎直墻面內，如圖所示。開始時，木板與墻面的夾角為150，在夾角中放一正圓柱形木棍，截面半徑為，在木板外側加一力使其保持平衡。在木棍端面上畫一豎直向上的箭頭。已知木棍與墻面之間和木棍與木板之間的靜摩擦因數(shù)分別為、。若極緩慢地減小所加的力，使夾角慢慢張開，木棍下落。問夾角張到時，木棍端面上的箭頭指向什么方向？附三角函數(shù)表：0.1310.2590.5000.866 0.9910.9660.8660.500第二部分：聯(lián)接體問題連接體是指兩個相互關聯(lián)的物體構成的系統(tǒng)。解決連接體問題應注意下列問題：研究對象的選擇：個體和整體；有n個物體構成的連接體，研究對象的選擇次數(shù)最多為n次例1、三

12、個完全相同的圓柱體垛在一起，如圖所示。每個圓柱體的質量均為m，問上面的圓柱體受到下面圓柱體的支持為多少？已知各圓柱體之間及圓柱體和地面之間的靜摩擦因數(shù)均相同，則它們之間的靜摩擦因數(shù)最小為多少它們才不會滾散？例2、 如圖AB、BC、CD和DE為質量相等長度均為2a的四根均勻細桿.四桿通過位于B、C、D的光滑鉸鏈相連，并以端點A和E置于粗糙水平面上，形成對稱弓形，而且在豎直面內保持平衡.若平面與桿件間靜摩擦因數(shù)=0.25，求AE的最大距離及此時C距水平面的高度. 例3、有一半徑為R的圓柱體A，靜止在水平面上，并與豎直墻面接觸?，F(xiàn)有另一質量與A相同、半徑為r的較細的圓柱體B，用手扶著圓柱體A將B放在

13、A的上面，并使之與墻面接觸，如圖所示，然后放手。已知圓柱體A與地面間的靜摩擦因數(shù)為0.20，兩圓柱體之間的靜摩擦因數(shù)為0.30。若放手后兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱體B與豎直墻面間的靜摩擦因數(shù)和圓柱體B的半徑r的值各應滿足什么條件？ 例4、有六個完全相同的剛性長條薄片Ai Bi(i=1，2，6)其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的重力均可不計，現(xiàn)將六個薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由上方俯視如圖所示，若將一質量為m的質點放在薄片A6 B6上的一點，這一點與此薄片中點的距離等于它與小突起A6的距離，求薄片中點所受A1的壓力。例5、直徑分別為D和（）的兩個均

14、勻圓柱體置于粗糙的水平面上，如圖所示。大圓柱體質量為M，小圓柱體質量為，在大圓柱體上繞有一根細繩，在繩端施以水平拉力，設所有接觸面的靜摩擦因數(shù)均為，為使大圓柱體能翻過小圓柱體，問應滿足什么條件？為此所施加的水平拉力=？ 例6、如圖所示，質量相等的兩個圓柱體A、B放于傾角為的粗糙斜面上，已知A圓柱體的截面圓半徑是B圓柱體的截面圓半徑的4倍，兩圓柱體與斜面之間的靜摩擦因數(shù)相等。求系統(tǒng)平衡時兩圓柱體之間的靜摩擦因數(shù)及圓柱體與斜面之間的靜摩擦因數(shù)應滿足什么條件? 例7、如圖所示，有兩根不可伸長的柔軟的輕繩，長度分別為l1和l2，它們的下端在C點相連結并懸掛一質量為m的重物，上端分別與質量可忽略的小圓環(huán)

15、A、B相連，圓環(huán)套在圓形水平橫桿上。A、B可在橫桿上滑動，它們與橫桿間的靜摩擦系數(shù)分別為和。已知l1和l2的數(shù)值，且l1b）的兩點同時做初速度為0加速度為0的勻加速運動以上兩個問題又如何？14、如圖所示，與水平面夾角為的斜面上有一重物M，重物由一不可伸長的線系在與M處于同一豎直面內的P點。斜面以恒定加速度a向右運動。問重物M的運動軌跡如何？它沿這個軌道如何運動？（注：P點與斜面等高） 15、如圖所示，小球A用細繩拴住，將小球置于放在水平面上的半圓柱體上，繩的另一端拴在左側墻壁上，繩子恰好水平。若半圓柱體沿水平面以加速度a向右勻加速直線運動，當它的速度為v時，小球與圓心O的連線和豎直面成角，求此

16、時小球A的速度和加速度。 16、如圖所示，光滑的水平桌面上有兩塊豎直放置的平行擋板A、B，一小滑塊可在兩平行板間的桌面上運動，兩擋板始終保持都以恒定的速率相向運動。初始時，兩擋板間的距離為，小滑塊位于擋板B處并以垂直于擋板的初速度（）開始向擋板A運動，到達擋板A時與擋板發(fā)生第一次碰撞，碰后小滑塊速度方向反向，這樣，小滑塊不停地在兩擋板始之間往返運動，兩擋板始之間的距離也逐漸減小。已知小滑塊與擋板之間碰撞的時間極短，可忽略不計；每次與擋板碰后的速率與碰前速率之差等于，問小滑塊以初速度從擋板B處開始向A運動到與擋板發(fā)生第次碰撞所用的時間為多少？已知小滑塊與擋板發(fā)生第次碰撞時，A、B兩擋板之間仍有一

