經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)邊際與彈性(1)

1、 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) ESC 3.3 邊際與彈性 三. 彈性 3.3 邊際與彈性 二. 邊際 1.需求函數(shù)與供給函數(shù) 2.收益函數(shù) 3.成本函數(shù) 4.利潤(rùn)函數(shù)1 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) ESC 3.3 邊際 彈性 三. 彈性 3.3 邊際 彈性 二. 邊際 1.需求函數(shù)與供給函數(shù) 2.收益函數(shù) 3.成本函數(shù) 4.利潤(rùn)函數(shù)2ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 1. 需求函數(shù)與供給函數(shù) (1) 需求函數(shù)案例1 需求 需求是指消費(fèi)者在一定價(jià)格條件下對(duì)商品的需要,消費(fèi)者愿意購(gòu)買而且有支付能力的有效需求. 請(qǐng)問(wèn): “商場(chǎng)為什么要打價(jià)格戰(zhàn)?” 需求價(jià)格是指消費(fèi)者對(duì)所需要的一定量的商品所愿

2、支付的價(jià)格. 需求 函數(shù) 假定除商品的價(jià)格之外的因素都保持不變,只有商品的價(jià)格影響需求.這時(shí),商品的需求量 可以看成是商品價(jià)格 的函數(shù),稱為需求函數(shù),記作3ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 需求函數(shù)的特點(diǎn): 案例1的 解釋 通常假設(shè)需求函數(shù)是單調(diào)減少的.即商品的需求量隨價(jià)格的上漲而減少,隨價(jià)格的下降而增加. 需求 曲線 商場(chǎng)通過(guò)采取降低價(jià)格、增加商品的銷售量(需求量)的營(yíng)銷策略,增加銷售收入,這正是案例1中商場(chǎng)打價(jià)格戰(zhàn)的主要原因. 單調(diào)減少 需求函數(shù)的圖像稱為需求曲線.4ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 是需求函數(shù)的反函數(shù), 也稱為需求函數(shù), 有時(shí)稱為價(jià)格函數(shù). 從中需求函數(shù) (2)

3、供給函數(shù)案例2 解出 供給 供給價(jià)格是指生產(chǎn)者為提供一定量商品所愿意接受的價(jià)格. 供給 函數(shù) 假定除商品的價(jià)格之外的因素都保持不變,只有商品的價(jià)格影響供給量.這時(shí),商品的供給量 可以看成是該商品價(jià)格 的函數(shù),稱為供給函數(shù),記作請(qǐng)問(wèn):“為什么有的商家要囤積商品,等待時(shí)機(jī)再銷售?” 供給是指在某一時(shí)期內(nèi),生產(chǎn)者在一定價(jià)格條件下,愿意并可能出售的產(chǎn)品.5ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 案例2的 解釋 通常假設(shè)供給函數(shù)是單調(diào)增加的.即商品的供給量隨價(jià)格的上漲而增加,隨價(jià)格的下降而減少. 供給 曲線 價(jià)格越高,廠商越愿意供給商品,價(jià)格太低,廠商不會(huì)供給商品.這正是案例2中有的商家要囤積商品,等待時(shí)

4、機(jī)再銷售的主要原因. 單調(diào)增加 供給函數(shù)的圖像稱為供給曲線.供給函數(shù)的特點(diǎn): ,在經(jīng)濟(jì)學(xué)上應(yīng)理解為,只有當(dāng)價(jià)格超過(guò) 時(shí),生產(chǎn)者才開(kāi)始提供產(chǎn)品. 6ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) (3) 局部市場(chǎng)均衡 均衡是指經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中變動(dòng)著的各種力量處于一種暫時(shí)的穩(wěn)定狀態(tài). 當(dāng) = 可得 市場(chǎng)的需 求量 市場(chǎng)的供 給量 均衡數(shù)量 均衡價(jià)格 需求曲線 供給曲線 均衡數(shù)量 均衡價(jià)格 7ESC解練習(xí)1 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 市場(chǎng)上對(duì)某種襯衫的需求函數(shù)為 該種由前述均衡價(jià)格 和均衡數(shù)量 的含義及題設(shè)知,應(yīng)有 解上述方程組,可得均衡價(jià)格 和均衡數(shù)量 : 即該種襯衫的均衡價(jià)格為50元,均衡數(shù)量為1500件.

