2022年一次函數(shù)反比例函數(shù)與幾何綜合

1、學習好資料 歡迎下載一次函數(shù)與幾何綜合【例 1】 已知：如圖，直線y3x4 3與 x 軸交于點 A ，與直線y3x 相交于點 P （1）求點 P 的坐標（2）請判斷 OPA 的形狀并說明理由（3）動點 E 從原點 O 出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度沿著 O P A 的路線向點 A 勻速運動（ E 與點 O 、A 重合），過點 E 分別作 EF x 軸于 F ， EB y 軸于 B 設運動 t 秒時，矩形 EBOF 與 OPA 重疊部分的面積為 S 求： S與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式E、F. 點 E 的坐標為（ 8, 0）, 點 A 的坐標為6 0， . 點當 t 為何值時， S 最大，并求S 的

2、最大值【例 2】 如圖 ,直線ykx6與 x 軸 y 軸分別相交于點P x y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點。（1）求 k 值；（2）當點 P 運動過程中，試寫出 OPA 的面積 S與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x 的取值范圍；（3）探究：當 P 運動到什么位置（求 P 的坐標）時，OPA 的面積為27，并說明理由8yFE【例 3】 在平面直角坐標系中，直線y1x6與 x 軸、 y軸分別交于B 、 C 兩點，AOx2直接寫出B 、 C 兩點的坐標；直線 yx 與直線y1x 6 交于點 A ，動點 P 從點 O 沿 OA方向以每秒 1 個單位的速度運動，設運動2t ）過點 P 作 PQx

3、 軸交直線 BC 于點 Q ，若點 P 在線段 OA上運動時 （如圖），時間為 t 秒（即 OP過 P 、 Q 分別作 x 軸的垂線，垂足分別為N 、 M ，設矩形 PQMN 的面積為 S，寫出 S 和 t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S 的最大值；若點P 經(jīng)過點 A 后繼續(xù)按原方向、原速度運動，當運動時間t 為何值時 ,過 P 、 Q 、 O 三點的圓與x 軸相切 . yCPAQB【例 4】 如圖 1，在平面直角坐標系xOy 中，已知直線 AC 的解析式為y3x2 3ONMx，直線 AC 交 x 軸于點 C ，33交 y 軸于點 A （1）若一個等腰直角三角板OBD 的頂點 D 與點 C 重合，

4、求直角頂點B 的坐標；，當點 B 落在直線（2）若（ 1）中的等腰直角三角板繞著點O 順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為0180學習好資料歡迎下載3x 上，并說明理由AC 上的點B 處時，求的值；B 是否在過點 B 的拋物線y2 mx（3）在（ 2）的條件下，判斷點yy A BA BC xx OO C(D)D 圖 1 圖 2【例 5】 在平面直角坐標系中，直線 y 1 x 6 與 x 軸、 y軸分別交于 B 、 C 兩點，2直接寫出 B 、 C 兩點的坐標；直線 y x 與直線 y 1 x 6 交于點 A ，動點 P 從點 O 沿 OA方向以每秒 1 個單位的速度運動，設運動 2時間為 t 秒（即 OP

5、t ）過點 P 作 PQx 軸交直線 BC 于點 Q ，若點 P 在線段 OA上運動時 （如圖），過 P 、 Q 分別作 x 軸的垂線，垂足分別為N、M，設矩形PQMN的面積為S，寫出S和t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S 的最大值；若點P 經(jīng)過點 A 后繼續(xù)按原方向、原速度運動，當運動時間t 為何值時 ,過 P 、 Q 、 O 三點的圓與x 軸相切 . yCPAQB補充：求 |x+y|+|x-y|=5圖像圍成的面積ONMx學習好資料 歡迎下載反比例函數(shù)與幾何綜合【例 1】 如圖所示，P x 1，y 1，P x2，y2， ，P nx n，y n在函數(shù)y9 xx0的圖象上，OP A ，P A A ，P

6、 A A ， ，P A n1A ， 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 斜 邊OA 1，A A 2， ，A n1A n都 在 x 軸 上 ， 則y 1y2yn_yP1P2。O A 1 A 2 x【例 2】 如圖，已知正方形 OABC 的面積為 9，點 O 為坐標原點，點 A 在 x 軸上，點 C 在 y 軸上，點 B 在函數(shù)y k ( k 0，x 0 )的圖像上，點 P ( m ， n )為其雙曲線上的任一點，過點 P 分別作 x 軸、 y 軸的垂線，x垂足分別為 E、F，并設矩形 OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為 S求 B 點的坐標和 k 的值；當 S 9時，求 P 點坐標；2

