數(shù)學建模論文-養(yǎng)老金該問題的研究

1、企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度改革的探討摘要本文研究了企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革問題，通過分類討論、圖形求解，以及構(gòu)建灰色預測模型，借助MATLAB軟件，建立了三個模型，分別給出了四個問題的解決方案，求解出不同問題下的最優(yōu)答案。對于問題一，首先做出對未來經(jīng)濟的開展和工資增長的假設，以社會的平均工資為因子建立灰色系統(tǒng)預測模型，計算出2021年至2035年山東省職工的平均工資的預測值，然后進行殘差和切近度檢驗，說明我們的假設及模型是合理準確的。對于問題二，我們首先利用均值法求解出不同年齡段時在不同的月收入范圍內(nèi)的平均工資值，利用有關函數(shù)公式，計算出2021年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資的比值；

2、然后根據(jù)附件中的養(yǎng)老保險金計算方法和養(yǎng)老金替代率的定義進行求解，得到6種情況下的替代率：從30歲到55歲、60歲和65歲退休的替代率分別為：32.188%、39.013%、47.069%；從40歲到55歲、60歲和65歲退休替代率分別為21.127%、28.318%、33.454%。從中我們可以得出退休時間越晚，繳費時間越長，替代率越高，個人賬戶支付水平就會越高。對于問題三，根據(jù)缺口的定義，分別算出退休前繳存的養(yǎng)老保險與退休后領取的養(yǎng)老金的額度值，兩者之間的差值即為缺口，得出隨著退休時間的延長，養(yǎng)老保險的收支之差會逐漸減小，并趨于平衡。以此求出55歲、60歲和65歲退休時，到達收支平衡的歲數(shù)分

3、別為67歲、70歲和74歲。由此可知：繳存養(yǎng)老保險的年限越長，那么到達收支平衡時的歲數(shù)就會越大。對于問題四，根據(jù)以上我們所建立的模型可以得出，影響替代率和養(yǎng)老保險基金收支平衡的因素有許多，個人工資及工資的增長率、利率、繳存年齡、退休年齡、平均余命等等，因此既要到達目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險金的收支平衡，我們主要討論了以下措施：1選擇適宜時機延長退休年齡；2政府著力提高個人賬戶投資收益率；3提高個人繳費率。本文最后對建立的預測模型進行了客觀的評價，分析了它的優(yōu)缺點，進而對模型的改良和推廣提供了一些意見。關鍵詞: 養(yǎng)老保險金 灰色預測模型 均值法 MATLAB軟件 一、問題的重述養(yǎng)老金也稱退休金

4、，是一種根據(jù)勞動者對社會所作奉獻及其所具備享受養(yǎng)老保險的資格，以貨幣形式支付的保險待遇，用于保障職工退休后的根本生活需要。我國企業(yè)職工根本養(yǎng)老保險實行“社會統(tǒng)籌與“個人賬戶相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例20%繳納到社會統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個人工資按一定比例8%繳納到個人賬戶。這兩個賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險基金。退休后，按職工在職期間每月或年的繳費工資與社會平均工資之比繳費指數(shù)，再考慮到退休前一年的社會平均工資等因素，從社會統(tǒng)籌賬戶中撥出資金根底養(yǎng)老金，加上個人工資賬戶中一定比例的資金個人賬戶養(yǎng)老金，作為退休后每個月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會隨著社會平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會

5、統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個人賬戶中的余額可繼承。個人賬戶儲存額以銀行當時公布的一年期存款利率計息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關系；工資的增長又與經(jīng)濟增長相關。近30年來我國經(jīng)濟開展迅速，工資增長率也較高；而興旺國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟開展的戰(zhàn)略目標，是要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值到達中等興旺國家水平。現(xiàn)在我國養(yǎng)老保險改革正處于過渡期。養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標是養(yǎng)老保險基金的收支平衡，它關系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡。影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的一個重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休

6、前工資的比例。按照國家對根本養(yǎng)老保險制度的總體思路，未來根本養(yǎng)老保險的目標替代率確定為58.5%. 替代率較低，退休職工的生活水準低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當養(yǎng)老保險基金入不敷出時出現(xiàn)的收支之差。附件1是山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)；附件2是2021年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，附件3是養(yǎng)老金的計算方法。問題一：對未來中國經(jīng)濟開展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設，并參考附件1，預測從2021年至2035年的山東省職工的年平均工資。問題二：根據(jù)附件2計算2021年該企業(yè)各年

