高一數(shù)學(xué)專題向量的概念及表示

1、2022/7/14高一數(shù)學(xué)專題向量的概念及表示*2022/7/14請問：金錢豹 能追上小狗嗎？為什么？問 題 情 境：金錢豹以5m/s的速度追趕一只以2m/s逃跑的小狗2022/7/14 由于大陸和臺灣沒有直航，因此2006年春節(jié)探親，乘飛機(jī)要先從臺北到香港，再從香港到上海，這里發(fā)生了兩次位移。 臺北香港上海問 題 情 境：位移和距離這兩個量有什么不同？2022/7/14F=20NV =20km/h （2）（3）都是有大小和方向的量m=20kg(1)(2)(3)觀察下述三個量有什么區(qū)別？合作探究：2022/7/14二、向量的表示方法A也可以表示： a b c d .a一、向量的定義既有大小又有

2、方向的量向量的模大小記為a幾何表示向量常用有向線段表示：有向線段的 長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記為：。 大小記著：AB向量的長度2022/7/14我們現(xiàn)在研究的向量，與起點(diǎn)無關(guān)，用有向線段表示向量時，起點(diǎn)可以取任意位置。所以數(shù)學(xué)中的向量也叫 自由向量如圖：他們都表示同一個向量。不是，溫度只有大小，沒有方向。不是，方向不同1、溫度有零上和零下之分，溫度是向量嗎？為 什么？2、向量 AB 和 BA 同一個向量嗎？為什么？aa說明1：小試牛刀2022/7/14有向線段與向量的區(qū)別：有向線段：有固定起點(diǎn)、大小、方向向量：可選任意點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)、有大小

3、、有方向。ABCDABCD有向線段AB、CD是不同的。向量 AB、CD 是同一個向量。說明2：2022/7/141、零向量2、單位向量單位向量大小為1，方向 不一定相同。所以 0 向量只有一個，而單位向量可以有無數(shù)個 0 向量大小為0，方向不確定的?？梢允侨我夥较颍洪L度為 0 的向量。記作 0：長度為 1 個單位長度的向量。說明3：兩個特殊向量思考：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量， 它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？2022/7/14三：向量之間的關(guān)系3.平行向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我們規(guī)定零向量與任一向量平行兩向量的平行與平面幾何里兩線段的平行有什么區(qū)別？2022/

4、7/144.相等向量的定義：長度相等且方向相同的向量相反向量的定義：三：向量之間的關(guān)系A(chǔ)BDC2022/7/14任意一組平行向量都可以平移到同一直線上三：向量之間的關(guān)系5.共線向量與平行向量的關(guān)系：平行向量就是共線向量兩向量的共線與平面幾何里兩線段的共線是否一樣？ 為什么？說明：在平行向量、共線向量、相等向量的概念中應(yīng)注意零向量的特殊性2022/7/14例1：已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標(biāo)出的向量中：解：DOAFEBC2022/7/14AB分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，例2：在圖中的45方格紙中有一個向量（1）其中與相等的向量有多少個？（2）與長度相等的共線向量有多少個？

5、2022/7/14合作探究：共有2種不同的模共有8種不同的向量2022/7/14若改為12的方格紙中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，可得到多少種不同的模？多少種不同的向量呢？變式訓(xùn)練共有4種不同的模共有14種不同的向量2022/7/14題：題：123456789101112題：歡迎來到：過關(guān)競技場2022/7/14練習(xí)：1、單位向量是否一定相等？2、單位向量的大小是否一定相等？BACK不一定一定2022/7/14練習(xí)：1、平行向量是否一定方向相同？2、不相等的向量一定不平行嗎？BACK不一定不一定2022/7/14BACK練習(xí)1、與零向量相等的向量一定是什么向量？2、與任意向量都平行的向量是什

6、么向量？零向量零向量2022/7/14BACK練習(xí)1、若兩個向量在同一直線上，則這兩個 向量是什么向量？2、共線向量一定在一條直線上嗎？共線向量 或者說平行向量不一定2022/7/14BACK練習(xí)：在質(zhì)量、重力、速度、加速度、身高、面積、體積這些量中，哪些是數(shù)量？哪些是向量？數(shù)量有：質(zhì)量、身高、面積、體積向量有：重力、速度、加速度2022/7/14在下列結(jié)論中，哪些是正確的？（1）如果兩個向量相等，那么它們的起點(diǎn)和終 點(diǎn)分別重合；（2）模相等的兩個平行向量是相等的向量；（3）如果兩個向量是單位向量，那么它們相等；（4）兩個相等向量的模相等。正確的有：（4）2022/7/14練習(xí):1.設(shè)O為正A

