冀教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué) 第22章 專訓(xùn)2　常用構(gòu)造中位線的五種方法

1、專訓(xùn)2常用構(gòu)造中位線的五種方法名師點(diǎn)金：三角形的中位線具有兩方面的性質(zhì)：一是位置上的平行關(guān)系，二是數(shù)量上的倍分關(guān)系因此，當(dāng)題目中給出三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可以直接連出中位線；當(dāng)題目中給出一邊的中點(diǎn)時(shí)，往往需要找另一邊的中點(diǎn)，作出三角形的中位線 連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線1如圖，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點(diǎn)P，M，N分別為AC，AD，CE的中點(diǎn)(1)求證：PMPN；(2)求MPN的度數(shù)(第1題) 已知角平分線和垂直構(gòu)造中位線2如圖，在ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AD為ABC的外角平分線，且ADBD，若AB12，AC18，求DM的長(zhǎng)(第2題

2、)3如圖，在ABC中，已知AB6，AC10，AD平分BAC，BDAD于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)(第3題) 倍長(zhǎng)法構(gòu)造三角形的中位線4如圖，在ABC中，ABC90，BABC，BEF為等腰直角三角形，BEF90，M為AF的中點(diǎn)，求證：MEeq f(1,2)CF.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：54274020】(第4題) 已知一邊中點(diǎn)，取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線5如圖，在ABC中，C90，CACB，E，F(xiàn)分別為CA，CB上一點(diǎn)，CECF，M，N分別為AF，BE的中點(diǎn)，求證：AEeq r(2)MN.(第5題) 已知兩邊中點(diǎn)，取第三邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線6如圖，在ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是A

3、D的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)N，求證：ANeq f(1,3)AC.(第6題)答案1(1)證明：如圖，連接CD，AE.由三角形中位線定理可得PMeq f(1,2)CD，PNeq f(1,2)AE.ABD和BCE是等邊三角形，ABDB，BEBC，ABDCBE60，ABEDBC.ABEDBC，AEDC.PMPN.(2)解：如圖，設(shè)PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，AE交BD于Q.由(1)知ABEDBC，BAEBDC.又DQHBQA，AHDABD60，F(xiàn)HG120.易證四邊形PFHG為平行四邊形，MPN120.(第1題)2解：如圖，延長(zhǎng)BD，CA交于N.(第2題)由題易知NADBAD，A

4、DNADB90.又ADAD，ANDABD.DNDB，ANAB.又M為BC的中點(diǎn)，DM為BNC的中位線，DMeq f(1,2)NCeq f(1,2)(ANAC)eq f(1,2)(ABAC)15.3解：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，AD平分BAC，BADCAD.BDAD，ADBADF，又ADAD，ADBADF(ASA)AFAB6，BDFD.AC10，CFACAF1064.E為BC的中點(diǎn)，DE是BCF的中位線DEeq f(1,2)CFeq f(1,2)42.(第3題)4證明：如圖，延長(zhǎng)FE至N，使ENEF，連接BN，AN.易得MEeq f(1,2)AN.(第4題)EFEN，BEF90，BE垂直平分F

5、N.BFBN.BNFBFN.BEF為等腰直角三角形，BEF90，BFN45.BNF45，F(xiàn)BN90，即FBAABN90.又FBACBF90，CBFABN.在BCF和BAN中，eq blc(avs4alco1(BFBN，,CBFABN，,BCBA，)BCFBAN.CFAN.MEeq f(1,2)ANeq f(1,2)CF.5證明：如圖，取AB的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MHeq f(1,2)BF，NHeq f(1,2)AE.CECF，CACB，AEBF.MHNH.點(diǎn)M，H，N分別為AF，AB，BE的中點(diǎn)，MHBF，NHAE.AHMABC，BHNBAC.MHN180(AHMBHN)180(ABCBAC)90.NHeq f(r(2),2)MN.AE2NH2eq f(r(2),2)MNeq r(2)MN.(第5題)(第6題)6證明：如圖，取NC的中點(diǎn)H，連接DH，過(guò)點(diǎn)H作HEAD，交BN的延長(zhǎng)線于E.ABAC，ADBC，D為BC的中點(diǎn)又H為NC的