7、齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休55歲，60歲，65歲，計算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三：假設該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休55歲，60歲，65歲，并從退休后一直領取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老保險基金的缺口情況，并計算該職工領取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領取的養(yǎng)老金之間到達收支平衡。問題四：如果既要到達目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，你認為可以采取什么措施；請給出你的理由。二、問題的分析問題一的分析根據(jù)對問

8、題一的條件和有關數(shù)據(jù)，要預測2021年到2035年的山東省職工的年平均工資，所以我們想首先要建立一個預測模型，根據(jù)題目中所提供的從1978年到2021年的平均工資數(shù)額，可以看出未來經(jīng)濟和工資是逐漸增長的，在我們作出假設前提下，建立了一個灰色預測模型。根據(jù)2021年該企業(yè)各年齡段的工資分布，我們考慮運用取均值的方法進行求解各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資的比值，然后在我們的假設下，再根據(jù)題目對替代率的定義以及附件中養(yǎng)老金的計算方法進行各個不同情況下的養(yǎng)老金替代率的求解。根據(jù)題目對缺口的定義，我們想可以分別算出退休前繳存的養(yǎng)老保險基金與退休后領取的養(yǎng)老金的額度值，然后計算它們之間的差值，同理可得其

9、它情況下缺口值；依照此方法，要使繳存的養(yǎng)老保險基金與其領取的養(yǎng)老金之間到達收支平衡，即我們可以另兩者的差值為零，從而求解出具體年限。由我們所建立的模型，分析解出的數(shù)據(jù)，再聯(lián)系我國的現(xiàn)實情況，我們提出相應的措施和建議。三、模型的假設1、假設附件中所提供的數(shù)據(jù)是準確無誤的；2、假設未來幾十年內(nèi)社會穩(wěn)定，不會發(fā)生動亂等不安定的影響因素；3、假設不考慮政策等各種人為因素的干擾影響；4、假設未來幾十年內(nèi)養(yǎng)老金制度不會發(fā)生很大的變化四、重要符號的說明不同年齡段時職工工資與該企業(yè)平均工資之比不同情況下的替代率某職工在年的繳存的養(yǎng)老保險基金數(shù)額從退休開始在第年齡時所要領取的養(yǎng)老金的本息和不同情況下的缺口值到達

10、收支平衡時歲數(shù)五、模型的建立與求解灰色預測模型首先我們假設未來幾十年內(nèi)我國經(jīng)濟的開展是持續(xù)穩(wěn)定快速開展的，而且社會的個人工資也是隨著經(jīng)濟的開展而持續(xù)增長的，所以我們考慮運用灰色預測模型進行對未來社會平均工資進行預測?；疑A測是對某個事物開展變化的大小與時間所作的預測，稱之為數(shù)列預測。模型為單序列的一階線性動態(tài)模型，是常用的一種灰色數(shù)列預測模型。此方法不直接使用原始數(shù)據(jù)而是由它產(chǎn)生累加生成數(shù)，對生成數(shù)列使用微分方程模型，這樣可以抵消大局部隨機誤差，顯現(xiàn)出規(guī)律性。具體流程圖如下：以1978年到2021年山東省職工歷年平均工資為數(shù)據(jù)依據(jù)建立灰色預測GM1,1模型預測2021年到2035年的年平均工資

11、對預測所得的數(shù)據(jù)進行分析比擬1灰色預測模型的建立步驟： 以社會平均工資為因子，建立一個灰色預測模型，通過這個模型對未來平均工資進行預測，設對于給定的原始社會的平均工資數(shù)據(jù)序列為：，因為時間數(shù)據(jù)多為隨機的，故一般不能直接用于建模，假設將原始數(shù)據(jù)進行累加生成，可獲得新的數(shù)據(jù)序列：，其中：2對作均值生成序列，得：；其中：；其中構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣為：構(gòu)造數(shù)據(jù)向量為：利用的數(shù)據(jù)數(shù)列我們可以建立微分方程的預測模型為：；3利用最小二乘法求解參數(shù)：；4建立預測公式：我們得到的預測公式為：，其中同理可得的預測公式為：，其中并且規(guī)定：。模型建立：根據(jù)灰色預測模型的一般過程，我們建立模型如下： ()其中為預測值，為累加序

