數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納與例題分析報(bào)告

1、WORD12/12數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納與例題分析數(shù)列的概念：歸納通項(xiàng)公式：注重經(jīng)驗(yàn)的積累例1.歸納下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)0，-3,8，-15,24，(2)21,211,2111,21111,與的關(guān)系：注意：強(qiáng)調(diào)分開(kāi)，注意下標(biāo)；與之間的互化（求通項(xiàng)）例2：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性的判定與證明：定義法；函數(shù)單調(diào)性法最大（?。╉?xiàng)問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)性法；圖像法數(shù)列的周期性：（注意與函數(shù)周期性的聯(lián)系）例3：已知數(shù)列滿足，求.等差數(shù)列與等比數(shù)列1.等比數(shù)列與等差數(shù)列基本性質(zhì)對(duì)比（類比的思想，比較一樣之處和不同之處）等差數(shù)列等比數(shù)列定義（是常數(shù)，）（是常數(shù)，且，）通項(xiàng)公式推廣：推廣：求和公式中項(xiàng)公

2、式（）（）重要性質(zhì)1、等和性：（）（第二通項(xiàng)公式）與3、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。如：（下標(biāo)成等差數(shù)列） 成等差數(shù)列是等差數(shù)列1、等積性：（）（第二通項(xiàng)公式）與3、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列。如：（下標(biāo)成等差數(shù)列）4、成等比數(shù)列。（僅當(dāng)公比且為偶數(shù)時(shí)，不成立）等價(jià)條件1.定義：anan1d (n2)是等差數(shù)列2.等差中項(xiàng)：2an1anan2是等差數(shù)列3.通項(xiàng)公式：（為常數(shù)）是等差數(shù)列4.前項(xiàng)和：（為常數(shù)）是等差數(shù)列1.定義：(n2)是等比數(shù)列2.等比中項(xiàng)：是等比數(shù)列3.通項(xiàng)公式：（且為常數(shù)）是等比數(shù)列4.前項(xiàng)和：（且為常數(shù)）是非常數(shù)列的等比數(shù)列

3、聯(lián)系真數(shù)等比，對(duì)數(shù)等差；指數(shù)等差，冪值等比。例題：例4（等差數(shù)列的判定或證明）：已知數(shù)列an中，a1eq f(3,5)，an2eq f(1,an1) (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bneq f(1,an1) (nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由 (1)證明an2eq f(1,an1) (n2，nN*)，bneq f(1,an1).n2時(shí)，bnbn1eq f(1,an1)eq f(1,an11)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(2f(1,an1)1)eq f(1,an11)eq f(an1,an11)eq f(1,an11)1.

4、數(shù)列bn是以eq f(5,2)為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知，bnneq f(7,2)，則an1eq f(1,bn)1eq f(2,2n7)，設(shè)函數(shù)f(x)1eq f(2,2x7)，易知f(x)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(，f(7,2)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，)為減函數(shù)當(dāng)n3時(shí)，an取得最小值1；當(dāng)n4時(shí)，an取得最大值3.例5（等差數(shù)列的基本量的計(jì)算）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6150.(1)若S55，求S6與a1(2)求d的取值圍解(1)由題意知S6eq f(15,S5

5、)3，a6S6S58.所以eq blcrc (avs4alco1(5a110d5，,a15d8.)解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2aeq oal(2,1)9da110d210.因?yàn)殛P(guān)于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2eq r(2)或d2eq r(2).方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值圍為d2eq r(2)或d2eq r(2).例6（前n項(xiàng)和與綜合應(yīng)用）(1)在等差數(shù)列an中，已知a120

6、，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an4n25，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和解方法一a120，S10S15，1020eq f(109,2)d1520eq f(1514,2)d，deq f(5,3).an20(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)eq f(5,3)neq f(65,3).a130，即當(dāng)n12時(shí)，an0，n14時(shí)，an0，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S13S121220eq f(1211,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)130.方法二同方法一

7、求得deq f(5,3).Sn20neq f(nn1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)eq f(5,6)n2eq f(125,6)neq f(5,6)eq blc(rc)(avs4alco1(nf(25,2)2eq f(3 125,24).nN*，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以數(shù)列an是以21為首項(xiàng)，以4為公差的遞增的等差數(shù)列令eq blcrc (avs4alco1(an4n250，,an14n1250， )由得n6eq f(1,4)；由得n5eq f(1

8、,4)，所以n6. 即數(shù)列|an|的前6項(xiàng)是以21為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|a747243.設(shè)|an|的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tneq blcrc (avs4alco1(21nf(nn1,2)4n6,663n6f(n6n7,2)4 n7)eq blcrc (avs4alco1(2n223nn6，,2n223n132 n7.)例7已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為 3 例8等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，且,則使得為正整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）例9已知數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，其前