17、定距離。 二、運用幾何法解決運動學問題1、港口的海岸線平直，一輪船沿與海岸線平行方向以速度v駛近港口，有一速度為v0的小船（v0v）從港口出發(fā)追趕輪船，輪船航線與海岸線相距d，為使小船追上輪船，求小船出發(fā)時輪船到港口沿海岸線方向的最小距離。2、如圖所示，AOB是由兩個彈性板構成的一個夾角10的槽，并固定于光滑水平桌面上，現(xiàn)將一質點從C點沿與AO成600角方向水平射出，速度為=5m/s，質點沿光滑水平桌面運動并與兩彈性板反復碰撞，每次碰撞質點的速度大小都不變，碰撞作用時間不計。已知OC=10m，求：經(jīng)過多少次碰撞質點又回到C點（包括和C點的碰撞）？質點從C點出發(fā)到返回C點用的時間。運動中質點距O

18、點的最近距離。3、臺球桌長a, 寬b, 要使臺球在E點與AD邊碰撞又依次與AB, BC, CD邊碰撞后落入A處的球袋，如圖所示，不計摩擦，碰撞為彈性的，AE=L, 求臺球與AD邊碰撞前的速度方向和AD邊的夾角=？ 4、田野中有條直路，一只山羊沿直路奔跑的速率最大為，在田野里奔跑的最大速率為u，已知u1）?，F(xiàn)突然在木棒的下端給木棒施以很大的沖力，使木棒突然獲得一向上的速度0，（1）若木棒足夠長，求木棒上升的最大高度；（2）若要鐵環(huán)在木棒落地之前不滑離木棒，木棒的長度至少為多少？6、厚度不計的圓環(huán)套在粗細均勻、長度為L的棒的上端，環(huán)和棒的質量均為m，若兩者有相對運動時，他們之間的摩擦力為f=kmg

19、（k為大于1的常數(shù)），棒能沿光滑的豎直細桿上下滑動（棒的中心有細孔），豎直桿的一端固定在地面上，如圖所示。將棒從其下端距地面高度為h處由靜止開始釋放，設棒與地面的碰撞為彈性碰撞，則h為多大時，棒與地作n次碰撞后圓環(huán)從棒上滑脫？7、三塊相同的長木板，一塊疊一塊地放在水平桌面上，若從上到下三塊板依次為、B、C，三板之間的接觸面都是水平的，摩擦因數(shù)從上到下依次為、和，如圖所示。用小榔頭沿水平方向敲最上面的木板A，結果系統(tǒng)經(jīng)過恢復靜止狀態(tài)。現(xiàn)用小榔頭沿水平方向敲最下面的木板C，使其獲得同樣的速度，求撞擊后系統(tǒng)經(jīng)過多長時間恢復靜止狀態(tài)？以上各情況，三板均未分離、認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。8、在水平

20、桌面上靜止著一傾角、質量為的斜面體，一質量為的薄壁圓筒從斜面體上無初速度釋放，圓筒沿斜面無滑動地向下滾動，如圖所示。問斜面體與地面之間的的動摩擦因數(shù)至少多大斜面體才能保持靜止。第四部分、圓周運動與萬有引力【內容要求】圓周運動。剛體的平動和繞定軸的轉動。萬有引力定律。均勻球殼對殼內和殼外質點的引力公式（不要求導出）。開普勒定律。行星和人造衛(wèi)星的運動?！緝热葜v解】一、圓周運動（一）圓周運動的運動規(guī)律、轉動瞬心1、如圖所示，在一個保持勻速轉動的水平轉盤上，有一條穿過圓心的光滑的槽，一個直徑比槽寬略小的鋼球在彈簧槍的作用下從A滑到B，在此過程中，順著鋼球的運動方向看，則A、鋼球先受到左側槽壁的壓力，后

21、受右壁的壓力B、鋼球先受到右側槽壁的壓力，后受左壁的壓力 C、鋼球一直受到右側槽壁的壓力D、鋼球一直受到左側槽壁的壓力 E、鋼球不受槽壁的壓力2、如圖所示，在半徑為4R的固定的大圓環(huán)內，有一半徑為R的小圓環(huán)沿其內壁做純滾動，小圓環(huán)的環(huán)心速率恒為，小圓環(huán)的邊緣上有一點A，當A在圖示位置時，求：（1）A點的加速度大小 （2）A點的軌跡的最大曲率半徑 3、如圖所示，由兩個圓環(huán)組成一個滾珠軸承，在兩環(huán)之間分布的小球半徑為R。外環(huán)以線速度1沿順時針方向轉動，而內環(huán)以線速度2沿順時針方向轉動，小球和內外環(huán)之間均無相對滑動。求小球中心的速度和小球的自轉角速度。 4、一個質量均勻分布的薄圓板，質量為m，半徑為