12、列值，為參數(shù)。模型求解：為了預測2021年至2035年的山東省職工的年平均工資，我們先對1978年到2021年的工資增長作了以下的形式圖見下列圖1，圖1由此上圖可得，在1978年到2000年之間的增長率很緩慢，因為當時國內(nèi)經(jīng)濟的增長緩慢，社會不穩(wěn)定等因素所致，所以為了準確的預測未來幾十年平均工資的變化，我們?nèi)?000年至2021年的年平均工資(單位：元)作為我們的初始數(shù)據(jù)；那么初始時間序列為：；然后對其累加求和得到新序列為：；從而我們可得其數(shù)據(jù)矩陣為： ；數(shù)據(jù)向量為：求解的參數(shù)和為：從而我們得到的灰色預測模型為：；模型的檢驗由于灰色系統(tǒng)模型的檢驗方法有多種，常見的有后驗差檢驗，關聯(lián)度檢驗，殘差

13、檢驗等。其中殘差檢驗是一種較為客觀的檢驗方法，所以我們在此采用此方法。我們對平均工資預測值進行檢驗：1計算原始數(shù)列的均值為：2計算原始數(shù)列的均方差為：；其中：；3計算殘差的均值為：；4計算殘差的均方差為：；其中：5計算方差比為：；6進行檢驗：根據(jù)殘差檢驗規(guī)定預測精度等級表見表1c值預測精度等級好0合格勉強合格不合格表1預測精度等級劃分那么可知該模型的預測等級為:“好。那么由我們的預測模型我們可以得到預測值與實際統(tǒng)計值，可得數(shù)據(jù)如表格2所示：年份20062007202120212021統(tǒng)計工資1922822844264042968832074預測工資元1933322925265052979932

14、108誤差0.0054%0.0035%0.0038%0.0037%0.0012%表2 從表中我們可以清晰看出，預測工資與統(tǒng)計工資十分的接近，但是我們發(fā)現(xiàn)預測方程呈指數(shù)增長型，長時間后職工的工資還是會一直無限的增加，所以我們認為該灰色預測模型只適用于短期預測。運用此模型我們預測了2021年到2035年的工資的平均值見下表3。年份20212021202120212021預測工資年份20212021202120212021預測工資年份20212022202320242025預測工資年份20262027202820292030預測工資281984421512年份20312032203320342035

15、預測工資表3 同時我們也對1978年到2021年的統(tǒng)計值與我們對1978年到2035年的預測值作的一個切近程度圖見下列圖2圖2由上圖2，可以看出1978年到2021年的實際統(tǒng)計值的曲線圖與我們預測值的曲線圖很切近，幾乎重合，從而再次證明我們所建立的預測模型是比擬符合實際情況的，同時根據(jù)上表3，我們還可以得到未來25年內(nèi)職工的年平均工資會持續(xù)增加，正好符合我們模型一開始所假設的，從而說明我們所作的假設是比擬合理準確的。問題二模型的建立與求解各個年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比模型的建立與求解：根據(jù)題目中的條件和有關數(shù)據(jù)，我們對2021年該企業(yè)各個年齡段職工的工資表作了處理，由題目附件中的數(shù)據(jù)表

16、所給的形式我們分成8個區(qū)間，假設 ：1：表示第個月收入范圍內(nèi)的平均工資；2：表示第個月收入范圍內(nèi)的第個年齡段內(nèi)所占的人數(shù)；3：表示第個年齡段的人的平均工資值；然后我們運用求均值的方法，根據(jù)公式；得到在各個不同月收入?yún)^(qū)間范圍內(nèi)的平均工資值具體所得的求解值見下表4；月收入范圍1000-14991500-19992000-24992500-2999平均收入月收入范圍3000-34993500-39994000-49995000-8000平均收入6500表4再根據(jù)公式可得到各個年齡段的職工平均工資值： ；然后根據(jù)公式可得到該企業(yè)平均工資值： ；那么最后我們根據(jù)公式可求得不同年齡段時職工工資與該企業(yè)平均

17、工資之比： ；那么套用上面的公式，具體求解的數(shù)據(jù)見下表5：年齡段人數(shù)職工平均工資元工資之比企業(yè)平均工資20-24歲2822579.73元/月25-29歲26330-34歲24235-39歲22640-44歲22145-49歲19450-54歲13555-59歲101表5養(yǎng)老金替代率模型的建立與求解：根據(jù)我們對問題的分析，我們考慮會有各種不確定因素影響?zhàn)B老保險費用的增長速度與社會職工工資增長速度，且影響的程度也會不同，那么就會造成增長速率不同，所以為了計算問題的方便，我們首先假設個人領取養(yǎng)老保險費用的增長速度與社會職工工資增長速度一致，這樣我們就可以根據(jù)題目所給的條件及數(shù)據(jù)進行替代率的求解。1)

