全國高中物理競賽相對論專題訓(xùn)練題答案

1、練習(xí) 1解析（ 1）設(shè)電子處于靜止?fàn)顟B(tài)時的質(zhì)量為m0，光子的頻率為，假定電子能完全吸收光子的能量，吸收光子后，電子以速度運(yùn)動，則這一過程應(yīng)遵循動量守恒定律，有hm0c1()2c碰撞后系統(tǒng)的總能量為Emc2m0c21( )2c由、式消去，得 Em02c4h22碰撞前電子與光子的總能量為E0hm0c2E2224h22222h m0c20由、式有E0（m0 c）（ hm0c ）這表明，所假設(shè)的過程不符合能量守恒定律，因此這一過程實(shí)際上不可能發(fā)生。2）束縛在金屬中的電子和射入金屬的光子二者構(gòu)成的系統(tǒng)在發(fā)生光電效應(yīng)的過程中動量不守恒，只需考慮能量轉(zhuǎn)換問題。設(shè)電子擺脫金屬的束縛而逸出，需要對它做功至少為

2、W（逸出功），逸出金屬表面后電子的速度為，入射光子的能量為h ，電子的靜止質(zhì)量為 m0，若能產(chǎn)生光電效應(yīng)，則有 hm0c22Wm0c21()逸出電子的速度一般都比光速小很多，故有11 1 21 ()22 c2c忽略高階小量，只取式中的前兩項，代入式，可得到1 m0 2 W2可見，只要 hW式就能成立，光電效應(yīng)就能產(chǎn)生。練習(xí) 2解析 1）（ a）設(shè)光子被吸前的動量為h 1 ek ， ek 為一單位矢量，光子被吸收后原子c核的動量為 P1 ，則由動量守恒定律得P1h 1k ，即2c2h22ceP11由能量守恒定律( Pc1 )2(Mc 2E)2h 1Mc 2兩邊平方 ( Pc)12( Mc2E)2

3、( h 1Mc 2 )2代入 P2c2 h22 ，可得 2Mc 2 h1E(2Mc 2E)11E(1E于是得到所求光子頻率為1Mc2 )h（ b）設(shè)發(fā)射的光子動量為h 2ek ，發(fā)射后原子核的動量P2 ，則由動量守恒定律得cP2h 2 ek0 ，即 P22 c2h222c由能量守恒定律( P2 c) 2(Mc 2 )2h 2(ME2 )c2由以上兩式得 2( Mc2E(2Mc 2cE)h 2E)于是求得所求光子頻率為2E (1E2 )hMc（ 2）由上面的結(jié)果可見。處在激發(fā)態(tài)的靜止核所輻射出的光子能量h 2E(1E2 )McE ) ，因 h 2而處在基態(tài)的同類靜止核所吸收的光子的能量為h 1E

4、 (1h 1 ，故h 2Mc 2不能被吸收。練習(xí) 3解析 （ 1）設(shè)向右運(yùn)動的電子為S 系，則按伽利略變換，在S 系中看另一電子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c，這與光速不變的實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾，所以是不合理的。（ 2）設(shè)實(shí)驗(yàn)室為參照系S，一個電子參照系為S ，則 S 相對于 S 系的速度是0.6c ，另一個電子相對于S 系的速度為-0.6c ，按洛侖茲變換，另一個電子相對于S系的速度是ux ，則vxvu xv1c2 vxvvx1v2 (v)=c2v= 1v 2 c 20.88c0.88c c，即小于光速，這就是說， 以一個電子為參照物看另一個電子的速度是與實(shí)驗(yàn)相符合，是合理的。練習(xí) 4解

5、析在微觀領(lǐng)域相對論動量守恒、相對論能量守恒。故有m0 vm vm0 c 2m0 c 2m c 2v4c521/1(521/1()3cc將代入得：與代入得：5 mc 2mc 2m c 2 , m8 m000335m04c8m0v , vc .而 mm0 /1(v ) 2 ,故可得 m04 3m0 .3532c3c2 ，靜止質(zhì)量為43 m即復(fù)合粒子的速率為3。練習(xí) 5S 系中，F(xiàn)mam dvd (mv ) ,Fdtd ( mv )證明：在dtdtt2v2即 t 2兩邊同時作定積分得：t1Fdtv1d( mv)t1Fdtmv2 mv1 ,這就是 S 系中質(zhì)點(diǎn)的動能定理的數(shù)學(xué)公式。在S 系Fma ,F

