物理-經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中的諧振子

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)目 錄摘要（關(guān)鍵詞）1Abstract（Key words） 1前言11.經(jīng)典力學(xué)中的諧振子11.1簡(jiǎn)諧振子 11.2受驅(qū)諧振子 21.3阻尼諧振子 31.4受驅(qū)阻尼諧振子 31.5數(shù)學(xué)描述 31.6經(jīng)典諧振子的計(jì)算 42.量子力學(xué)中的諧振子 52.1一維諧振子 52.1.1哈密頓算符和能量本征態(tài) 52.1.2 階梯算符方法 62.1.3自然長(zhǎng)度和自然能量82.2三維諧振子 82.3諧振子的相干態(tài) 92.3.1降算符的本征態(tài)92.3.2相干態(tài)的性質(zhì) 103.經(jīng)典諧振子和

2、量子諧振子的比較 103.1能級(jí)103.1.1能級(jí)取值點(diǎn) 103.1.2零點(diǎn)能 103.2波函數(shù)11參考文獻(xiàn) 13致謝 13經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中的諧振子摘要：諧振子在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中都是比較重要的問(wèn)題，原因在于簡(jiǎn)諧振動(dòng)廣泛存在于自然界中，而許多體系都可以看成諧振子。本文著重介紹了經(jīng)典力學(xué)中諧振子的的幾種類(lèi)別及其相關(guān)物理量的求解和量子力學(xué)中一維諧振子、三維諧振子以及相干態(tài)的相關(guān)知識(shí)，最后對(duì)經(jīng)典和量子兩個(gè)范疇內(nèi)的諧振子進(jìn)行了比較。關(guān)鍵字：諧振子；經(jīng)典力學(xué)；量子力學(xué)；相干態(tài)Abstract：Harmonic oscillator is important in both classical an

3、d quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillation widely exists in nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillator system. In this paper, we mainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics a

4、nd the relevant property of one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator, and its coherent state in quantum mechanics, finally compare harmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.Key words：Harmonic oscillator；Classical mechanics；Quantum

5、 mechanics；Coherent states前言何為諧振？在運(yùn)動(dòng)學(xué)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，該振動(dòng)是物體在一個(gè)位置附近往復(fù)偏離該振動(dòng)中心位置（即平衡位置）進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)振動(dòng)形式下，物體受力的大小總是和他偏離平衡位置的距離成正比，并且受力方向總是指向平衡位置。何為諧振子？把振動(dòng)物體看作不考慮體積的微?；蛘哔|(zhì)點(diǎn)的時(shí)候，這個(gè)振動(dòng)物體就叫諧振子。1.經(jīng)典力學(xué)中的諧振子經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)諧振子就是一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)其從平衡位置發(fā)生位移，就會(huì)受到一個(gè)正比于位移x的恢復(fù)力F，并遵守胡克定律：其中k是一個(gè)大于零的常數(shù)，由系統(tǒng)決定。如果F是系統(tǒng)所受到的唯一的力，則系統(tǒng)被稱作簡(jiǎn)諧振子。而其進(jìn)行的往復(fù)運(yùn)動(dòng)稱作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)正中央為

6、平衡點(diǎn)的正弦或余弦的振動(dòng)，且振幅與頻率都是常數(shù)。若同時(shí)存在一個(gè)正比于速度的摩擦力，則會(huì)存在阻尼現(xiàn)象，那么這種諧振子稱為阻尼振子。在這種情況下，其振動(dòng)頻率小于無(wú)阻尼情況的振子，且振幅隨著時(shí)間減小?；蛘?，若同時(shí)存在一個(gè)與時(shí)間相依的外力，該諧振子稱為受驅(qū)振子。1.1簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子沒(méi)有驅(qū)動(dòng)力，也沒(méi)有摩擦，所以合力單純?yōu)椋?(1.1.1)利用牛頓第二定律，有： (1.1.2)而且加速度a等于x的二次微分導(dǎo)數(shù)，得： (1.1.3)若定義，則方程可以寫(xiě)為： (1.1.4)又因?yàn)椋?(1.1.5)然后代回（1.1.4）式，得到： 對(duì)方程積分，得： (1.1.6)其中K是積分常數(shù)，設(shè)，得到： (1.1.7)再