5、 當(dāng)價(jià)格低于50元時(shí),需求大于供給;當(dāng)價(jià)格高于50元時(shí),供給大于需求. 襯衫的供給函數(shù)為 .試確定該種襯衫的均衡價(jià)格 和均衡數(shù)量 .8ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 2. 收益函數(shù) 收益 收益是指生產(chǎn)者出售商品的收入. 總收益 函數(shù) 總收益是指將一定量產(chǎn)品出售后所得到的全部收入.總收益記作 總收益 為銷售價(jià)格 與銷售數(shù)量 的乘積.若以銷量 為自變量,總收益 為因變量,則 與 之間的函數(shù)關(guān)系稱為總收益函數(shù). 在已知需求函數(shù) 時(shí) 總收益函數(shù) (1) 需求函數(shù)9ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 總收益函數(shù) 總收益函數(shù)的曲線 平均收 益函數(shù) 因需求函數(shù) 單調(diào)減少,且 平均收益是指出售一定量的

6、商品時(shí),每單位商品所得的平均收入,即每單位商品的售價(jià).平均收益函數(shù),記作 ,則 10ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 練習(xí)2 某公司出售移動(dòng)硬盤,并規(guī)定:的總收益,則 售出的移動(dòng)硬盤個(gè)數(shù)每個(gè)移動(dòng)硬盤的售價(jià). 分析: 依題設(shè) 設(shè) 表示售出的移動(dòng)硬盤個(gè)數(shù), 表示銷售移動(dòng)硬盤獲得 對(duì)于不超過(guò)150個(gè)的訂購(gòu)合同,每個(gè)移動(dòng)硬盤售價(jià)定為200元;對(duì)超出150個(gè)的訂購(gòu)合同,超過(guò)150個(gè)的部分每個(gè)移動(dòng)硬盤的售價(jià)按八折銷售.試寫出該公司銷售移動(dòng)硬盤獲得的總收益與售出移動(dòng)硬盤個(gè)數(shù)的函數(shù)關(guān)系.不超過(guò)150個(gè)按每個(gè)200元出售;超過(guò)150個(gè)150個(gè)按每個(gè)200元出售;超過(guò)的每個(gè)按八折出售.解11ESC練習(xí)2(續(xù)解

7、) 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 綜上,該公司銷售移動(dòng)硬盤獲得的總收益 與售出的移動(dòng)硬盤個(gè)數(shù) 的函數(shù)關(guān)系為 分段函數(shù) 當(dāng) 時(shí),超過(guò)150個(gè)的部分,每個(gè)移動(dòng)硬盤的售價(jià)(元). (元). 于是,此時(shí) 于是,此時(shí) 當(dāng) 時(shí),每個(gè)移動(dòng)硬盤的售價(jià)為200元.(元). 12ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 3. 成本函數(shù) 總成本是指生產(chǎn)特定產(chǎn)量的產(chǎn)品所需要的成本總額. (1) 總成本函數(shù) 固定成本 可變成本 指尚沒(méi)生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)的支出,在一定限度內(nèi)是不 隨產(chǎn)量變動(dòng)而變動(dòng)的費(fèi)用.如廠房費(fèi)用、機(jī)器 折舊費(fèi)用,一般管理費(fèi)用、管理人員的工資等. 指隨產(chǎn)量變動(dòng)而變動(dòng)的費(fèi) 用,如原材料、燃料和動(dòng)力 費(fèi)用,生產(chǎn)工人的工資

8、等. 總成本 函數(shù) 若以 表示產(chǎn)量, 表示總成本,則 與 之間的函數(shù)關(guān)系稱為總成本函數(shù),記作 是固定成本 是可變成本 13ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 總成本函 數(shù)的性質(zhì): 總成本函 數(shù)的曲線 單調(diào)增加 (1)總成本函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),這是因?yàn)楫?dāng)產(chǎn)量增加時(shí),成本總額必然隨之增加; (2)固定成本非負(fù),即 .這很顯然,在尚沒(méi)生產(chǎn)商品時(shí),也需要支出,這與產(chǎn)量無(wú)關(guān)的支出是固定成本.因此可將 理解為固定成本,即 .14ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 平均成本函數(shù)的曲線 平均成本 (2) 平均成本 函數(shù) 平均成本是平均每個(gè)單位產(chǎn)品的成本.平均成本記作 .若已知總成本函數(shù) , 則平均成本函數(shù)為