6、mdv( mv )F dtd (mv )dt,中dtt2Fdtv2 dmv , t2Fdtmv2mv1兩邊同時作定積分可得：t1v1t1這就是 S 系中的質(zhì)點(diǎn)動量定理的數(shù)學(xué)公式。為回避高等數(shù)學(xué)，可設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿x 軸正方向，在平行于x 軸的恒定的合外力F 作用下作勻加速直線運(yùn)動。經(jīng)過時間t，速度從v1 增大到 v2，根據(jù)牛頓第二定律在S 系中有Fv2v1ma mt整理得：Ftmv2mv1這就是 S 系中的質(zhì)點(diǎn)動量定理。在S 系中，F(xiàn)F,v2v1(v2u)(v1 u) v2v1,tt即F tmv2mv1此即 S 系中的質(zhì)點(diǎn)動量定理。練習(xí)6解析根據(jù)相對論能量守恒有MC 21 m1 C 22

7、m2 C 2化簡得：1 M2m2m1根據(jù)相對論動量守恒有O1mv112m2v2但1/ 1 (v)2 ,v c 2 1,c將c2v1111c21v22和2代入式化簡得:m121 m22112由、兩式可解得：hv0hvmglhvhv0c2gLr1( M2m2m2) / 2Mm1 ,r 2 ( M2m2m2) / 2Mm2,1221Ek1( 11)m1C 2C 2 ( M m1 ) 2m 2 2 / 2M ;Ek 2( 21)m2C 2C 2 (M m2 )2m21 / 2M .練習(xí) 7hv0 的光子，其質(zhì)量mhv0解析（ 1）對于能量為c2，在重力場中，當(dāng)該光子從地面到達(dá)接收器時，增加的重力勢能為

8、mgh。由能量守恒得得v0v(1gL )c 2vv0 (1gL )c 22）設(shè) t=0 時刻，箱子從靜止開始加速，同時，激光光波的某一振動狀態(tài)從發(fā)射器發(fā)出，任何時刻t ，發(fā)射器和接收器的位置分別為1 at 22xL1 at 22所考察的振動狀態(tài)的位置和比該振動狀態(tài)晚一個周期T0 的振動狀態(tài)的位置分別為：x=ctx1 aT2c(tT)200設(shè)所考察的振動狀態(tài)在t1 時刻到達(dá)接收器，則有ct1L1 at122解得t1c(112aLac2 )比所考察的振動狀態(tài)晚一個周期T0 發(fā)出的振動狀態(tài)到達(dá)接收器的時刻為t 2 ，則有1 aT0 2c(t2T0) L1 at 2 222解得c (12aL2aT0a

9、 2T02t21)ac2cc2接收器接收到的激光的周期為T=t 2 -t 1c12aL12aL2aT0a 2T02)= a (c2c2cc2c2aL2aT01c)12(1ac12aLc2caL)1(1aT01(1c 2c)a12aLc 2caL)aT0(12aL(1c 2cc2)acaT02a 2 LT 0a2 LT 02a3 L2 T0)(cc3c3c 3acaT0a 2 LT0)(cc3aT0 (1aL )c 23）TT (1gL )0c 2比較上述兩式得a=g ，即“箱子”的加速度a=g 方向豎直向上。練習(xí) 8解析（ 1 ）設(shè)空間站與太陽的距離為r ，則太陽輻射在空間站反射面上單位面L積

10、內(nèi)的功率即光強(qiáng)4 r 2，太陽光對反射面產(chǎn)生的壓強(qiáng)是光子的動量傳遞給反射面的結(jié)果，這一光壓為P2Lc2 r 2 c于是反射面受到的輻射壓力F輻射PALA2 r 2 cM smF引力 G太陽對空間站的萬有引力為r 2式中 G為萬有引力常數(shù)，在空間站處于平衡狀態(tài)時, F引力F輻射,即M S mLGr 22 r 2 c A,這就得到，反射面的面積A2 GM S mcL.r 2 成反比，因而平衡（ 2）由上面的討論可知，由于輻射壓力和太陽引力都與條件與太陽和空間站的距離r 無關(guān)。（ 3）若 A= d 2。并以題給數(shù)據(jù)代入前式得到2 GM S mcdL練習(xí)9解析如圖所示，取S 系為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系，系為與B