7、寫出 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式學習好資料 歡迎下載yCBSPFOAEx【例 3】 兩個反比例函數(shù)yk 1和yk 2k1k20在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，動點Pxxk2的圖象于在yk 1的圖象上，PCx 軸于點 C ，交yk2的圖象于點A ， PDy軸于點 D ，交yxxx點 B 求證：四邊形PAOB的面積是定值；當PA2時，求DB BP的值；PC3ABP若點 P 的坐標為5 2，OAB，ABP的面積分別記為SOAB、SABP，設SSOABS求k 的值；y=k2 x當k 為何值時， S有最大值，最大值為多少？yy=k1xBPD AOCx【例 4】 如圖， 點 A 、B 在反比例函數(shù)yk(k0)

8、的圖象上， 且點 A 、B 的橫坐標分別為a和 2a (a0) ACxx軸，垂足為C ，AOC 的面積為 2 （1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若點 (a ，y )，( 2a ，y )也在反比例函數(shù)的圖象上，試比較1y 與y 的大小；（3）求AOB的面積學習好資料 歡迎下載yABO C x【例 5】 已知：在矩形 AOBC 中，OB 4，OA 3分別以 OB，OA 所在直線為 x 軸和 y 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系F是邊BC上的一個動點 （不與B，C 重合），過 F 點的反比例函數(shù) y k ( k 0)x的圖象與 AC 邊交于點 E （1）求證：AOE 與BOF 的面積相等；（2）記

9、S SOEF SECF，求當 k為何值時，S有最大值，最大值為多少？（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點 F ，使得將CEF 沿 EF 對折后， C 點恰好落在 OB 上？若存在，求出點 F 的坐標；若不存在，請說明理由yAECF【例 6】 如圖，點A m m1，B mOBx3，m1都在反比例函數(shù)yk的圖象上x（1）求 m k， 的值；N 為 y 軸上一點，以點 A B， ，M， 為頂點的四邊形是平行四邊形，試求（2）如果 M 為 x 軸上一點，直線 MN 的函數(shù)表達式y(tǒng)A【例 7】 如圖， 已知反比例函數(shù)y12的圖象和一次函數(shù)ykx7的圖象都經(jīng)過點BOxP m， 求這個一次函數(shù)x的解析式；如果等腰

10、梯形 ABCD 的頂點 A B， 在這個一次函數(shù)圖象上，頂點 C， 在這個反比例函數(shù)圖象上，兩底 AD，BC與y軸平行，且 A和B的橫坐標分別為 a 和 a 2，求 a 的值。學習好資料 歡迎下載yD【例 8】 反比例函數(shù)yk和一次函數(shù)y2x1，其中一次函數(shù)圖像經(jīng)過a， ，a1，bOECPxFABk兩點2x（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求出兩函數(shù)的交點A 的坐標在x 軸上是否存在點P ，使AOP 為等腰三角形？若存在，把符合條件的點 P 的坐標都求出來；若不存在，請說明理由【例 9】 如 圖 ， 已 知 反 比 例 函 數(shù)yk 1的 圖 象 與 一 次 函 數(shù)yk xb 的 圖 象 交 于

11、 A B兩 點 ，2xA1， ，B1，22（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在 x 軸上是否存在點P ，使AOP 為等腰三角形？若存在，請你直接寫出P 點的坐標； 若不存在，請說明理由【例 10】將直線 yx 向左平移 1 個單位長度后得到直線a ，如圖，直線 a 與反比例函數(shù)y1x0y的圖象相交于xA ，與 x 軸相交于 B ，則OA2OB2_aA【例 11】如圖，直線 ykxb 與反比例函數(shù)ykx0的圖象相交于點BOxA、點B，與x軸交于點C，其中點Ax的坐標為2，4，點 B 的橫坐標為4（1）試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）求 AOC的面積yAB【例 12】如圖甲，點（，）在函

12、數(shù)kyxk（x0）的圖象上，矩形的邊在COxx 軸上，點是對x角線的中點，函數(shù)ym 。（0）的圖象又經(jīng)過點、，點的橫坐標為x（）求 k 的值；學習好資料 歡迎下載（）用含 m 的代數(shù)式表示、兩點的坐標；（）當ABD45時，求直線的解析式；（）在 （） 的條件下， 延長交y 軸于點， 連接。 若在與之間的這段雙曲線上有一動點，過點作 PGy 軸于點，交線段于點，過點作PHx 軸于點，交線段于點（如圖乙），問CM FN 是否為定值？若是，請求出該定值；若不是請說明理由。（圖甲）（圖乙）【例 13】已知函數(shù)yk的圖象上有一點P m n ，且m n 是關(guān)于x的方程x24ax4 a26 a80的兩個實x

