第五章 --復習與小結-B提高（解析版）

1、第五章復習與小結B提高練一、選擇題1. (2021 江西九江高二期末)曲線v - l”在點(4,e?)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為 y v9 TOC o 1-5 h z A. -e-B. 4e2C. 2e2D. /2【答案】Dii L【解析】因為曲線y 所以了 =上小 切線過點(%。2)Af (x) |x=4= e?,切線方程為：y-e2= e2 (x-4),22令y=0,得x=2,與x軸的交點為：(2, 0),令x=0, y=-e2,與y軸的交點為:(0, -e2), 1 1曲線在點(4, e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積/式、2*卜e“二e2. y -e2(2021 .山西師大

2、附中高二期末)對二次函數(shù)/(幻=以2+法+。(。為非零整數(shù))，四位同學分別 給出以下結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，那么錯誤的結論是()A. 1是的零點B.1是的極值點C. 3是/(%)的極值C. 3是/(%)的極值D.點(2,8)在曲線y = /Q)上【答案】A【解析】假設選項A錯誤時，選項B、C、D正確,【解析】假設選項A錯誤時，選項B、C、D正確,fx) = 2ax+b9因為1是/(x)的極值點，3是b = -2a(c = 3 + q因為點(2,8)在曲線丁 = /(同A.函數(shù)g(x)在(2,+co)上為增函數(shù)B. x = 2是函數(shù)g(x)的極小值點/ 、/=。2a + b = 0力

3、的極值,所以1) = 3叫+解得: 上，所以4a= 8，即4o + 2x(2) + + 3 = 8,解得：。=5,所以0 = 10,。= 8,所 以/(x) = 5%210 x+8,因為/(l) = 5x(if10 x(l) + 8 = 23w0,所以一1 不是/(x)的零 點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，應選A.(2021山東荷澤市高二期末)函數(shù)y =在R上可導且/=2,其導函數(shù)尸(x)滿足，/(力一小)0,假設函數(shù)g(x)滿足，g(x) = /(x),以下結論錯誤的選項是()x-2c. xWO時，不等式恒成立 D.函數(shù)g(x)至多有兩個零點【答案】C【詳解】飛(x) = /(x),

4、 .g(x) = 學，那么 eex2時，/Xx)-/(x)0,故 y = g(x)在(2,+o)遞增,選項 A 正確；x2 時,- f(x) 0,故 =g(x)在(00,0)遞減，由g(0) = 平 =2,得用,0時，g(x).g(O),故駕.2,故/(幻.2，應選項C錯誤； ee假設g (2) = g(x)有1個零點，假設g (2) 0,那么函數(shù)y = g(x)沒有零點，應選項。正確.應選：c”、 -2ax + 2a, x, 1,“、八(2019,天津高考)qeR,設函數(shù)/(x) = 4- 假設關于元的不等式/(x).Ox-anx, x 1,在R上恒成立，那么，的取值范圍為()A. OJB.

5、 0,2c.0,eD. l,e【答案】C【詳解】v /(0) 0 ,即。20,(1)當 時，/(x) = x2 - 2ax + 2。= (x - a)2 +2a-a2 2a-cr -。(2 - a) 0,當時，f (1) = 1 0 ,故當。20時，V2奴+ 2。20在(一8上恒成立；X假設x-alnxO在(L+00)上恒成立，即a 在(l,+o)上恒成立，Inxx，/、 lnx-1八令g(x) =，那么g(x)= 73，當函數(shù)單增，當。X 0恒成立，f (x)在(一肛+c。)上單調遞增，Q3 汽/ r71又尸（牛=1苧/（0）0,且存在唯一實數(shù)不（一工使/（%）=0, 1 4即/。=-COS

6、X。，所以了。)在(0,+8)上是增函數(shù)，且/(%)存在唯一極小值點毛,故A,B選項正確.且/(X)在(-七X。)單調遞減，(4,+8)單調遞增，又/(一)=6一+00, /(x0) = eX) +sinx0 = sinx0 -cosx0 =& sin5 - ?)0,所以/(X)在(-肛+0。)上有兩個零點，故D選項正確，C選項錯誤.應選：ABD.6.(多項選擇題)(2021 .福建南平市.高二期末)：/(%)是奇函數(shù)，當x0時，/(X)-/(X)1,/=3,那么()A. /(4)4B. /(4)/(2)C. /(4) 4/ 1D. /(-4) 0,即 A/(#+10, ex_I所以/(：)+

7、10,令g(x)= ；)+l ,那么當0時，g (九)0,函數(shù)g(%)單調遞增，所以g(4)g(3),即等1萼以，化簡得/(4)呢3) + e 1呢3),故A正確； e eg(4)g(2),化簡得/(4)/.2) + /-1/2),所以/（4）v/（2）,又/（%）是奇函數(shù)，所以/（4）/（_2）,故B不正確；g（4）g（l）,即又/=3,化簡得/（4）4/一 1,故 C 正確；e e由C選項的分析得了（4）4/14/+1,所以/（4）4/I,又/（X）是奇函數(shù)，所以/（-4）-4e2-l,故 D 正確,應選：ACD.二、填空題7. （2019.江蘇高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=

8、lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e, -1）（。為自然對數(shù)的底數(shù)），那么點A的坐標是.【答案】（e, 1）.【詳解】設點A（%,No）,那么%=lnx.又y=工， X TOC o 1-5 h z 1X當 x = %時，V =，點 A 在曲線 y = lnx上的切線為 y - % = （x-x0）,即 y lnx（）=1,x（）xo代入點（一G-1）,得一l lnxo=1,即 XolnXo=e,工0考查函數(shù)（x） = xlnx,當（0,1）時，H（x）0,當時，H（x）0,且“x） = lnx+l,當1 時,H（x）0,“單調遞增，注意到H（e） = e,故x（）lnx（）=e存在唯一