7、對(duì)方程積分，結(jié)果（包括積分常數(shù)）為： (1.1.8)并有一般解為： (1.1.9)其中振幅以及相位可過(guò)初始條件來(lái)決定。另外也可以將一般解寫(xiě)成： (1.1.10)其中的值與（1.1.9）式相比，偏移了；一般解又可以寫(xiě)作為： (1.1.11)其中與為透過(guò)初始條件決定的常數(shù)，以替代前面形式的與。其振動(dòng)頻率則為： (1.1.12)動(dòng)能為： . (1.1.13)以及勢(shì)能為： (1.1.14)所以系統(tǒng)總能為定值： (1.1.15)1.2受驅(qū)諧振子一受驅(qū)諧振子滿足如下非齊次二階線性微分方程 ， (1.2.1)其中A0是驅(qū)動(dòng)振幅，是驅(qū)動(dòng)頻率，針對(duì)的是一弦波式的驅(qū)動(dòng)機(jī)制。這樣的系統(tǒng)出現(xiàn)在交流LC（電感L-電容C

8、）電路以及理想化的彈簧系統(tǒng)（沒(méi)有內(nèi)部力學(xué)阻力或外部的空氣阻力）。1.3阻尼諧振子阻尼諧振子滿足如下二階微分方程 ， (1.3.1)其中是阻尼常數(shù)，滿足關(guān)系式。滿足此方程的一個(gè)例子為置于水中的加權(quán)彈簧，假設(shè)水所施的阻尼力與速度v呈線性比例關(guān)系。阻尼諧振子的頻率為： (1.3.2)其中 （1.3.3） 1.4受驅(qū)阻尼振子受驅(qū)阻尼振子滿足方程 。 （1.4.1）其一般解為兩個(gè)解的和，一個(gè)為暫態(tài)解（ 無(wú)驅(qū)動(dòng)阻尼諧振子的齊次常微分方程的解），與初始條件相關(guān)；另一個(gè)為穩(wěn)態(tài)解（非齊次常微分方程的特殊解），與初始條件無(wú)關(guān)，只與驅(qū)動(dòng)頻率、驅(qū)動(dòng)力、阻尼力有關(guān)。穩(wěn)態(tài)解為： （1.4.2）其中 （1.4.3）為阻抗或

9、線性響應(yīng)函數(shù)的絕對(duì)值 （1.4.4）而 （1.4.5）為相對(duì)于驅(qū)動(dòng)力（相位定為0）的振動(dòng)相位。由上述關(guān)系式可以看出，當(dāng)在某特定驅(qū)動(dòng)頻率時(shí)，振子振動(dòng)的振幅達(dá)到最大。這個(gè)特定的驅(qū)動(dòng)頻率為： （1.4.6）此時(shí)，產(chǎn)生的現(xiàn)象稱之為（位移上的）共振。總結(jié)來(lái)說(shuō)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，振動(dòng)頻率等同于驅(qū)動(dòng)力的頻率，但振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)力在相位上有偏移，且振幅大小與驅(qū)動(dòng)頻率相關(guān)；當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率與振動(dòng)系統(tǒng)偏好（共振）頻率相同時(shí)，振幅達(dá)到最大。1.5完整數(shù)學(xué)描述多數(shù)諧振子，基本上滿足以下的微分方程： （1.5.1）其中t是時(shí)間，b是阻尼常數(shù)，是本征角頻率，而代表驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的某種事物，其振幅為，角頻率為，x是進(jìn)行振蕩的被測(cè)量量，可以是位置、電