22、r，在水平桌面上運動，圓板中心的速度大小為，方向保持不變，如圖所示。 圓板對過其中心的垂直軸的旋轉角速度為，圓板與水平桌面間的動摩擦因數(shù)為，與速度無關。試計算在r時，圓板運動中受到的阻力大小。（二）圓周運動的動力學方程式 1、如圖所示，一小環(huán)套在一半徑為r的豎直大圓環(huán)上，二者間摩擦因數(shù)為，大圓環(huán)繞過中心的水平軸在豎直平面內做勻速轉動。為保證小環(huán)不在大環(huán)上滑動，大環(huán)轉動的角速度必須滿足什么條件？2、一個長為2L的直桿AB，其質量不計，在桿的中點上固定一個小球m，今使桿A端沿豎直面運動，B端沿水平地面始終以速度v向右勻速運動，如圖所示，試求當=450時，小球對桿的作用力的大小。3、半徑為R的圓環(huán)繞

23、其豎直直徑軸以角速度勻速旋轉。兩質量m為的珠子用長為L=R的輕桿相連，套在圓環(huán)上，珠子可在圓環(huán)上無摩擦的滑動，如圖所示。試求細桿在環(huán)上的平衡位置（用環(huán)心與桿中點的連線與豎直方向的夾角表示），并分析平衡的穩(wěn)定性。4、一半徑為R的圓盤繞水平軸在豎直面內勻速轉動，圓盤的邊緣速度為，若圓盤的邊緣有水滴從各位置甩出，求甩出的水滴上升的最高點距圓盤最低點的高度及上升到最高點的水滴對應的拋出點位置。5、如圖所示，截面均勻的U型管豎直放置，水平部分長度為2R=40cm。管中放入兩種不同的液體，液體密度之比為1 ：2=2 ：1。當管靜止不動時，兩液體的分界線在U型管的對稱軸上，如果U型管繞對稱軸以的角速度勻速旋

24、轉，液體的分界線向哪個方向移動？移動多少？二、萬有引力開普勒定律、行星圍繞太陽運動的“面積速度”、 行星圍繞太陽運動的“機械能守恒” 均質球體、球殼的引力規(guī)律球質量為M，半徑為R，質點m距地球心的距離為x，試作出質點m受到地球的萬有引力F隨x變化的圖象。推導質點m在質量為M的星球的引力場中，距球心距離為r時的引力勢能為Ep= （以無窮遠處的引力勢能為零）。5、行星的軌道與機械能【例題講解】1、質量為m的質點在地球上高為h1的山頂和在深為h2的礦井底受到地球的萬有引力大小相等，則h1：h2= 2、有一液體星球，半徑為，密度，假設液體不可壓縮，求球心處的壓強。星球表面的大氣壓強很小。3、宇宙飛船繞

25、一行星S以速度V做勻速圓周運動，軌道半徑為R，如圖所示，當飛船經(jīng)過A點時，船長想把飛船的軌道改為經(jīng)過B點的橢圓形軌道，B點距行星球心距離為3R，則飛船在A點其速度應增加多少？飛船在橢圓形軌道上運動的周期是多少？飛船從A點到AB段的中點C用多長時間？從C到B點用多長時間？4、一宇宙飛船在月球上空距月球表面高R（R為月球半徑）的圓形軌道上以速度v做勻速圓周運動，如圖所示。宇宙飛船到達圖中P點時，為降落到月球表面，可采取下列兩種措施：（1）噴氣引擎向前做短時間噴氣，使飛船正好與月球相切于A點，則飛船在P點速度應減少多少？（2）噴氣引擎向外短時間噴氣，使飛船正好與月球相切于B點，則飛船在P點得到的徑向

26、速度為多少？5一顆隕石在飛向質量為M的行星的途中（沿著通過行星中心的直線），碰到繞此行星沿半徑為R的圓軌道運轉的自動宇宙站。站的質量為隕石質量的10倍。碰撞的結果隕石陷入站內，宇宙站過渡到與行星最近距離為的新軌道上。求碰撞前隕石的速度u。6、衛(wèi)星沿圓形軌道運行探測某行星，對它拍照，衛(wèi)星運轉周期為T，行星密度為，試問行星的表面還有多大部分尚未拍攝到？7、以第一宇宙速度垂直于地面向上發(fā)射一枚導彈，導彈在距發(fā)射點不遠的地方落地。若地球半徑為R，表面重力加速度為g，求導彈在空中飛行的時間。8、宇宙飛船在距火星表面H高處作勻速圓周運動，火星半徑為R。假設飛船在極短時間內向外側點火噴氣，獲得一沿半徑向里的

