三角函數(shù)??誘導(dǎo)公式??教案

1、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教案教學(xué)目標(biāo) 1通過本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法和記憶方法 2會運用這些公式求解任意角的三角函數(shù)的值，并會進行一般的三角關(guān)系式的化簡和證明 3培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、解決問題、抽象概括問題的能力，并注意完善學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識 教學(xué)重點與難點 誘導(dǎo)公式的推導(dǎo) 教學(xué)過程設(shè)計 師：我們前面學(xué)習(xí)過誘導(dǎo)公式一，請說出誘導(dǎo)公式一及其文字敘述它在轉(zhuǎn)化任意角的三角函數(shù)中所起的作用是什么？ 生：（學(xué)生口述的同時，教師板書誘導(dǎo)公式一） sin（k360+）=sin，cos（k360+）=cos， tan（k360+）=tan，cot（k360+）=cot （kZ） 文字敘述：終邊

2、相同的角的同一個三角函數(shù)的值相等 它在轉(zhuǎn)化任意角的三角函數(shù)中所起的作用是：把求任意角的三角函數(shù)值的問題，轉(zhuǎn)化為求0360（或02）之間角的三角函數(shù)值的問題 師：（副板書）試求出sin2016的值 生：由公式一， sin2016=sin（5360216）=sin216 （至此，絕大多數(shù)同學(xué)已無法再演算下去了） （以舊知識的復(fù)習(xí)，導(dǎo)出新的問題，使學(xué)生新的求知欲得到激發(fā)，渴望得到回答，以達到以舊帶新，以舊拓新的目的） 看這道具體問題如何求解我們知道090之間的角的三角函數(shù)值可以通過查表求得那么，能否借助一個工具，在090之間找到一個角，把求sin216的值的問題轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值問題？（進一步誘

3、導(dǎo)，使學(xué)生進入憤悱狀態(tài)） 師：（投影圖1）216角的終邊OP在第三象限內(nèi)，將OP反向延長，與單位圓交于P點，則在090之間找到一個角=216-180=36由于OPMOPM，所以有MP=MP又因為sin216=MP，sin36=MP，而MP與MP的長度相同、方向相反，所以有sin216=-sin36這樣便把求sin216的值的問題，轉(zhuǎn)化為可查表的36角的三角函數(shù)求值問題 你能把以上幾何變換的過程，用三角關(guān)系式表示出來嗎？（向“公式化”過渡實際上我們先經(jīng)過了一次將三角問題幾何化利用正弦線） 生：sin216=sin（180+36）=-sin36 師：180270之間角的余弦函數(shù)問題，是否也可以通過

4、這種變換，轉(zhuǎn)化為求角在090之間的三角函數(shù)問題？（遷移作用） （師適當(dāng)提示：觀察余弦線的數(shù)量關(guān)系） 生： 師：180270之間角的正切、余切函數(shù)的求值問題，是否也可以通過這樣的變換轉(zhuǎn)化求值？ （師適當(dāng)提示：方法1，仍通過三角函數(shù)線觀察出結(jié)果；方法2， 生： 師：可見180270之間角的三角函數(shù)求值問題都可以通過類似的變換求出三角函數(shù)的值能否把這種變換求值的方法，總結(jié)成公式形式？ （從具體問題的求解，到公式的形成是一種質(zhì)的飛躍） 師：（適當(dāng)提示：先把180270之間的角用（是090之間的角）表示出來） 生：（板書） sin（180+）=-sin，cos（180+）=-cos， tan（180+）

5、=tan，cot（180+）=cot 師：這組公式通常稱為誘導(dǎo)公式二觀察其結(jié)構(gòu)特征：同名函數(shù)關(guān)系；符號規(guī)律：右邊符號與180+角所在象限（第三象限）角的原三角函數(shù)值的符號相同（為總結(jié)公式的記憶方法打基礎(chǔ)） 師：任意角的三角函數(shù)值問題，可以由公式一化為0360之間角的三角函數(shù)值問題；180270之間角的三角函數(shù)值，又可通過誘導(dǎo)公式二化為090之間角的三角函數(shù)值，從而得出函數(shù)值；那么90180、270360之間的角的三角函數(shù)值問題，能否轉(zhuǎn)化為090之間角的三角函數(shù)值來求出解答？（橫向聯(lián)想，公式二的歸納過程，會對學(xué)生的思維產(chǎn)生正向的影響） 師提示：由對稱性找出角的終邊間的關(guān)系，再證出三角函數(shù)線的數(shù)量