18、根據(jù)題目附件中養(yǎng)老金的計算方法，我們可知：其中：表示全省上年度職工月平均工資;表示本人指數(shù)化平均繳費工資其中：表示全省上一年度在崗職工月平均工資；由于要把各個年齡段職工工資與平均工資的比值作為職工的繳費指數(shù)的參考值，所以我們根據(jù)中所求的比值數(shù)據(jù)，作了以下的職工繳費指數(shù)的預測圖見圖3圖3根據(jù)職工繳費指數(shù)的預測圖，我們可以得出到達一定峰值時，繳費指數(shù)會呈下降趨勢，從而我們可以粗略得出在不同年齡段時繳費指數(shù)；然后題目中的所給的數(shù)據(jù)以及問題一中所預測的數(shù)據(jù)進行求解。2)替代率是影響?zhàn)B老保險基金的一個重要因素，并且它是指職工剛退休時的養(yǎng)老保險占退休前工資的比例，即：；從而根據(jù)上述的有關公式，可以得出各個

19、情況下的養(yǎng)老金替代率，我們以30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到55歲退休為例，運用EXCEL進行求解，得到具體數(shù)值見下表6：30歲到55歲退休年份上一年度的平均工資歷年繳費額個人賬戶額200076562001877220021000720031137420041256720051433220061661420071933352021229252021265052021297992021321086202172021920216202162021202166202120214820216120218120222202312024養(yǎng)老金替代率32.188%表6同理我們按照上述的計算方法，可得到下面幾

20、種情況下養(yǎng)老金替代率的值，那么其相應的求解數(shù)據(jù)見下表7：繳存時間段個人賬戶存儲額養(yǎng)老金替代率30歲到55歲532.188%30歲到60歲139.013%30歲到65歲47.069%40歲到55歲321.127%40歲到60歲228.318%40歲到65歲133.454%表7從上表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出替代率與退休年齡之間的關系，退休時間越長，替代率會越高，個人賬戶養(yǎng)老金月領取標準就會越大，可見繳費時間越長，退休越晚，那么退休后的個人賬戶支付水平就會越高。缺口情況模型的建立與求解：根據(jù)題目中的問題和條件，經(jīng)過我們的分析考慮，可知養(yǎng)老保險基金的缺口情況總共有三種。因為題目中個人賬戶儲存額的利率統(tǒng)一

21、設定為3%，養(yǎng)老保險基金由社會統(tǒng)籌基金和個人賬戶資金兩局部組成。然而企業(yè)把職工工資總額按一定比例20%繳納到社會統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個人工資按一定比例8%繳納到個人賬戶。因為題目假設某職工退休后一直到75歲時死亡，那么為了解決問題的方便，首先我們作出以下的假設：假設該企業(yè)某職工在不同年齡時的個人工資等同于此年時的社會平均工資；假設個人領取的養(yǎng)老保險費用的增長速度與社會職工平均工資增長速度一致；假設某職工從退休到75歲死亡之間的養(yǎng)老金該員工不作領取，直至死亡的那 一年全部領取出來。然后再根據(jù)我們的假設，我們可以得到三種情況下的缺口數(shù)額。這里我們以從2000設為1時的年限，年起，30歲設為1時的

22、年齡開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到55歲退休，總共需要繳存25年，并從退休后一直領取養(yǎng)老金，至75歲死亡為例。計算該情況下的養(yǎng)老保險基金的缺口情況，我們設：1：表示某職工在第年的個人工資平均數(shù)額；某職工在第年的繳存的養(yǎng)老保險基金的數(shù)額為：那么某職工25年之后總的繳存的養(yǎng)老保險基金的數(shù)額為：2設：表示退休之后第年的養(yǎng)老金；那么從55歲退休開始在第年齡時所要領取的養(yǎng)老金的本息和為：從而我們可以從55歲一直到75歲總的所領取的養(yǎng)老金本息和：；3)最后可以得到30歲繳費到55歲退休，75歲死亡的這種情況下的缺口為：；下面我們以2000年為例進行相應數(shù)據(jù)的計算：2000年的繳存的養(yǎng)老保險基金的數(shù)額為：元；那