9、項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為例10在數(shù)列中，則.例11 設(shè)的等比中項(xiàng)，則a+3b的最大值為 2 .例12 若數(shù)列1, 2cos, 22cos2,23cos3, ,前100項(xiàng)之和為0, 則的值為 （ ）例13 ABC的三角成等差數(shù)列, 三邊成等比數(shù)列,則三角形的形狀為_(kāi)等邊三角形_數(shù)列求和：（1）倒序相加法如：已知函數(shù)，求_（2）錯(cuò)位相減法：其中 是等差數(shù)列，是等比數(shù)列。（3）裂項(xiàng)相消法：形如（4）拆項(xiàng)分組法：形如，如：，練習(xí)：1、數(shù)列，的前n項(xiàng)和為（ B ）A B C D2、數(shù)列前項(xiàng)和3、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則S100_。4、設(shè)，且，則65、設(shè)，關(guān)于的函數(shù)，若，則數(shù)列前項(xiàng)的和_答案：解答：，所以

10、四、求數(shù)列通項(xiàng)式（1）公式法：，等（2）累加法：形如或，且不為常數(shù)（3）累乘法：形如且不為常數(shù)（4）待定系數(shù)法：形如,其中)型（5）轉(zhuǎn)換法：已知遞推關(guān)系解題思路：利用變化（1）已知；（2）已知猜想歸納法（慎用）練習(xí)：考點(diǎn)三：數(shù)列的通項(xiàng)式1、在數(shù)列中，前n項(xiàng)和，則通項(xiàng)公式_3、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則_4、已知數(shù)列，則 5、在數(shù)列中，（），則.6、如果數(shù)列滿足，則_7、滿足，則=_8、已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則通項(xiàng)公式9、若數(shù)列滿足，則通項(xiàng)公式10、如果數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（D）ABCD五、數(shù)列應(yīng)用題：等差數(shù)列模型1、一種設(shè)備的價(jià)格為450000元，假設(shè)維護(hù)費(fèi)第一年為1000元，以

11、后每年增加1000元，當(dāng)此設(shè)備的平均費(fèi)用為最小時(shí)為最佳更新年限，那么此設(shè)備的最佳更新年限為。30年2、在一次人才招聘會(huì)上，有甲、乙兩家公司分別公布它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：甲公司：第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；乙公司：第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%.設(shè)某人年初同時(shí)被甲、乙公司錄取，試問(wèn)：（1）若該人打算連續(xù)工作年，則在第年的月工資收入分別是多少元？（2）若該人打算連續(xù)工作10年，且只考慮工資收入的總量，該人應(yīng)該選擇哪家公司？為什么？(精確到1元)解：（1）設(shè)在甲公司第年的工資收入為元，在乙公司第年的工資收入為元 則， （2

12、）設(shè)工作10年在甲公司的總收入為，在甲公司的總收入為由于，所以該人應(yīng)該選擇甲公司.等比數(shù)列模型例 從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)計(jì)劃，本年度投入萬(wàn)元，以后每年投入將比上一年度減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加。（1）設(shè)年（本年度為第一年）總投入為萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為萬(wàn)元，寫(xiě)出、的表達(dá)式；（2）至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？（精確到整數(shù)）參考解答：（1） （2）解不等式，得，至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.2017年高考題選擇題（在每小題給出的四個(gè)選

13、項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）(2017年新課標(biāo)) 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則的公差為（ ）2.( 2017年新課標(biāo)卷理) 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的倍，則塔的頂層共有燈（ ）盞 盞 盞 盞(2017年新課標(biāo)卷理) 等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差不為若成等比數(shù)列，則前項(xiàng)的和為（ ） (2017年卷) 已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則“”是“”的（ ）充分不必要條件必要不充分條件 充分必要條件既不充分也不必要條件(2017年新課標(biāo)) 幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)

14、業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（ ）二、填空題（將正確的答案填在題中橫線上）6. (2017年卷理) 若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，=_.7.(2017年卷)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知，則=_( 2017年新課標(biāo)卷理) 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則9.(2017年新課標(biāo)卷理)設(shè)等比數(shù)列滿足，則_三、解答題（應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15、10.( 2017年新課標(biāo)文)已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，等比數(shù)列前項(xiàng)和為（1）若，求的通項(xiàng)公式； （2）若，求.11.(2017年新課標(biāo)文) 記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知（1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并判斷是否成等差數(shù)列。12. ( 2017年全國(guó)卷文)設(shè)數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；13.(2017年卷文)已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且公比大于，（1）求和的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和14.(2017年卷文)已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為各項(xiàng)非零等差數(shù)列,前項(xiàng)和,已知,求數(shù)列前項(xiàng)和15. (2017年卷理)已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且公比大于，,，.（1）求和的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.16. (2017年卷理) 設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（1）若，求的值，并證明是等差數(shù)列；（2）證明：