6、關(guān)系，正切、余切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式推出） 生：（討論的同時，完成圖2） 師：（板書） sin（-）= ， cos（-）= tan（-）= ， cot（-）= 生：（板書完成） sin（-）=-sin，cos（-）=cos， tan（-）=-tan，cot（-）=-cot （及時評價、反饋） 為誘導(dǎo)公式三觀察其結(jié)構(gòu)特征：同名函數(shù)關(guān)系；符號規(guī)律是：右邊符號與-所在的第四象限角的原三角函數(shù)值的符號相同 師：（板書） sin（180-）= ， cos（180-）= ， tan（180-）= ， cot（180-）= 生：（完成板書） sin（180-）=sin，cos（180-

7、）=-cos， tan（180-）=-tan，cot（180-）=-cot （師及時評價、反饋） 師：這組公式通常稱為誘導(dǎo)公式四觀察其結(jié)構(gòu)特征：同名函數(shù)關(guān)系；符號規(guī)律：右邊符號與180-所在的第二象限角的原三角函數(shù)值的符號相同 師：由于360-角與-角的終邊相同，它們的同一三角函數(shù)值相等，所以有（板書） sin（360-）=-sin，cos（360-）=cos， tan（360-）=-tan，cot（360-）=-cot 師：目前，連同公式一，我們一共得到了五組誘導(dǎo)公式，利用它們，可以求出任意角的三角函數(shù)值為使公式更具一般性，不妨大膽猜測：若公式中的角為任意角，公式是否仍能成立？（推廣到一般性

8、） 生： 師：大膽猜測，還要小心求證沒有大膽猜測，就沒有事物的發(fā)展和進步；（鼓勵猜想），沒有經(jīng)過證明的結(jié)論總是危險的我們可先以公式二為例，證明究竟誰猜的對（要證明猜測的結(jié)論，學(xué)生情緒進一步高漲） 師：（投影圖3） 生： （師提示：可先由三角函數(shù)線或由三角函數(shù)定義，推出sin（180+）與sin，cos（180+）與cos的數(shù)量關(guān)系，再用同角三角 師：由此可見，為任意角時，公式二仍然成立類似于公式二的推證方法，可以證明公式三也成立而180-可以寫成180+（-），360-又與-角終邊相同，容易推出，對任意角，公式三、四、五也都成立驗證過程由同學(xué)們在課下完成 （給學(xué)生留有細心體驗發(fā)現(xiàn)的空間） （到

9、此完成了又一次的升華） 師：本節(jié)課推得的公式較多，如何記憶這些公式呢？（機械記憶顯然不可行）由推證公式的過程可知，其結(jié)構(gòu)具有一定的規(guī)律性：等號兩邊的函數(shù)名稱相同；符號規(guī)律：把看作銳角時，等號右邊的符號與k360+（kZ）（第一象限角）、-（第四象限角）、180+（第三象限角）、180-（第二象限角）、360-（第四象限角）所在象限的原三角函數(shù)值的符號相同（可回顧圖2） 綜上所述，這些公式可以概括如下：k360+（kZ），-，180，360-的三角函數(shù)值，等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號 師：（投影圖4，用紅色標(biāo)出x軸）由于把看作銳角時，k360+，180，-，360

10、-均可看作由x軸出發(fā)加或減得到的，所以這五組誘導(dǎo)公式又可稱為“水平誘導(dǎo)”公式按如下方法記憶： 水平誘導(dǎo)名不變；符號看象限 師：下面給大家半分鐘，體會上述記憶方法并考慮用弧度制如何表示上述公式？ 生： （師個別提問及時反饋這樣可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)效率） 師：用誘導(dǎo)公式都可以解決哪些問題？（自問自答） 作用1：求值一般可按如下步驟進行：以上步驟可簡化為： 負化正；正化主；主化銳角可查表 （0360之間的角叫做主值或主角） 例1 求下列各三角函數(shù)值 解： 再由誘導(dǎo)公式一“正化主”，注意去掉的是2k即12，而不能去掉 （2）tan2025=tan（5360+225）=tan225=tan（18

