例題9-1兩個(gè)半徑分別為R和r的球形導(dǎo)體(Rr)-用一根

1、例題9-1兩個(gè)半徑分別為R和r 的球形導(dǎo)體（Rr），用一根很長(zhǎng)的細(xì)導(dǎo)線連接起來(lái)（如圖），使這個(gè)導(dǎo)體組帶電，電勢(shì)為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關(guān)系。解兩個(gè)導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個(gè)孤立導(dǎo)體系，在靜電平衡時(shí)有一定的電勢(shì)值。設(shè)這兩個(gè)球相距很遠(yuǎn)，使每個(gè)球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場(chǎng)可忽略不計(jì)。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢(shì)。因此，每個(gè)球又可近似的看作為孤立導(dǎo)體，在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設(shè)大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢(shì)為Q得可見(jiàn)大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。因?yàn)閮汕虻碾姾擅芏确謩e為所以可見(jiàn)電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈?。ɑ蚯视螅姾擅婷芏扔?/p>

2、大。例題9.2 在內(nèi)外半徑分別為R1和R2的導(dǎo)體球殼內(nèi)，有一個(gè)半徑為r 的導(dǎo)體小球，小球與球殼同心，讓小球與球殼分別帶上電荷量q和Q。試求： （1）小球的電勢(shì)Vr，球殼內(nèi)、外表面的電勢(shì)； （2）小球與球殼的電勢(shì)差； （3）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢(shì)差； 解（1）由對(duì)稱性可以肯定，小球表面上和球殼內(nèi)外表面上的電荷分布是均勻的。小球上的電荷q將在球殼的內(nèi)外表面上感應(yīng)出-q和q的電荷，而Q只能分布在球殼的外表面上，故球殼外表面上的總電荷量為q+Q。小球和球殼內(nèi)外表面的電勢(shì)分別為球殼內(nèi)外表面的電勢(shì)相等。（3）若外球殼接地，則球殼外表面上的電荷消失。兩球的電勢(shì)分別為（2）兩球的電勢(shì)差為兩球的電勢(shì)差

3、仍為由結(jié)果可以看出，不管外球殼接地與否，兩球的電勢(shì)差恒保持不變。當(dāng)q為正值時(shí)，小球的電勢(shì)高于球殼；當(dāng)q為負(fù)值時(shí)，小球的電勢(shì)低于球殼, 與小球在殼內(nèi)的位置無(wú)關(guān)，如果兩球用導(dǎo)線相連或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負(fù)，也不管球殼是否帶電，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊面上，直到Vr-VR=0為止。例題9-3三個(gè)電容器按圖連接，其電容分別為C1 、C2和C3。求當(dāng)電鍵K打開(kāi)時(shí)， C1將充電到U0，然后斷開(kāi)電源，并閉合電鍵K。求各電容器上的電勢(shì)差。解 已知在K閉合前， C1極板上所帶電荷量為q0 =C1 U0 ， C2和C3極板上的電荷量為零。K閉合后， C1放電并對(duì)C2 、 C3充電，整個(gè)電路可看作

4、為C2、 C3串聯(lián)再與C1并聯(lián)。設(shè)穩(wěn)定時(shí)， C1極板上的電荷量為q1， C2和C3極板上的電荷量為q2，因而有KU0+q0-q0C1C2C3解兩式得因此，得C1 、C2和C3上的電勢(shì)差分別為9.4 半徑R 的介質(zhì)球被均勻極化，極化強(qiáng)度為P。求：1) 介質(zhì)球表面的分布；2) 極化電荷在球心處的場(chǎng)。由此可知，右半球面上左半球面上2) 在球面上取環(huán)帶解：1) 球面上任一點(diǎn)E沿x軸負(fù)方向，和反向。在球心處的場(chǎng)例題9.5 一半徑為R的金屬球，帶有電荷q0,浸埋在均勻“無(wú)限大”電介質(zhì)（電容率為），求球外任一點(diǎn)p的場(chǎng)強(qiáng)及極化電荷分布。解: 根據(jù)金屬球是等勢(shì)體，而且介質(zhì)又以球體球心為中心對(duì)稱分布，可知此時(shí)的電

5、場(chǎng)分布必仍具球?qū)ΨQ性，所以用有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理來(lái)計(jì)算球外P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是很方便的。 如圖所示，過(guò)P點(diǎn)作一半徑為r并與金屬球同心的閉合球面S，由高斯定理知RQ0rPS所以寫(xiě)成矢量式為所以，離球心r處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為因結(jié)果表明：帶電金屬球周圍充滿均勻無(wú)限大電介質(zhì)后，其場(chǎng)強(qiáng)減弱到真空時(shí)的1/r倍, 可求出電極化強(qiáng)度為電極化強(qiáng)度 與 有關(guān)，是非均勻極化。在電介質(zhì)內(nèi)部極化電荷體密度等于零，極化面電荷分布在與金屬交界處的電介質(zhì)變面上（另一電介質(zhì)表面在無(wú)限遠(yuǎn)處），其電荷面密度為于是得因?yàn)閞 1，上式說(shuō)明恒與q0反號(hào)，在交界面處只有電荷和極化電荷的總電荷量為總電荷量減小到自由電荷量的1/r倍，這是離球心r處P點(diǎn)的場(chǎng)