13、數(shù)根，其中 a 是使方程有實數(shù)根的最小整數(shù)，求函數(shù)yk的解析式。x【例 14】心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40 分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散 經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘） 的變化規(guī)律如下圖所示（其中 AB、BC分別為線段， CD 為雙曲線的一部分） ：（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？（2）一道數(shù)學競賽題，需要講 19 分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數(shù)最低達到 36，那么 經(jīng)過適當安排，老師能

14、 否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？【例 15】下面是數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角 ”的方法 （如圖）：將給定的銳角AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數(shù) y 1的圖象交于點 P，以P為圓心、以 2OP為半徑作弧交圖象于點 R分x別過點 P和R作 x 軸和 y 軸的平行線，兩直線相交于點 M，連接 OM得到 MOB，則 MOB= 1 AOB3學習好資料 歡迎下載（1）帕普斯的方法究竟是如何證明的呢？請寫出證明過程（2）你能三等分一個鈍角嗎？（用文字簡要說明）yPAMS【例 16】如圖，已知 RtABC的頂點 A 是一次函數(shù)yxOQmR且HBxm 與反比例

15、函數(shù)y的圖像在第一象限內(nèi)的交點，xSAOB3（1）該一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式是否能完全確定？如能確定，請寫出它們的解析式；如不能確定，請說明理由（2）如果線段 AC 的延長線與反比例函數(shù)的圖像的另一支交于D 點，過 D 作 DEx 軸于 E ，那么ODE的面積與AOB的面積的大小關(guān)系能否確定？（3）請判斷AOD 為何特殊三角形，并證明你的結(jié)論yAE C【例 17】如圖所示，設反比例函數(shù)y1的兩支為C 1，C2，正三角形DOBxPQR 三個頂點位于此反比例函數(shù)的圖象上x（1）求證： P，Q， 不能都在反比例函數(shù)的同一支上， 的坐標yy=x（2）設P1，-1 在C 上， Q、R在C 上，求頂點

16、 QyC 1 PQC 1OQRxORxPC2 C2學習好資料 歡迎下載習題已知直線 y x 3 的圖象與 x、軸交于A、B 兩點，直線 l 經(jīng)過原點，與線段 AB交于點C，把 AOB 的面積分為2:1 的兩部分，求直線 l 的解析式。如圖，在 x 軸上有五個點，它們的橫坐標依次為 1， ， ， ， 分別過這些點作 x 軸的垂線與三條直線 y ax，y a 1 x ，y a 2 x 相交，其中 a 0，則圖中陰影部分的面積是 _yy= (a+2) xy=(a+1) xy=ax如圖，在直角梯形ABCD 中，C45，上底AD3，下底BC5O12345x， P 是 CD 上任意一點，若PC 用 x 表

17、示，四邊形 ABPD 的面積用y 表示(1)求 y與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當四邊形 ABPD 的面積是梯形ABCD 面積的一半時，求點P 的位置ADPB C如圖， P 是函數(shù) y 1( x 0 )圖象上一點，直線 y x 1 交 x 軸于點 A ，交 y 軸于點 B ， PM Ox 軸于 M ，交2 xAB 于 E ， PN Oy 軸于 N ，交 AB 于 F .求 AF BE 的值 . 已知直線 1l 經(jīng)過點 A（10，）與點 B（ ，），另一條直線 2l 經(jīng)過點 B ，且與 x 軸交于點 P m， . （1）求直線 1l 的解析式。（2）若 APB 的面積為 3，求 m 的值。在平面直角坐標系中，CA x 軸于點 A（ ，）， BD x 軸于點 B 3 0 ,直線 CD 與 x 軸、 y 軸分別交于點 F， ，且解析式 y kx 3，S四邊形 ABCD 4，求直線 CD 的解析式。yECDFxOAB如圖，在平面直角坐標系中，點學習好資料yx歡迎下載A5,0， O 是坐標原點，PAOP x y 是第一象限直線6上的點，點的面積為 s ，求 s 與 x 的函數(shù)關(guān)系式 . yP（ x，y）OAx正比例函數(shù)ykx (k0)與反比例函數(shù)y1的圖象相交于A 、C 兩點，過 A 作 A