23、么55歲所要領取的養(yǎng)老金的本息和為：元其詳細數(shù)據(jù)見下表8：30歲-55歲繳存情況年份不同年份的繳存額元不同年份繳存養(yǎng)老保險基金數(shù)額元2000200120022003200420052006200720212021202120212021202120212021202120212021202120212021202220231012082024112350總的繳費養(yǎng)老保險基金的數(shù)額1050268表8退休后在不同年份時所要領取的養(yǎng)老金的值見表9：年份20252026202720282029養(yǎng)老金的本息和年份20302031203220332034養(yǎng)老金的本息和年份20352036203720382

24、039養(yǎng)老金的本息和年份20402041204220432044養(yǎng)老金的本息和表9同理可得：某職工30歲時繳納養(yǎng)老保險金，分別在60歲和65歲退休，至75歲死亡時兩種情況下的養(yǎng)老保險基金的缺口情況，詳細值見表10：繳存時間段30歲-55歲30歲-60歲30歲-65缺口情況值元-6565974-3825623-1232268表10那么由上表中的數(shù)值我們可以得到：隨著退休時間的延長，養(yǎng)老保險基金的收支之差會逐漸減小，那么養(yǎng)老保險基金的收支平衡會逐步得到維持。多少歲時到達收支平衡的模型的建立與求解假設要到達收支平衡，那么必須使繳存的養(yǎng)老保險基金與領取的養(yǎng)老保險金之間的差值為零。我們以30歲開始繳存養(yǎng)

25、老保險基金，55歲退休，歲時到達收支平衡為例進行求解，根據(jù)的公式及說明，那么要到達收支平衡必須滿足下式：然后我們運用MATLAB編程，進行上式計算，最終我們得出，當歲時可到達收支平衡。同理我們可得到60歲和65歲退休時，到達收支平衡的歲數(shù)分別為70歲和74歲。由此我們可得繳存養(yǎng)老表現(xiàn)基金的年限越長，那么到達收支平衡時的歲數(shù)就會越大。模型的求解由題意可知：影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的一個重要因素是替代率。按照國家對根本養(yǎng)老保險制度的總體思路，未來根本養(yǎng)老保險的目標替代率確定為58.5%. 替代率較低，退休職工的生活水準低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基

26、金收支平衡較難維持，就可能出現(xiàn)缺口。根據(jù)以上我們所建立的模型可以得出，影響替代率和養(yǎng)老保險基金收支平衡的因素有許多，工資及工資的增產(chǎn)率，利率，繳存年齡，退休年齡，平均余命等等，因此既要到達目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險金基金的收支平衡，我們可以采取以下措施來維持養(yǎng)老保險基金的收支平衡。1選擇適宜時機延長退休年齡根據(jù)我們問題二的模型的建立與求解，假設某職工從2000年30歲開始繳費，繳25年到55歲退休時可領取元，替代率為32.188%，假設繳費滿35年到60歲退休的退休時可領取，替代率為%，兩者個人賬戶工資的替代率相差不大，而個人賬戶養(yǎng)老金月領取標準卻相差很多，可見繳費時間越長，退休越晚，退休后

27、的個人賬戶支付水平就會越高。但是由于現(xiàn)在的國情，所以很難大面積提高退休年齡，但是從長期來看，隨著我國方案生育的執(zhí)行以及老齡化的日益加劇等局面的影響，此種情況將會迅速的轉(zhuǎn)變，因此選擇適宜的時間提高勞動者的退休年齡，不僅能夠增加社會經(jīng)濟開展所需的勞動力，而且能夠延長個人賬戶積累的時間，減少個人賬戶的支出時間，就能有效地提高勞動者養(yǎng)老保險的目標工資替代率，維持了養(yǎng)老保險基金的收支平衡。同時我們也根據(jù)上海市的“柔性退休試行意見，可得到延遲男性一般不超過65周歲，女性一般不超過60周歲。2政府可以著力提高個人賬戶投資收益率因為投資收益率對養(yǎng)老金個人賬戶替代率水平有著重大影響，如果個人賬戶養(yǎng)老金投資收益率低于基準指標一般指通貨膨脹率、工資增長率或繳費期間經(jīng)濟增長率三個標準，就可能面臨貶值的風險，威脅著制度的可持續(xù)運行；按照我們模型的假設，在其它情況相同的條件下，個人賬戶記賬率同社會平均工資增長率越接近，那么個人養(yǎng)老金賬戶的替代率就會越高，然而社會平均工