三次數(shù)學(xué)危機及其影響

1、三次數(shù)學(xué)危機及其影響數(shù)學(xué)歷史之：一. 第一次數(shù)學(xué)危機一. 第一次數(shù)學(xué)危機1.危機的起因： 第一次數(shù)學(xué)危機是由 不 能寫成兩個整數(shù)之比引發(fā)的。畢達(dá)哥拉斯（約公元前580-前500）古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家例：如邊長為1的正方形，對角線的長度就不能以整數(shù)之比表示。 危機的實質(zhì)： 是無理數(shù)，全體整數(shù)之構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴充，需要添加無理數(shù).當(dāng)時古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機。他采用了一個十分巧妙的關(guān)于“兩個量之比”的新說法，回避了它是無理數(shù)的實質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的幾何原本中也采用了這一說

2、法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。危機的解決 徹底解決這一危機是在19世紀(jì)，依賴于數(shù)系的擴張。直到人類認(rèn)識了實數(shù)系，這次危機才算徹底解決，這已經(jīng)是兩千多年以后的事情了二. 第二次數(shù)學(xué)危機 第二次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓 “無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。微積分的奠基人萊布尼茨 牛頓 所以，由“無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機，實質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。無窮小量例如：微積分有時把無窮小量看作 無窮小量 = 0 無窮小量 0

3、 由于這些問題，引起了數(shù)學(xué)界的極大爭論，就就是所謂【第二次數(shù)學(xué)危機】. 三、第三次數(shù)學(xué)危機1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光集合論 到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。羅素悖論但羅素在1903年出版了數(shù)學(xué)的原理，書中提到著名的羅素悖論，使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)產(chǎn)生了裂紋，因而震動了整個數(shù)學(xué)界，這就是所說的第三次數(shù)學(xué)危機。理發(fā)師悖論羅素羅素悖論的通俗化“

4、理發(fā)師悖論”：某村的一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？最后，這些既屬于自己而又不屬于自己的集合 (Set)，便成了集合論的矛盾，引發(fā)起第三次數(shù)學(xué)危機。 危機的消除 危機出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。 1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統(tǒng)。 1922年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進(jìn)一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論的ZF-系統(tǒng)。再后來，還有改進(jìn)的ZFC-系統(tǒng)。 這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論的發(fā)展過程，悖論消除了。 但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起