10、流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關(guān)，關(guān)系式為 （1.5.2）經(jīng)典振子描述中的重要術(shù)語(yǔ)有：振幅：偏離平衡點(diǎn)的最大的位移量。周期：系統(tǒng)完成一個(gè)振蕩循環(huán)所需的時(shí)間，為頻率的倒數(shù)。頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)系統(tǒng)執(zhí)行的循環(huán)總數(shù)量（通常以1赫茲 = 1/秒為量度）。角頻率： = 2f相位：系統(tǒng)完成了循環(huán)的多少（開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)的相位為零；完成了循環(huán)的一半時(shí)，系統(tǒng)的相位為）。初始條件：t = 0時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)。1.6經(jīng)典諧振子的計(jì)算一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿ox軸運(yùn)動(dòng)，它所受到的回復(fù)力可從勢(shì)函數(shù)的微商得到。勢(shì)函數(shù)為： （1.6.1）力的表達(dá)式為： （1.6.2）i是沿ox軸的單位矢量。運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)成： （1.6.3）

11、令 （1.6.4）（1.6.3）式可變?yōu)椋?（1.6.5）方程（1.6.5）的解具有下列形式： （1.6.6） 它表示一個(gè)正弦運(yùn)動(dòng)，其振幅為，相位為，角頻率為，相應(yīng)的頻率是： （1.6.7） 只與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和恢復(fù)力常數(shù)有關(guān)，而振幅和相位都與運(yùn)動(dòng)初始條件有關(guān)。 振子的總能量E是： （1.6.8）動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式為： （1.6.9） （1.6.10）顯然總能量在運(yùn)動(dòng)中是不變的，即 （1.6.11）且由（1.6.9）（1.6.10）式知：當(dāng)時(shí)，勢(shì)能有最小值0，而此時(shí)動(dòng)能具有最大值；而當(dāng)時(shí)，勢(shì)能具有最大值，而此時(shí)動(dòng)能值最小為0。進(jìn)一步，對(duì)于經(jīng)典振子： （1.6.12）經(jīng)典振子的速度v為; （1.6.

12、13）利用，且已知： （1.6.14） （1.6.15）其中為振幅，平衡點(diǎn)為原點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，由（1.6.15）式知此時(shí)經(jīng)典振子的速度v有最大值，即經(jīng)典振子在處逗留時(shí)間最短，出現(xiàn)的幾率最小。2.量子力學(xué)中的諧振子2.1一維諧振子2.1.1哈密頓算符與能量本征態(tài)和經(jīng)典力學(xué)中的一樣，一維諧振子的總能量也為： (2.1)二一維諧振子的哈密頓量為： (2.2)其中x為位置算符，動(dòng)量算符。(2.2)式中第一項(xiàng)代表粒子動(dòng)能，而第二項(xiàng)代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對(duì)應(yīng)的能量本征態(tài)，我們必須了解所謂的“定態(tài)薛定諤方程”： . (2.3)我們可以用冪級(jí)數(shù)方法在座標(biāo)基底下解這個(gè)微分方程?？梢缘玫接幸蛔宓慕猓?/p>

13、 (2.4)其中。函數(shù)為厄米多項(xiàng)式： 所以，我們得到的諧振子的能級(jí)為：， (2.5)由(2.5)式。我們可以得知以下幾點(diǎn)：首先，能量是量子化的，只有離散的值即乘以1/2, 3/2, 5/2。這是許多量子力學(xué)系統(tǒng)的特征。再者，其基態(tài)能量（當(dāng)n= 0 時(shí)的能量）不為零，即 這是粒子波動(dòng)性的必然結(jié)果，這一結(jié)果表明靜止的波是不存在的。在基態(tài)中，根據(jù)量子力學(xué)，我們知道一振子執(zhí)行所謂的“零振動(dòng)” 且其平均動(dòng)能為正值。最后，諧振子的能階值是等距的，與波爾模型和盒中粒子問(wèn)題不同。引入厄米多項(xiàng)式，我們最后得到諧振子對(duì)應(yīng)于能量本征值的能量本征函數(shù)為： (2.6)我們會(huì)注意到基態(tài)的概率密度集中在原點(diǎn)。這表示粒子多數(shù)