11、 固連的坐標(biāo)系，S、相應(yīng)的坐S標(biāo)軸平行， x (x ) 軸與 A、 B運(yùn)動方向平行。（ 1）v vBcvA vccvA,vAvv Ac(cc11c )c2c2(2)v vBcvA vc ( c )cv Ac,vAvv A1( c )cc212c(3)vvBcv AcvAvcvcvvAvvAvlimv11vcc 2c1c.d(cv)1limdvlimdvcv cvc1(1)dtcc上述結(jié)果是光速不變原理的必然結(jié)果。練習(xí) 10解析 （ 1）此時，測得B 尺長度縮短了，所以結(jié)果如下：A2B1， A2B2， A1B1，A1B2 ；（ 2）此時，測得A 尺長度縮短了，所以結(jié)果如下A2B1 ， A1B1，

12、 A2 B2 ， A1 B2 ；（ 3）此時，測得A 尺、 B 尺長度均縮短了，縮短的長度一樣，所以結(jié)果如下A2B1 ，A2B2（同時）， A B 。A1B112練習(xí) 11解析 （1）設(shè) l x、 l y 為 S 上測得桿長在 x、 y 方向分量， l x 、 l y 為 S 上測得桿長在 x 、 y 方向分量。l yl ytg1tg22l xl xvv11c2c2arctg1tgv 212c(2)l22 2v 2 22 (1v 21 sin21v 22 l xl yl x (1c2) l y1 cosc2 )c2cos長度縮短只發(fā)生在運(yùn)動方向上。練習(xí) 12解析S 系固連在實(shí)驗(yàn)室上，S 固連在

13、原子核上，S、 S相應(yīng)坐標(biāo)軸平行。X 軸正向取為沿原子核運(yùn)動方向上。v 0.6cvx 0.8cvxvxv0.6c0.8c35c0.946c0.6c0.8c371vvxc1c2（ 2）m0m037mvx2352 c212 m011c2372c2（ 3） EkE E0mc2m0 c237 m0c 2m0 c 225 m0c 21212（ 4） pmv37 m v37 m35 c35 mc練習(xí) 13120 x12037120解析1光子與反射鏡碰撞過程中的動量和能量守恒定律表現(xiàn)為E cMVEcMV，(1)EMV 22EMV 22 (2)其中 V 為碰撞后反射鏡的速度從上兩式消去V，得EE4E2E(3)

14、221 V c1 V c1V c4E McE1Vc(4)EVc1當(dāng) V1時，11 V c ，可得EE 12V c (5)c1V c2.考察時刻 t 位于垂直于光傳播方向的截面A 左側(cè)的長為光在 1s時間內(nèi)所傳播的距離 c 1s、底面積為單位面積柱體內(nèi)的光子，如圖1 所示經(jīng)過1s 時間，它們?nèi)客ㄟ^所考察的截面若單位體積中的光子數(shù)為n ，根據(jù)光強(qiáng)的定義，入射光的強(qiáng)度ncE（ 6）若 A 處固定一反射鏡，則柱體的底面S2 處的光子在時刻 t 到達(dá)位于 A 處的反射鏡便立即被反射，以光速c 向左移動；當(dāng)柱體的底面S1 在 t+ 1s 到達(dá) A 處被反射鏡反射時，這柱體的底面 S2 已到達(dá) A 左邊距

15、離 A 為 c 1s 處，所有反射光的光子仍分布在長為c 1s、截面積為單位面積的柱體內(nèi)，所以反射光的強(qiáng)度與入射光的強(qiáng)度相等如果反射鏡不固定，而是以恒定的速度V 向右移動，則在時刻 t+ 1s 柱體的底面S1 到達(dá) A 處時，反射鏡已移到A 右邊距離為1s 的 N 處，這時底面 S2 移到 A 左側(cè)離 A 的距離為 c 1s 處，如圖 2 中 a 所示 . 設(shè)再經(jīng)過時間t ， S1 與鏡面相遇，但這時鏡面己來到 N 處，因?yàn)樵趖 時間內(nèi)，鏡面又移過了一段距離Vt ，即在時刻 t1st ，底面 S1 才到達(dá)反射鏡被反射亦即原在S1 處的光子須多行進(jìn)ct的距離才能被反射因此c t1st V得tV(