7、BC的中心,則向量AO,BO,CO是 ( ) A.相等向量 B.模相等的向量 C.共線向量 D.共起點(diǎn)的向量 BABCO2022/7/14BACK練習(xí):命題：“a=b”成立，則“ a = b ”一定成 立2022/7/14BACK練習(xí)： 1.已知a、b為不共線的非零向量,且存在向量 c,使 c a, c b, 則 c =_02022/7/14BACK練習(xí)： 1.與非零向量 a 平行的向量中，不相等的單位向量有_個.2 2022/7/14練習(xí)：如圖,EF是ABC的中位線,AD是BC 邊上的中 線,在以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線 段表示的向量中請分別寫出（1）與向量CD共線的向量有_個,

8、分別是_；（2）與向量DF的模一定相等的向量有_個,分別是_；（3）與向量DE相等的向量有_個,分別是_。 ABCDEFBACK7DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC5FD,EB,BE,EA,AE2CF, FA2022/7/14如圖,D、E、F分別是ABC各邊上的中點(diǎn)，四邊形BCMF是平行四邊形，請分別寫出： （1）與ED相等的向量； （2）與ED共線的向量；（3）與FE相等的向量；（4）與FE共線的向量。ABCDFEMBACK(1) 3個(2) 9個(3) 3個(4) 11個2022/7/14課堂小結(jié)向量向量的大?。＃┫蛄康姆较蛳蛄康谋硎玖阆蛄繂挝幌蛄科叫邢蛄浚ü簿€向量）2022/

9、7/14向量最初被應(yīng)用于物理學(xué)，被稱為矢量很多物理量，如力、速度、位移、電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度等都是向量。大約公元前年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示為向量向量一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓。課堂小結(jié)向量及向量符號的由來2022/7/14空間向量及其運(yùn)算2022/7/14復(fù)習(xí)回顧：平面向量1、定義：既有大小又有方向的量。幾何表示法:用有向線段表示字母表示法：用小寫字母表示，或者用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。相等向量：長度相等且方向相同的向量ABCD2022/7/142、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算向量加法的三角形法則ab向

10、量加法的平行四邊形法則ba向量減法的三角形法則aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空間向量的數(shù)乘空間向量的加減法2022/7/14ababOABb結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。思考：它們確定的平面是否唯一？思考：空間任意兩個向量是否可能異面？2022/7/14平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法交換律加法結(jié)合律

11、數(shù)乘分配律加法交換律數(shù)乘分配律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法結(jié)合律成立嗎？2022/7/14abcOBCab+abcOBCbc+(平面向量)向量加法結(jié)合律在空間中仍成立嗎?ab+c+()ab+c+()AA( a + b )+ c = a +( b + c )2022/7/14abcOABCab+abcOABCbc+(空間向量)ab+c+()ab+c+()( a + b )+ c = a +( b + c )向量加法結(jié)合律：空間中2022/7/14推廣:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；（2）首尾相接的

12、若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量。2022/7/14平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律小結(jié)加法交換律數(shù)乘分配律加法結(jié)合律類比思想 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零2022/7/14例如:定義: 我們知道平面向量還有數(shù)乘運(yùn)算. 類似地,同樣可以定義空間向量的數(shù)乘運(yùn)算,其運(yùn)算律是否也與平面向量完全相同呢?2022/7/14 顯然,空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律2022/7/142022/7/14例1：已知平行六面體AB

13、CD-A1B1C1D1，化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D12022/7/14ABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的軌跡所形成的幾何體.a記做ABCD-A1B1C1D12022/7/14例1：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D1GM 始點(diǎn)相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所示向量2022/7/14F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF32022/7/14例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D12022/7/14例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D12022/7/14例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D12022/7/14例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D12022/7/14ABMCGD練習(xí)1在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)M、G分別是BC、CD邊的中點(diǎn),化簡2022/7/1