數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)

1、 在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬。拉普拉斯（法） 數(shù)學(xué)歸納法（一）江蘇省海門中學(xué)數(shù)學(xué)組 鄧杰一、創(chuàng)設(shè)情境，開(kāi)啟思維 情境一“地主兒子學(xué)寫(xiě)字”情境二“小明買火柴”不完全歸納完全歸納結(jié)論不可靠結(jié)論可靠 ：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理 方法。 結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想考察全體對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法 歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法歸納法 ， , , 如何解決不完全歸納法與完全歸納法存在的問(wèn)題呢？ 情境三問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們觀察以上等式，可以猜想出 一般性地結(jié)論嗎？問(wèn)題2：對(duì)于上面結(jié)論，

2、你能完成證明嗎？啊，逐一驗(yàn)證，有完沒(méi)完啊？二、引導(dǎo)探究，尋求方法你見(jiàn)過(guò)多米諾骨牌游戲嗎?多米諾骨牌.mp4問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們思考所有骨牌全部倒下必須具備哪些條件？1、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定 導(dǎo)致后一塊倒下滿足這兩個(gè)條件，多米諾骨牌就會(huì)全部倒下. 一般的，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法公理：如果（1） 當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1,2等 ) 時(shí)結(jié)論正確; （2） 假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ,k n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確. 那么，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。例 證明：遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)證明 當(dāng)n=1時(shí)，左邊1 ,右邊=1,等

3、式成立；假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí)等式成立，即那么,當(dāng)n=k+1時(shí)，有即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立。根據(jù)和，可知對(duì)任意nN*等式都成立。三、公理應(yīng)用，解決問(wèn)題【感悟提升】如何理解數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中，兩步的作用？1、凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180，若用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步驗(yàn)證n取第一個(gè)正整數(shù)時(shí)命題成立，則第一個(gè)正整數(shù)取值為_(kāi)n0是命題成立的初始值，不一定取1！3【公理理解提升】即n=k+1時(shí)等式成立.所以等式對(duì)一切自然數(shù) 均成立. 2、甲同學(xué)猜想 用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟如下：證明：假設(shè)n=k(k1)時(shí)等式成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)上述證法是正確的嗎？為什么？警示1：第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少了第

4、一步就失去了保證，不要誤認(rèn)為第一步是一個(gè)簡(jiǎn)單的驗(yàn)證，可有可無(wú).錯(cuò)誤原因3、乙同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明警示2：在第二步中,證明n=k+1命題成立時(shí),必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系,造成推理無(wú)效. 錯(cuò)誤原因采用下面證法，對(duì)嗎？為什么？（1）第一步是遞推基礎(chǔ)， n0是命題成立的初始值，n0不一定取1 ；兩點(diǎn)注意?。?）第二步是遞推依據(jù)，證明“n=k+1時(shí)命題成立”,必須用到“n=k命題成立”這一歸納假設(shè)。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí):猜想:已知數(shù)列 中 , 且試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.猜想成立.證明:(1)當(dāng) 時(shí),(2)假設(shè) 時(shí),猜想成立, 即那么,當(dāng) 時(shí)即當(dāng) 時(shí)猜想也成立.由(1) (2)知對(duì)任意 猜想都成立。小試身手(1)數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法,它適用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明；(2)兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可,否