16、7)Vcct 這樣反射光的光子將分布在長為 c 1s 2c t而這時， 底面 S2 又向左移了一段距離的柱體內(nèi)因反射不改變光子總數(shù)，設(shè)n 為反射光單位體積中的光子數(shù)，有ncnc2cVn c cVc VcV故有ncV(8)nVcn cE 根據(jù)光強(qiáng)度的定義，反射光的強(qiáng)度(9)cV2由 (4) 、 (8)、 (9) 各式得(10)cV注意到 Vc 有14Vc練習(xí) 14解析可以設(shè)想在事件A 發(fā)生時 A 處發(fā)出一個閃光，事件 B 發(fā)生時 B 處發(fā)出一個閃光?！皟砷W光相遇”作為個事件，發(fā)生在線段AB 的中點(diǎn)，這在不同參考系中看都是一樣的?！跋嘤鲈谥悬c(diǎn)”這個現(xiàn)象在地面系中很容易解釋：兩個閃光同時發(fā)出，兩個閃

17、光傳播的速度又一樣，當(dāng)然在線段的中點(diǎn)相遇，火箭上的人則有如下推理：地面在向火箭方向運(yùn)動，從閃光發(fā)生到兩閃光相撞，線段中點(diǎn)向火箭的方向運(yùn)動了段距離，因此閃光B傳播的距離比閃光A 長些，既然兩個閃光的光速相同，定是閃光B 發(fā)出得早一些。練習(xí)15解析這里包含有兩個相對論效應(yīng)：運(yùn)動物體的“質(zhì)速關(guān)系”。若棒（ K 系）以速度v 相對觀察者（固有長度，所以，運(yùn)動長度為（ 1）沿棒長方向運(yùn)動時的“長度收縮 ”效應(yīng)；（ 2）K系）沿棒長方向（x 軸）運(yùn)動，靜止棒長l 是運(yùn)動質(zhì)量則線密度：若棒在垂直長度方向上運(yùn)動時，長度不變，即l”=l，運(yùn)動質(zhì)量仍為式所示，則線密度：練習(xí) 16解析根據(jù)洛侖茲變換，得兩個事件的空

18、間和時間間隔公式xxv t，1(v / c)2ttxv / c2（1）1( v / c)2由題意得：t =0， x = 1m， x = 2m因此xx，1(v / c)2txv / c2（ 2）1 (v / c) 2由（ 2）之上式得它們的相對速度為vc1 (x /x)2（3）將（ 2）之下式除以（2）之上式得t v，xc2所以tx1(x21(22= -0.577-8c)cx) ( x)10 (s)x注意 在 S系中觀察到兩事件不是同時發(fā)生的，所以間隔x = 2m 可以大于間隔x =1m如果在 S系中觀察到兩事件也是同時發(fā)生的，那么x就表示運(yùn)動長度， 就不可能大于本征長度x，這時可以用長度收縮公

19、式xx1( v / c)2 ，計算它們的相對速度練習(xí) 17解析以地球?yàn)?S 系，則t =10s， x = 100m根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)和時間變換公式xx vt和 tt vx / c2，1 (v / c)21 (v / c)2飛船上觀察運(yùn)動員的運(yùn)動距離為xxvt1000.8c10 -4 109(m)1 (v / c)210.82運(yùn)動員運(yùn)動的時間為ttvx / c2100.8100 / c1(v / c)20.6 16.67(s)在飛船上看， 地球以0.8c 的速度后退， 后退時間約為16.67s；運(yùn)動員的速度遠(yuǎn)小于地球后退的速度，所以運(yùn)動員跑步的距離約為地球后退的距離，即4109練習(xí) 18E0 已知，

20、且 E0 = m 0c2，總能量為解析在相對論能量關(guān)系E=E0+ E k 中，靜止能量E mc2m0c2E0，1 (v / c)21 (v / c)2所以1E0Ek，1 (v / c)2E0由此得粒子的運(yùn)動時為t1ttE0Ek( v / c) 2E0還可得 1(v / c)2E0，E0Ek解得速率為vc 1(E0) 2E0Ek粒子能夠通過的距離為lv tEE2182.6 10621=c t ( 0k )3 10(1 30)E024167.4(m) 練習(xí) 19Ek = m 0v2/2，相對論動能為Ek = mc2m0c2，解析（ 1）粒子的非相對論動能為其中 m 為運(yùn)動質(zhì)量mm0(v / c)21根據(jù)題意得m0c2m0c2m0v2 ，1 (v / c)2設(shè) x = ( v/c)2，方程可簡化為11 x ，或1 (1x ) 1x ，1x平方得 1 = (1 x