14、時(shí)間處在勢(shì)阱的底部，合乎對(duì)于一幾乎不帶能量狀態(tài)的預(yù)期。當(dāng)能量增加時(shí)，概率密度變成集中在“經(jīng)典轉(zhuǎn)向點(diǎn)”，其中狀態(tài)能量等同于勢(shì)能。這樣的結(jié)果與經(jīng)典諧振子相一致；經(jīng)典的描述下，粒子多數(shù)時(shí)間處在（或更有機(jī)會(huì)被發(fā)現(xiàn)在）轉(zhuǎn)向點(diǎn)，因?yàn)樵诖颂幜Ｗ铀俣茸盥?。因此滿足對(duì)應(yīng)原理。2.1.2階梯算符方法上述的冪級(jí)數(shù)解法雖然直觀，但是卻顯得相當(dāng)復(fù)雜。階梯算符方法允許我們不用解微分方程，就能直接求得能量本征值。首先，我們定義算符與其伴隨算符： (2.7)算符并非厄米算符，它與伴隨算符并不相同。算符與有如下性質(zhì)：在推導(dǎo)形式的過(guò)程中，我們已用到算符x與p（代表可觀測(cè)量）為厄米算符這樣的事實(shí)。這些可觀測(cè)量算符可以被表示為階梯算

15、符的線性組合： (2.8)x與p算符遵守下面的等式，稱之為正則對(duì)易關(guān)系： . (2.9)利用上面關(guān)系，我們可以證明如下等式： (2.10)于是引入一個(gè)厄米算符 (2.11)即： (2.12)既然與有簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，它們必可同時(shí)對(duì)角化。記的一個(gè)本征值為n的本征態(tài)為： (2.13)則 ， (2.14)表示態(tài)的能量本征值為： (2.15)這與前段所給的能譜相符合。這方法也能夠用來(lái)很快地找到量子諧振子的基態(tài)波函數(shù)。只要將消滅算符作用于基態(tài)，變?yōu)椋?(2.16)所以， (2.17)經(jīng)過(guò)歸一化，這個(gè)方程的解為： (2.18)2.1.3自然長(zhǎng)度與自然能量量子諧振子擁有自然長(zhǎng)度與自然能量?jī)蓚€(gè)自然尺度，可以用來(lái)

16、簡(jiǎn)化問(wèn)題。這可以透過(guò)無(wú)量綱化來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果我們以為單位來(lái)測(cè)量能量，以及為單位來(lái)測(cè)量距離，則薛定諤方程變成： (2.19)且能量本征態(tài)與本征值變成： (2.20) (2.21)2.2三維諧振子三位諧振子的能量本征值方程為： （2.22）其中 （2.23）為諧振子的勢(shì)。引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù)、，并定義 （2.24）則能量本征值方程簡(jiǎn)化為： (2.25)設(shè)，分離變量得到的整個(gè)體系的能量本征函數(shù)為： （2.26）其中，。諧振子的能量本征值為： （2.27）由此可見(jiàn)，三位諧振子的基態(tài)能量。2.3諧振子的相干態(tài)相干態(tài)是量子力學(xué)中量子諧振子能夠達(dá)到的一種特殊的量子狀態(tài)。量子諧振子的動(dòng)力學(xué)性能和經(jīng)典力學(xué)中的諧振子很相似

17、。1926年埃爾溫薛定諤在解滿足對(duì)應(yīng)原理的薛定諤方程時(shí)找到的第一個(gè)量子力學(xué)解就是相干態(tài)。2.3.1降算符的本征態(tài)做一維運(yùn)動(dòng)的粒子，坐標(biāo)與動(dòng)量的差方平均值滿足下列不確定關(guān)系：， （2.28）上式表明粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)取確定值，且兩者的差方平均值之積不小于。也就是說(shuō)，它表明只有在某個(gè)態(tài)上這種誤差取最小值，即最小不確定態(tài)，它是不確定程度的最小的狀態(tài)，就是相干態(tài)。相干態(tài)也可以理解為最接近經(jīng)典狀態(tài)的量子狀態(tài)。對(duì)于線諧振子而言，在粒子數(shù)表象中，基態(tài)下的不確定關(guān)系為： （2.29）而是降算符的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為0，即 （2.30）于是，可以推測(cè)的本征態(tài)為最小不確定態(tài)。設(shè)降算符滿足本征方程： （2.