6、強(qiáng)減小到真空時(shí)的1/r倍的原因。 解 （1 ）設(shè)這兩層電介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)分別為E1 和E2 ，電位移分別為D1 和D2 ，E1和E2 都與板極面垂直，而且都屬均勻場(chǎng)。先在兩層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面S1，如圖中中間的虛線所示，在此高斯面內(nèi)的自由電荷為零。由電介質(zhì)時(shí)的高斯定理得例題9-6平行板電容器兩板極的面積為S，如圖所示，兩板極之間充有兩層電介質(zhì)，電容率分別為1 和2 ，厚度分別為d1 和d2 ，電容器兩板極上自由電荷面密度為。求（1）在各層電介質(zhì)的電位移和場(chǎng)強(qiáng)，（2）電容器的電容+E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22所以即在兩電介質(zhì)內(nèi)，電位移 和 的量值相等。由于所以可見(jiàn)在這兩層電

7、介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)并不相等，而是和電容率（或相對(duì)電容率）成反比。為了求出電介質(zhì)中電位移和場(chǎng)強(qiáng)的大小，我們可另作一個(gè)高斯閉合面S2 ，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內(nèi)的自由電荷等于正極板上的電荷，按有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理，得再利用可求得 、 和 、 的方向都是由左指向右。式中q= S是每一極板上的電荷，所以這個(gè)電容器的電容為可見(jiàn)電容電介質(zhì)的放置次序無(wú)關(guān)。上述結(jié)果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況（每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電容器兩極板的表面相平行）。（2）正、負(fù)兩極板A、B間的電勢(shì)差為例題9-7一高壓電器設(shè)備中用一塊均勻的陶瓷片（ r=6.5 ）作為絕緣，其擊穿場(chǎng)強(qiáng)為107V

8、/m，已知高壓電在陶瓷片外空氣中激發(fā)均勻電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng) E1與陶瓷面法線成1=300角，大小為E1=2.0 104V/m 。求（1）陶瓷中的電位移 D2 和場(chǎng)強(qiáng)E2 的大小和方向，（2）陶瓷表面上極化電荷的面密度。解 （1 ）如圖中所示，設(shè)陶瓷內(nèi)電位移 的方向與法線成2角n12D1=1E1D2=2E2陶瓷2空氣1由邊界條件可知小于擊穿場(chǎng)強(qiáng)，所以陶瓷不會(huì)被擊穿（2）極化電荷的面密度為例題9-8如圖所示，在一邊長(zhǎng)為d的立方體的每個(gè)頂點(diǎn)上放有一個(gè)點(diǎn)電荷-e，立方體中心放有一個(gè)點(diǎn)電荷+2e。求此帶電系統(tǒng)的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-e解一 相鄰兩頂點(diǎn)間的距離為d，八個(gè)頂點(diǎn)上負(fù)電荷分

9、別與相鄰負(fù)電荷的相互作用能量共有12對(duì)，即 ；面對(duì)角線長(zhǎng)度為 。6個(gè)面上12對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)負(fù)電荷間的相互作用能量是 ；立方體對(duì)角線長(zhǎng)度為 ，4對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)負(fù)電荷間的相互作用能量是 ；立方體中心到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離是 ，故中心正電荷與8個(gè)負(fù)電荷間的相互作用能量是所以，這個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的總相互作用能量為 解二 任一頂點(diǎn)處的電勢(shì)為 在體心處的電勢(shì)為按式可得這個(gè)點(diǎn)電荷系的總相互作用能為結(jié)果與解一相同9.9 求半徑為R 帶電量為Q 的均勻帶電球的靜電能解一：計(jì)算定域在電場(chǎng)中的能量球內(nèi) r 處電場(chǎng)解二：計(jì)算帶電體系的靜電能再聚集這層電荷dq，需做功：而所以球體是一層層電荷逐漸聚集而成，某一層內(nèi)已聚集電荷例題9-10

10、一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為 Q。斷開(kāi)電源后再把兩極板的距離拉開(kāi)到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為0）。板極上帶電 Q時(shí)所儲(chǔ)的電能為故兩極板的間距拉開(kāi)到2d后電容器中電場(chǎng)能量的增量為解 （1 ）兩極板的間距為d和2d時(shí)，平行板電容器的電容分別為（2）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為F ，拉開(kāi)兩極板時(shí)所加外力應(yīng)等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以例9-11 平行板空氣電容器每極板的面積S= 310-2m2 ，板極間的距離d = 310-3m 。今以厚度為d = 110-3m的銅板平行地插入電容器內(nèi)。（1）計(jì)算此時(shí)電容器的電容；（2）銅板離板極的距離對(duì)上述結(jié)果是否有影響？（3）使電容器充電到兩極板的電勢(shì)差為300V后與電源斷開(kāi)，再把銅板從電容器中抽出，外界需作功多少功？解 （1）銅板未插入前的電容為d1d2dd+-C1C2AB設(shè)平行板電容器兩板極上帶有電荷q,面密度為 =q/S ，即。在銅板平行地兩表面上將分別產(chǎn)生感應(yīng)電荷，面密度也為 ，如圖所示，此時(shí)空氣中場(chǎng)強(qiáng)不變，銅板中場(chǎng)強(qiáng)為零。兩極板A、B的電勢(shì)差為所以銅板插入后的電容C 為2）由