9、的實數(shù)根與 =e,此時為 =1,故點A的坐標為A（e, 1）.8.（2021 .湖北荊州市沙市中學高二期末）如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯 形ABCQ的形狀，它的下底是圓。的直徑，上底。、。的端點在圓周上，那么所裁剪出的等腰梯 形面積最大值為.【答案】3g【詳解】連OC,過C作CELO3,垂足為E ,如圖:設。石=羽。石=y ,那么/ + ,2 = 4 ,所以等腰梯形 A3CD的面積 S = ：(2x + 4)y = (x + 2)y =(x+2)JY-J(x + 2)3(2-x),0 x 2令 Zz(x) = (x + 2)、2 - x),Q x 0, /z(x)單調遞增

10、，x e (1,2), hx) 0.=。，因此2(03嚀)2+=0, = 3,從而函數(shù)人力在T0上 3 3 y33單調遞增，在。1上單調遞減，所以/(0由=0), /(%濡=min/(1),/ = /(1), /OOmax += 0)位一D = 1 4 = 一3.(202。全國高考真題)假設直線/與曲線產(chǎn)&和12+y2=J.都相切，那么/的方程為.答案y= x+ 22【詳解】設直線/在曲線y = 4上的切點為(與,后)，那么不。，L，17_ 1函數(shù)y = 的導數(shù)為尸，那么直線/的斜率左=，2Vx2y/ x0設直線/的方程為y-，x-xo),即 x_26y + x()=0,由于直線/與圓Y+y2

11、=J_相切,9 1兩邊平方并整理得5x；4x01 =。，解得%=1, %=-(舍)，那么直線/的方程為x 2y + l = 0,即y = _Lx + L. 22三、解答題(2018全國高考真題)函數(shù)x) = ae歷x1.(1)設x = 2是/(力的極值點.求，并求/()的單調區(qū)間；(2)證明：當時，/(x)0.e【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，利用/(2) =0,求得斫上，從而確定出 2e函數(shù)的解析式，之后觀察導函數(shù)的解析式，結合極值點的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；1xx結合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當定一時，火x)Nlnx-1 ,之后構造新函數(shù)g(九)=lnx-1

12、,eee利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從而求得g (x)途(1) =0,利用不等式的傳遞性，證得結果.詳解：(l)/(x)的定義域為(0，+ 8),廣(1) =aex-X由題設知，ff (2) =0,所以斫，2e2從而f (x)1x t1X1-C llLV 1 , fr (X) =2e22e2 x當 0vxv2 時，/(x) 2 時，ff (x) 0.所以/(x)在(0, 2)單調遞減，在(2, +oo)單調遞增.1eA(2)當 時,f (x) lnx-1 . TOC o 1-5 h z eeex/ 、 e 1設 g (x) =lax-1 ,那么 g(x) =-ee x當0 xl時，gf (x)

13、l時，gf (x) 0.所以x=l是g (x)的最小值點.故當尤0 時，g (x) g (1) =0.因此，當時，f(x)0.（2021 江蘇鎮(zhèn)江高二期末）函數(shù)fCAxS+t/xZ+bx + KaAO/cR）有極值，且導函數(shù)f （X）的極值點是f（x）的零點.（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值）（1）求b關于a的函數(shù)關系式，并寫出定義域；（2）證明:b23a;7（3）假設f（x）, f（x）這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于求a的取值范圍.【解析】試題分析：（1）先求導函數(shù)的極值：x = -9再代入原函數(shù)得3 TOC o 1-5 h z 3370 2 q/（）=生+幺竺+ 1 = 0,化簡可

14、得匕=竺+ 2,根據(jù)極值存在條件可得。3； （2）由 327 939 a（1）得3=生旦+斗，構造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，可得&9 祈9 tg（aG）g（3j5）=G ,即k3。；（3）先求證/（%）的兩個極值之和為零，利用根與系數(shù)關系代入713化簡即得，再研究導函數(shù)極值不小于-一，構造差函數(shù)（。）=-一片十，利用導數(shù)研究其單調性,29a7久。）在（3,+8）上單調遞減.而以6）=-,故可得。的取值范圍.22, a+ b32試題解析:解:（1）由= 丁+辦2+汝 + 1 ,得 r （%） = 3九2+2ox + b = 32 TOC o 1-5 h z 當工=一一時，/（x）有極小值 33

15、因為/（%）的極值點是/W的零點.二廠/Y ah2a2 3所以/ = + + 1 = 0, 乂。0,故/? =1.I 3J 27 9392因為了（X）有極值，故（工）二。有實根，從而 = （27 3”。，即3 9小 74 = 3時，/（%）0（x-l）,故/（x）在R上是增函數(shù)，/（X）沒有極值;。3時，/（尤）=0有兩個相異的實根產(chǎn)一一3 , %2=e2心列表如下X(-00,%)(92)x2(%，+0)(X)十00十/(%)/極大值極小值/故/(x)的極值點是%,%2從而 3,因此人=肛+ 3,定義域為(3,+8). 9 a/ -、I 入b 2ay/a3(2) 由 (1) 知，-=-1尸.yja 9 a-Ja、仄 z It 3 川，/、2 3 2/27設g豆+ 7那么g。)9/=%2當(墳,+8)時，)0,從而g在(豆-,+oo)上單調遞增. 因為。3,所以qJZ3G，故g(aJZ)g(3j5)=J5 ,即7因此b2 3a2(3)由(1)知，/(%)的極值點是%,%，且%+=工即J從而 /(玉)+ /(%2)=片 +鬲 +如 +1 + X； +O)q +Z