27、速度，其大小為原來速度的a倍，因a較小，所以飛船不會與火星表面相碰，飛船噴出的氣體質量忽略不計。求飛船新軌道的近火星高度h1和遠火星高度h2。設飛船原來飛行的速度大小為，試計算新軌道運行周期。9、要發(fā)射一艘探測太陽的宇宙飛船，使其具有與地球相等的繞日周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測資料。由地球發(fā)射這艘飛船時，應使其具有多大的繞日速度？已知地球公轉速度為010、從地球赤道上某點發(fā)射火箭，要求恰好擊中北極點，求最小發(fā)射速度的大?。ㄏ鄬Φ孛妫?。已知地球表面重力加速度為，地球半徑為，地球自轉角速度為。11、從地球上正對月球發(fā)射一火箭，火箭剛好獲得到達月球的能量，問其后在何處火箭的速度最小，

28、并計算出火箭擊中月球時的速度。以下數(shù)據(jù)均為已知：地球質量M1=61024kg，月球質量為M2=7.51022kg，月球半徑R=1.7106m，月球中心到地球中心的距離為S=3.8108m12、衛(wèi)星繞地球沿著圓軌道以速度運動，運動中受到宇宙塵埃的微弱阻力，衛(wèi)星的半徑以極其緩慢的恒定速率不斷減小，求13、（2001全國物理競賽決賽）假設銀河系的物質在宇宙中呈球對稱分布，其球心稱為銀心，距離銀心相等處的銀河系物質分布相同。又假設距銀心距離為r處的物質受到銀河系的萬有引力和將以r為半徑的球面內所有銀河系物質集中于銀心時所產生的萬有引力相同。已知地球到太陽中心的距離為R0，太陽到銀心的距離a=1.751

29、09 R0，太陽繞銀心做勻速圓周運動，周期T=2.4108年，太陽質量為MS，銀河系中發(fā)光的物質僅分布在r1.5a的范圍內。目前可能測得繞銀心運動的物體距銀心的距離不大于6a，且在ar6a范圍內，物體繞銀心運動的速率是一恒量。按上述條件解答：（1）論證銀河系物質能否均勻分布（2）計算銀河系中發(fā)光物質質量最多為多少？（3）計算整個銀河系物質質量至少有多少？（4）計算銀河系中不發(fā)光物質（即暗物質）質量至少有多少？上述計算結果均用太陽質量MS表示。14、設想萬有引力的大小與兩質點間距離的k次方成正比，即質量分別為M、m且相距r的兩質點P、Q間的萬有引力的大小可表述為：（式中G為恒量）再設質點P固定不

30、動，那么質點Q相對于P的運動軌道仍為一平面曲線，開普勒第二定律仍成立。如果質點Q的諸多運動軌道中存在一種半長軸為a、半短軸為b（ab）的橢圓曲線，試就下列兩種情況求k值P在橢圓的一個焦點上 （2）P在橢圓的中心上提示：橢圓的長軸頂點和短軸頂點處的曲率半徑為和15、在遙遠的宇宙空間，有兩個質量均為m的質點，兩質點相距L，其中一個質點固定，將另一個質點由靜止釋放，求經(jīng)過多長時間兩質點相碰？16、有一彗星的軌道是以太陽為焦點的拋物線，它的軌道與地球的公轉軌道有兩個交點，這兩個交點恰好是地球公轉軌道的直徑兩端點，求彗星在地球公轉軌道內的運行時間。提示：拋物線與過焦點平行于y軸的直線圍成的面積為第五部分

31、、動量守恒定律與能量守恒定律一.動量、沖量、動量定理【內容】1.動量 P=mv 矢量、狀態(tài)量、方向與速度方向相同在數(shù)值上，動量與動能的關系為：2.沖量 力對時間的積累 I=Ft 矢量 過程量3.動量定理 沖量等于動量的變化 Ft=P2-P14.沖量的計算恒力的沖量 用公式 I=Ft計算變力的沖量 一般用動量定理計算。若能夠確定平均力，則由I=計算，只有當物體受方向不變，大小隨時間線性變化的變力時，平均力才有明確的計算方法，即平均力等于初態(tài)力與末態(tài)力的和的一半；若已知力隨時間變化的圖象，則某段時間內力的沖量等于該段時間圖線覆蓋的“面積”。一、沖量的計算與動量定理例1.質量為m的物體從傾角為、高為

32、h的光滑斜面頂端由靜止開始下滑，物體從頂端滑到底端的過程中，重力、支持力及物體受到的合力的沖量各為多少？例2.質量為m的物體靜止在水平面上t秒鐘，物體受到的重力產生的沖量為 .一小球以速率v垂直打在豎直墻壁上，又以v /2的速率反彈，此過程中，彈力對小球的沖量為 .例3.一物體受到一方向不變，大小隨時間按如圖所示變化的力作用，則在06秒的時間內，該力對物體產生的沖量為 NS.例4.光滑水平面上，用長為L的輕繩拴一質量為m 的小球，小球繞繩的另一端在水平面內以速度v勻速圓周運動，則小球轉過半周的過程中，繩子拉力產生的沖量為 .例5.如圖所示質量為m的小球與長為L的輕繩構成一單擺，今使單擺做簡諧運