18、31）降算符不是厄米算符，一般情況下，它的本征值z(mì)是復(fù)數(shù)。在粒子數(shù)表象中，將其本征矢向的本征矢展開(kāi)： （2.32）為了求出展開(kāi)系數(shù)，將上式代入（2.31）左端，得到： （2.33） 將其與（2.31）式右端比較，得到： （2.34）繼而得到展開(kāi)系數(shù)的遞推關(guān)系： （2.35）將上式代入（2.32）式，得到： （2.36）再利用歸一化條件定出，最后得到降算符的本征態(tài)為： （2.37）2.3.2相干態(tài)的性質(zhì)a.相干態(tài)滿足b.相干態(tài)不是粒子數(shù)算符的本征態(tài)，但有確定的粒子數(shù)。c.在相干態(tài)中，出現(xiàn)的頻率為 d.不同的相干態(tài)一般并不正交，且滿足 其中與為降算符的兩個(gè)不同的本征值。e.全部（無(wú)限多）相干態(tài)構(gòu)成

19、完備系，即 3.經(jīng)典諧振子與量子諧振子的比較經(jīng)典諧振子與量子諧振子有著本質(zhì)的區(qū)別，下面將逐一進(jìn)行比較：3.1能級(jí)3.1.1能量取值點(diǎn)由（1.6.9）（1.6.10）式可知經(jīng)典諧振子的能量取值是連續(xù)的，而由（2.5）式可知量子諧振子的取值不是連續(xù)的，是分立的，即是量子化的，其中n為量子數(shù)。而且量子諧振子的能級(jí)是等間距的，間距是。能量取分立值是由于微觀粒子具有波粒二象性這一量子特征。3.1.2零點(diǎn)能由（1.6.9）式可知當(dāng)時(shí)，經(jīng)典諧振子的最低動(dòng)能為零，而由（2.5）式可知，量子諧振子在基態(tài)的能量不為零。即當(dāng)n=0時(shí)，,被稱為零點(diǎn)能。它與無(wú)限勢(shì)阱總粒子的基態(tài)能量（ n=1,2,3.）不為零是很相似的

20、，這是一種量子效應(yīng),也是由于微觀粒子具有波粒二象性。同樣，也可用不確定度關(guān)系進(jìn)行定性說(shuō)明。利用坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定關(guān)系，可得：諧振子的能量不確定度關(guān)系：使極小的的值可由極值條件，得到：可求得，因此諧振子的零點(diǎn)能為：可見(jiàn)諧振子的基態(tài)是諧振子問(wèn)題的最小不確定態(tài)，這是由其量子本性所決定的。 3.2波函數(shù)經(jīng)典力學(xué)中，諧振子表現(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)沿一條直線的振動(dòng)，它沒(méi)有軌道的概念，沒(méi)有波函數(shù)。而量子力學(xué)的諧振子就用波函數(shù)來(lái)描述。在量子力學(xué)中波函數(shù)本身無(wú)意義，但波函數(shù)的絕對(duì)值平方與粒子在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的幾率成正比。首先我們以基態(tài)進(jìn)行討論。對(duì)于量子諧振子的基態(tài)： ， 其相應(yīng)的幾率密度為：容易得知其在x=0處有最大值：，即在原點(diǎn)找到粒子的概率最大，由于能量，可知此時(shí)的經(jīng)典回轉(zhuǎn)點(diǎn)為。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，能量為E的諧振子所能達(dá)到離平衡位置最遠(yuǎn)的距離是稱為諧振子的經(jīng)典回轉(zhuǎn)點(diǎn)。a、由于經(jīng)典諧振子在x=0處勢(shì)能最小，并由（1.6.9）（1.6.10）式可知，此時(shí)的動(dòng)能必定最大（機(jī)械能守恒），即諧振子的速度最大，見(jiàn)（1.6.11）式，振子在x=0處逗留時(shí)間最短，因此經(jīng)典諧振子在x=0處的幾率最小。而按量子力學(xué)計(jì)算，由上述關(guān)系知，在x=0處的幾率卻是最大的（見(jiàn)圖1）.經(jīng)典力學(xué)中與量子力學(xué)中剛好相反。b、當(dāng)經(jīng)典諧振子的能量為時(shí)，經(jīng)典回轉(zhuǎn)點(diǎn)，經(jīng)典振子只