11、0+45）=tan45=1 師：新學(xué)公式，不得跳步（3）、（4）小題請同學(xué)完成（各請一位同學(xué)板演，同時教師巡視） （3）cos（-519）=cos519=cos（360+159）=cos159 =cos（180-21）=-cos21=-0.9336 （及時反饋） 師：運用熟練后，還可以總結(jié)出簡煉快捷的求值方法（提出更高的目標(biāo)由公式指導(dǎo)實踐是質(zhì)的又一次升華） 作用2：化簡或證明可把復(fù)雜問題化簡單，直到解決問題 例2 tan（-） 分析：本題既要看代數(shù)結(jié)構(gòu)，三角結(jié)構(gòu)，還要觀察角的結(jié)構(gòu)請同學(xué)觀察： （1）各項均與角有關(guān)，所以先用誘導(dǎo)公式化簡為同角的三角函數(shù)； （2）需求sin，cos，tan的值；

12、（3）求和可得到解答 解：（說明：以上過程可由學(xué)生先解，然后老師及時反饋） 例3 求證： 師：請同學(xué)注意觀察此題的代數(shù)結(jié)構(gòu)、三角結(jié)構(gòu)和角的結(jié)構(gòu)，然后獨立完成（一名同學(xué)板演，同時老師巡視） 證： =1 （師及時反饋） 師：（小結(jié)）誘導(dǎo)公式（二）（五）的推導(dǎo)方法類似，應(yīng)抓住角的終邊位置對稱（關(guān)于原點、y軸、x軸對稱）的特點及三角函數(shù)的數(shù)量關(guān)系、同角三角函數(shù)的關(guān)系 記憶公式，要把握五組公式的結(jié)構(gòu)特征： （1）函數(shù)名稱關(guān)系：函數(shù)名相同； （2）符號規(guī)律：公式右邊的符號為把視為銳角時，角k360+（kZ），-、180，360-所在象限的原三角函數(shù)值的符號（回顧圖2-7） 記憶：水平誘導(dǎo)名不變；符號看象限

13、 應(yīng)用：（1）計算求值步驟可簡單記為：負化正，正化主，主化銳角可查表（2）化簡證明要分析題目的三個結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)、三角結(jié)構(gòu)和角的結(jié)構(gòu) 希望同學(xué)們今后在不斷的應(yīng)用實踐中，總結(jié)出更簡捷的方法和解題步驟（鼓勵學(xué)生不斷實踐和總結(jié)，以達到更好地使公式內(nèi)化的目的） 課堂練習(xí)：課本P158練習(xí)第3題 課外題：課本P163習(xí)題十三第4（1）（4），第5題 課堂教學(xué)設(shè)計說明 一、本節(jié)課的教學(xué)過程： 1復(fù)習(xí)舊知識，引出新課； 2由sin216的求值過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)推證公式的方法和途徑； 3將解題過程抽象化、概括化，推出公式sin（180+）=-sin（其中為090之間的角） 4類比推出公式二，從而推出公式三、四、五； 5推廣到任意角并加以證明； 6找規(guī)律，談記憶； 7講應(yīng)用，說方法； 8例題、小結(jié)、練習(xí)、作業(yè) 二、本節(jié)課的指導(dǎo)思想： 課本上采用的是直接給出90180，180270，270360之間的角，可以用180-，180+，360-（090）來表示，然后加以證明出結(jié)論其簡捷、節(jié)約時間的特點是顯而易見的但總有一種把知識作為“結(jié)果”傳授給學(xué)生的感覺，學(xué)生只要接受、反復(fù)練習(xí)就算完成了“內(nèi)化”的過程而利用環(huán)節(jié)15，把從實踐經(jīng)驗（解題）上升到理論高度（公式），再由理論（公式）去指導(dǎo)實踐（解題）的過程，展現(xiàn)給學(xué)生；也使學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識得到了提高；培養(yǎng)了學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”問題“解決”