33、動，當小球從圖中左側最大偏角處擺到右側最大偏角處，此過程中，繩中拉力產生的沖量為多少？例6.高速水射流技術是利用高速水流切割金屬的一項新技術。若高速水流的水流速度為100m/s，則射流打在金屬上可產生相當于 個大氣壓的壓強（不考慮水的反濺）。例7.宇宙飛船以速度v進入密度為的隕石云中，飛船的最大橫截面積為S，若碰到飛船的隕石都附著在飛船上，則飛船在隕石云中勻速運動的牽引力為 .例8.如圖所示，氧氣瓶安裝在小車上，并靠近墻壁靜止，打開瓶口，氧氣以速度v射出，出口的氧氣密度為，瓶口截面積為S，則墻壁受到的壓力為 . 二、動量守恒定律內容（一）動量守恒定律的條件：系統(tǒng)合外力為零（二）動量守恒定律的三

34、種形式系統(tǒng)合外力為零的理想形式內力遠大于外力的近似形式某方向上合外力為零的分量形式習題1.一個系統(tǒng)動量守恒的條件是（A）系統(tǒng)必須不受外力作用 （B）系統(tǒng)受到的合外力為零（C）系統(tǒng)不受摩擦力作用 （D）系統(tǒng)不受內力作用2.兩球做相向運動，發(fā)生正碰后兩球都變?yōu)殪o止，據(jù)此可以判定碰撞前（A）兩球的動量大小一定相等 （B）兩球的質量相等（C）兩球的動量一定相等 （D）兩球的速率一定相等3.物體A的質量是物體B的2倍，兩物體中間壓有一彈簧，用手按住兩物體使它們靜止在光滑水平面上，同時放開兩手的一段時間內（A）物體A的速率是B的一半 （B）物體A的動量小于B的動量（C）物體A和B的總動量為零 （D）物體A

35、和B所受的總沖量為零4.質量為M的小車在水平面上以速度vo勻速向右運動，當車中的砂子從底部的漏斗中不斷流下時，車速將減小 （B）不變 （C） 增大 （D）無法確定5.小車沿平直軌道勻速行駛，某時刻小車上的人同時沿著小車運動的方向向前、向后拋出兩個質量相等的小球，球拋出時相對于地面的速度大小相等，則拋出兩個球后，小車的速度大?。ˋ）與原來的速度相等 （B）比原來的速度小（C）比原來的速度大 （D）無法確定6. 如圖所示，木塊A靜止于光滑的水平面上，其曲面部分MN光滑，水平部分NP是粗糙的，現(xiàn)有一物體B自M點由靜止下滑，設NP足夠長，則以下敘述正確的是（A）A、B最終以同一速度（不為零）運動（B）

36、A、B最終速度都為零（C）A物體先做加速運動，后做減速運動（D）A物體先做加速運動，后做勻速運動7. 如圖所示，質量為m人站在靜止的小車上，車的質量為M，置于光滑的水平面上。若人相對于車以速度v向右運動，則車相對于地的速度為（A）v （B）mv/M （C）mv/（Mm） （D）mv/（Mm） 8.在光滑水平面上靜止著一輛質量為4kg的平板車，一質量為1kg的木塊以2m/s的水平速度被拋到平板車上，則木塊與平板車的共同速度是 m/s。9.兩個靜止在光滑水平面上挨在一起的小車，質量分別為0.5kg和0.2kg，在彈力的作用下分開，較重的小車以0.8m/s的速度向右運動，則較輕的小車速度大小 m/s

37、，方向 。10.一玩具小車質量為m，牽引質量為M的拖車在水平地面勻速運動，速度為vo，某時刻牽引拖車的繩斷了，而小車牽引力不變。當拖車靜止時，小車速度變?yōu)槎啻螅?1.質量m1=10g的小球，在光滑水平面上以v1=30m/s的速率向右運動，恰好遇上質量為m2=50g的小球以v2=10m/s的速率向左運動。若碰撞后m2恰好靜止，則碰后小球m1的速度多大？方向如何？12.如圖所示，在光滑的水平面上，質量為m的小球A以速率vo向右運動時跟靜止的質量為3m的小球B發(fā)生正碰，碰后A球的速率為vo/4，方向仍向右。求碰后B球的速率。13.如圖所示，一車廂長度為L、質量為M，靜止于光滑水平面上。車廂內有一質量

38、為m的物體以速度vo向右運動，與車廂來回碰撞n次后靜止于車廂中，這時車廂的速度為多少，方向如何？14.甲、乙兩船自身質量均為120kg，都靜止在水中，甲船上還有一個質量為30kg的小孩，當小孩相對于地面以6m/s的水平速度從甲船跳上乙船時，不計阻力，甲、乙兩船速度大小之比v甲：v乙= 。15. 如圖所示，兩厚度相同質量、分別為mA=500g和mB=400g的木塊A和B并列放置在光滑水平面上，它們的下表面光滑上表面粗糙，今有一質量為mC=100g的鉛塊C（可看做質點）以速度vo=10m/s沿水平方向滑上A的上表面，鉛塊C最終與木塊B共同以v=1.5m/s向前運動，求鉛塊離開時的速度。16、質量為

39、30kg的小孩甲推著質量為15kg的箱子沿光滑水平面以2m/s的速度勻速運動，質量也是30kg的小孩乙以2m/s的速度相向勻速運動，為避免兩人向碰，甲將箱子推給乙，乙接住箱子后兩人就不會相碰。求甲推出箱子的速度至少是多大？(5.2)17、如圖所示，質量為m=50kg的人站在質量為M=100kg的平板車A上，從光滑斜面上由靜止下滑進入光滑水平面，已知開始下滑點距水平面高度為h=0.2m，當人和車進入光滑水平面時恰好遇到另一質量也是M=100kg的平板車B以=2m/s的速度迎面滑來，為避免相碰，人從A上水平跳到B上，求人跳出的速度在什么范圍內?（5.210） 18、質量為M1=1000kg的船A與

40、質量為M2=500kg的船B相向運動,航線鄰近,當兩船首尾相齊時，相互交換m=50kg的貨物后，A船以8.5m/s的速度沿原方向運動，B停止，求兩船原來的速度大小(1、9)三、反沖現(xiàn)象反沖現(xiàn)象是指物體系統(tǒng)的一部分發(fā)生運動，從而導致另一部分的反向運動。在反沖現(xiàn)象中，確定某部分的位移是一個較為普遍的問題。例1.質量為M、長為L的小船，靜止在平靜的水面上，一質量為m的人從船頭走向船尾，求此過程中小船運動的位移?？偨Y：S被動= 例2. 質量為M、長為L的小船，靜止在平靜的水面上，船頭有一質量為m1的人，船尾有一質量為m2（m2 0一側的每個沙袋質量為m=14kg，x0一側的每個沙袋質量為m=10kg。

41、一質量為M=48kg的小車以某初速度從原點出發(fā)向正x方向滑行。不計軌道阻力，當車每經(jīng)過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號數(shù)）?？哲嚦霭l(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？車上最終有大小沙袋共多少個？ 四、碰 撞內容：一條直線上的碰撞（碰撞前后物體的速度都在同一條直線上）稱為正碰完全彈性正碰：碰撞中不損失動能，碰撞過程既遵守動量守恒又遵守動能守恒。質量相等的兩小球發(fā)生彈性正碰時，兩球交換速度。完全非彈性碰撞：這種碰撞損失動能最大。兩物體碰后結合為一體共同運動時損失動能最大，即為完全非彈性碰撞。證明：

42、設小球m1、m2發(fā)生正碰，碰前兩球總動量為P，碰后兩球速度分別為v1/、v2/，碰后二者總動能為Ek/ ，則： Ek/= 由兩式整理得： 當 時，Ek/最小，此時 ， 即時Ek/最小碰撞損失的動能最大。3.兩物體發(fā)生正碰時，碰撞存在的條件有三個：動量守恒動能關系：碰前總動能不小于碰后總動能若碰后兩物體同向運動，則在前面運動的物體的速度不小于后面物體的運動速度4.光滑水平面上，質量為m1的物體以一定的速度與靜止的質量為m2的物體發(fā)生正碰，碰后m1的運動情況是：m1m2，則碰后m1只能沿原方向運動m1 = m2，則碰后m1可能靜止也可能沿原方向運動（3） 若m1m2，則碰后m1可能被反彈、可能靜止

43、、也可能沿原方向運動 證明：設m1碰前、碰后速度分別為v1、v1/，m2碰后速度為v2/，碰撞存在的條件可得： 整理得： 根據(jù)m1和m2的大小關系，即可確定v1/的取值范圍，v1/若為正，即說明碰后向前運動；反之，則為向后運動。 【習題】1.質量為1kg的甲物體靜止在光滑水平面上，質量為2kg的乙物體以1m/s的速度與甲物體發(fā)生正碰，則碰后兩者的總動能不可能是 （A）1J (B) J (C) J (D) J 2. 半徑相等的兩個小球甲和乙，在光滑水平面上沿同一直線相向運動，若甲的質量比乙大，碰前甲乙動能相等，則碰后兩球的運動狀態(tài)可能是 （96高考13題）(A)甲球速度為零，乙球速度不為零(B)

44、乙球速度為零，甲球速度不為零(C)兩球的速度方向均與原方向相反，而球的動能仍相等(D)兩球速度均不為零3、光滑水平面上，質量為2m的球A以速度v與靜止的質量為m的球B正碰，則碰后A、B速度可能是（以A初速方向為正）(A) -，3v (B) 0，2v (C)v， v (D)v，v4. A、B兩球沿同一光滑直槽同向運動，A的動量為5千克米/秒，B的動量為7千克米/秒。當A球追上B球時發(fā)生正碰，則碰后A、B兩球的動量可能是(A) PA=6 kgm/s PB=6 kgm/s (B) PA =3千kgm/s PB =9 kgm/s (C) PA =2 kgm/s PB =14 kgm/s (D) PA

45、=5 kgm/s PB =17 kgm/s 5. 甲、乙兩球沿同一直線在光滑水平面上正碰，碰前甲、乙動量大小各是6千克米/秒和4千克米/秒，方向相同，乙在前，甲在后。取初動量方向為正，則碰撞前后甲、乙動量變化可能是(A) P1 =4 kgm/s P24kgm/s (B) P1=6 kgm/s P26 kgm/s(C) P1 =10 kgm/s P210 kgm/s (D) P1 =12 kgm/s P212 kgm/s 6. 質量相等的甲乙兩球在光滑水平面上沿同一直線運動。甲以7千克米/秒的動量追上前方以5千克米/秒的動量同向運動的乙球發(fā)生正碰，則碰后甲乙兩球動量可能是(A) 6.5 kgm/

46、s， 5.5 kgm/s(B) 6 kgm/s， 6 kgm/s (C) 5.5 kgm/s，6.5 kgm/s(D) 4 kgm/s， 8 kgm/s 7. 在光滑水平面上，動能為E0，動量的大小為P0的小鋼球1與靜止的小鋼球2發(fā)生碰撞，碰撞前后球1的運動方向相反，將碰撞后球1 的動能和動量的大小分別記為E1、P1，球2的動能和動量的大小分別記為E2、P2，則必有（98高考10）(A) E1E0 (B) P1E0 (D) P2P0 8. 光滑水平面上，A球以8千克米/秒的初動量追上前方以2千克米/秒的動量同向運動的B球與之正碰，碰后A球停止，試確定mA/mB的取值。9. 質量m1的球A以6千

47、克米/秒的動量追上同向運動的動量為4千克米/秒、質量為m2的B球發(fā)生正碰。碰后A的動量變?yōu)?千克米/秒，方向不變。試確定兩球質量比m1/m2的范圍。10. A球以20J的初動能與靜止的B球發(fā)生正碰，碰后A球動能變?yōu)?0J，運動方向不變，A的質量比B的質量大，試確定mA/mB的取值范圍。11. A、B兩滑塊在同一光滑的水平直軌道上相向運動發(fā)生碰撞（碰撞時間極短）.用閃光照相閃光四次攝得的閃光照片如圖所示。已知閃光的時間間隔為t，而閃光本身持續(xù)時間極短，在這四次閃光照相過程中，A、B兩滑塊均在080cm刻度范圍內，且第一次閃光時，滑塊A恰好通過x=55cm處，滑塊B恰好通過x=70cm處，問：碰撞

48、發(fā)生在何處？碰撞發(fā)生在第一次閃光后多長時間？兩滑塊的質量比mA/mB 等于多少？ 五、力學綜合專題物體間的相互作用在物體間相互作用的物理過程中，常常運用動量守恒與能的轉化與守恒解決問題，解決問題的關鍵在于分清動量守恒的過程，了解各物理過程中的能量轉化。以下將通過例題講解認識運用兩個守恒解題的規(guī)律。只有在物體間的相互作用中，才有可能運用動量守恒與能的轉化與守恒解決問題。恰當運用動量守恒的條件分析動量守恒的過程，正確分析能量轉化的過程，是解決問題的關鍵。（一）物體間相互作用的內力為變力或不可知的力解決問題的主要方法是：動量守恒、能的轉化與守恒例1.如圖所示，質量為M的物體A以水平速度0沿光滑水平面

49、向右運動，在A的左側靜止著一質量為m的物體B，B上連有一輕彈簧，A與彈簧接觸后推動B向右運動，求此過程中彈簧獲得的最大彈性勢能。 例2.如圖所示，靜止在光滑水平面上的物體A，含有光滑的四分之一圓弧和粗糙水平面。小物體B從圓弧的最高點由靜止釋放，最終B停止在A的水平面上。A固定時，B相對A的滑行距離為S1，A不固定時，B相對A的滑行距離為S2，則S1 S2（比較大小） 例3. 如圖所示，質量為M，含有光滑四分之一圓弧的物體靜止在光滑水平面上，其下端的切線水平，圓弧的半徑為R，今將一質量為m的小球，由M的圓弧頂端自靜止釋放，求m離開M時，M的速度大小為多少？ 例4.如圖所示，一小物體m放在長為L，

50、質量M的小車上，它們一起在光滑水平面上相距較遠的兩墻之間運動，開始時，m在M的左端，Mm，二者間的動摩擦因數(shù)為，它們一起以 0速度向右運動，與兩墻相碰時不損失動能，試求：（1）L滿足什么條件物體才不從車上掉下？（2）若滿足上述條件，小車第n+1次碰撞前損失的機械能為多少？例5. 質量為M的小車靜止在光滑水平面上，小車內右端靜止著一小物體m，小車的水平底面粗糙，小車左端連著一輕彈簧，小物體突然獲得一水平向左的初速度0，并與彈簧相碰，而后小物體恰好停在初位置，如圖1所示，求（1）小物體與彈簧作用的過程中，彈簧獲得的最大彈性勢能。（2）定性畫出小車的vt 圖象。 例6.如圖所示，質量均為m的物體A、

51、B用輕彈簧相連，它們以相同速度0沿光滑水平面運動，某時刻B與靜止的物體C相碰，碰后B、C結合為一體，C的質量也是m ,求此過程中彈簧的最大彈性勢能。例7.如圖所示，兩塊完全相同的木板長度均為L，重疊放在光滑水平面上，第三塊完全相同的木板沿水平面運動并與重疊放在下面的木板相碰并結合為一體，木板間的動摩擦因數(shù)為，如果要求最后木板1完全移到木板3上，并首尾相齊，求木板3的初速度。 例8.如圖所示，靜止在光滑水平面上的兩塊長木板A、B，其外形完全相同，長度均為L，A的質量為2m，B的質量為3m. 若質量為m 的小物體C以一定速度從左端滑到靜止的A上，最后C恰好滑到A的右端而與A共同運動，之后A與B相碰

52、，AB碰后粘合為一體，已知C與A、B之間的動摩擦因數(shù)相同，求C最終停在何處？例9、質量為m1和m2的物體相互接觸靜止在光滑水平面上，物體m2含有半徑為R的光滑圓弧和粗糙水平面，小物體m（可視為質點）從m2的圓弧頂點由靜止釋放，m與m2的粗糙水平面間的動摩擦因數(shù)為，求m相對于m2的粗糙水平面滑動的距離例10、如圖所示，P是固定的豎直擋板，A是置于光滑平面上的平板小車（小車表面略低于擋板下端）， B是放在小車最左端表面上的一個可視為質點的小物塊。開始時，物體隨小車一起以相同的水平速度向左運動，接著物塊與擋板發(fā)生了第一次碰撞，碰后物塊相對于小車靜止時的位置離小車最左端的距離等于車長的，此后物塊與擋板

53、發(fā)生了多次碰撞，最后物塊恰好未從小車上滑落。若物塊與小車間的滑動摩擦力為定值，物塊與擋板發(fā)生碰撞時無機械能損失且碰撞時間極短，求小車與小物塊的質量關系。 例11、如圖所示，彈簧上端固定在O點，下端掛一木匣A，木匣頂部懸掛一木塊B（可視為質點），A和B的質量都是m=1kg，B距木匣底面高度為h=35cm。當他們都靜止時，彈簧長度為L。某時刻，懸掛B的繩子斷開，B開始自由下落，在木匣上升到速度剛為零時，B和A的底面相碰，碰撞后合為一體，當運動到彈簧長度又為L時，它們的速度為，求（1）碰撞中的動能損失 （2）彈簧的勁度系數(shù) （3）系統(tǒng)靜止時彈簧的彈性勢能 （二）物體間相互作用的內力為可確定的恒力解決

54、問題的主要方法是：動量守恒、能的轉化與守恒及動力學方法。此類問題方法靈活，綜合性強，涉及面廣。例1、質量為M=2kg的小平板車靜止在光滑水平面上，車的左端靜止著一個質量也是2kg的木塊A，如圖所示。一顆質量為20g的子彈B以0=600m/s的速度水平向右射穿A后速度變?yōu)?00m/s，最后A與平板車相對靜止共同運動，A與平板車之間的動摩擦因數(shù)為=0.5，取g=10m/s2。求：（1）A相對于平板車滑行的距離（2）A相對于平板車滑行的時間（3）A與平板車相對滑動的過程中平板車運動的位移例2.如圖所示，平板小車C靜止在光滑水平面上，現(xiàn)有A、B兩個小物體（可視為質點），分別從小車C的兩端同時水平地滑上

55、小車C，初速度為A=0.6m/s,B=0.3m/s. A、B與C間的動摩擦因數(shù)都是=0.1，A、B、C的質量相同. 最后A、B恰好相遇而未碰撞. 且A、B、C以共同速度運動. 取g=10m/s2. 求：（1）A、B、C共同運動的速度.（2）B物體相對地向左運動的最大位移.（3）A物體相對小車滑動的距離.（4）A相對小車、B相對小車滑動的時間各是多少？例3、如圖所示，質量為M=20kg的平板車靜止在光滑水平面上，車上最左端停放著質量為m=5kg的電動小車，電動小車與平板車上的檔板相距L=5m，電動小車由靜止開始向右勻加速運動，經(jīng)時間t=2s電動小車與檔板相碰，碰撞不損失動能。問(1) 碰撞前瞬間兩車的速度各是多大？(2) 若碰后電動小車即可關閉電動機并剎車，已知電動小車與平板車之間的動摩擦因數(shù)為0.5，則從碰撞結束到兩者相對靜止用的時間是多少？（3）平板車在整個運動過程中的路程和位移各是多大？ 例4、如圖所示，質量為M的車廂A靜止在光滑水平面上，在A的水平底