9、 15ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 4. 利潤(rùn)函數(shù) 在假設(shè)產(chǎn)量與銷量一致的情況下,總利潤(rùn)函數(shù)定義為總收益函數(shù) 與總成本函數(shù) 之差.若以 表示總利潤(rùn),則總利潤(rùn)函數(shù)(簡(jiǎn)稱利潤(rùn)函數(shù))顯然, 當(dāng) 時(shí),為盈利;當(dāng) 時(shí),為虧損. 16ESC 一. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 總成本函數(shù)非線性時(shí) 在需求函數(shù)是單調(diào)減的情況下 銷售產(chǎn)品,其總收益函數(shù)的曲線 總利潤(rùn)函 數(shù)的曲線 盈虧平衡點(diǎn) 盈虧平衡點(diǎn) 虧損 虧損 盈利 17ESC 邊際 在經(jīng)濟(jì)分析中,通常用“邊際”這個(gè)概念來(lái)描述一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)變量的變化情況.“邊際”表示在的某一個(gè)值的“邊緣上”的變化情況,即從一個(gè)給定值發(fā)生微小變化時(shí)的變化情況.顯然,這是

10、的瞬時(shí)變化率,也就是變量對(duì)變量的導(dǎo)數(shù). 即邊際概念就是導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義. 由導(dǎo)數(shù)的定義知 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率.它實(shí)質(zhì)上描述了由該函數(shù)所表示的那個(gè)事物或現(xiàn)象的變化情況. 二. 邊際 18產(chǎn)量（ ）總成本（ ）邊際成本（ ）010011101021188312464129551367614812ESC 案例3 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本,如何確定邊際成本? 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,若用初等數(shù)學(xué)表示邊際成本,邊際成本是指生產(chǎn)最后增加的那個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本.即,邊際成本是每增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)品而使總成本變動(dòng)的數(shù)值. 邊際成本記作 總成本與邊際成本的關(guān)系,我們以具體數(shù)值來(lái)說(shuō)明: 之差之差之差之差之差之差 二.

11、 邊際 19ESC 案例3 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本,如何確定邊際成本? 在高等數(shù)學(xué)中,假設(shè)總成本函數(shù) 是可導(dǎo)的. 則比值 若已經(jīng)生產(chǎn) 單位的產(chǎn)量,在此產(chǎn)出水平上,產(chǎn)量增至就是產(chǎn)量由 增至 這一生產(chǎn)過(guò)程中,每增加單位產(chǎn)量總成本的增量. 令 則極限 就表示產(chǎn)量為某一值 的“邊緣上”總成本的變化情況. 這樣一個(gè)極限就是產(chǎn)量為 單位時(shí)總成本的變化率,稱為產(chǎn)量為 時(shí)的邊際成本,記作 二. 邊際 20ESC 案例3 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本,如何確定邊際成本? 這樣一個(gè)極限就是產(chǎn)量為 單位時(shí)總成本的變化率,稱為產(chǎn)量為 時(shí)的邊際成本,記作 即邊際成本就是總成本 對(duì)產(chǎn)量 的導(dǎo)數(shù),邊際成本函數(shù)為 邊際成本可解釋為

12、:生產(chǎn)第 單位產(chǎn)品,總成本增加(實(shí)際上是近似的)的數(shù)量,即生產(chǎn)第單位產(chǎn)品所花費(fèi)的生產(chǎn)成本(不包括固定成本). 二. 邊際 21ESC線性總成本函數(shù) 這說(shuō)明,產(chǎn)量為任何水平時(shí),每增加單位產(chǎn)品,總成本都增加6. 練習(xí)3由于 三次總成本函數(shù) 練習(xí)4由于 即邊際成本是的 函數(shù),說(shuō)明在不同的產(chǎn)量水平上,每增加單位產(chǎn)品,總成本的增加額將是不同的. 二. 邊際 22ESC練習(xí)4即邊際成本是的 函數(shù),說(shuō)明在不同的產(chǎn)量水平上,每增加單位產(chǎn)品,總成本的增加額將是不同的. (續(xù)) 例如,當(dāng) 時(shí), 這表明,生產(chǎn)第4個(gè)單位產(chǎn)品,總成本將增加28個(gè)單位,即生產(chǎn)第4個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的生產(chǎn)成本為28. 例如,當(dāng) 時(shí), 這表明

13、,生產(chǎn)第5個(gè)單位產(chǎn)品,總成本將增加35個(gè)單位,即生產(chǎn)第5個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的生產(chǎn)成本為35. 二. 邊際 23ESC 邊際 對(duì)于其它經(jīng)濟(jì)函數(shù),“邊際”概念有類似的意義. 即對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)而言,因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),統(tǒng)稱為“邊際”. 邊際 收益 總收益函數(shù) ,則 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益,記作 即 邊際收益可解釋為:銷售第 單位產(chǎn)品,總收益增加的數(shù)額,即銷售第 單位產(chǎn)品所得到的收益. 二. 邊際 24ESC 三. 彈性 1981年秋煙酒提價(jià)為什么沒(méi)能達(dá)到預(yù)期目的? 案例4 80年代初,我國(guó)處于計(jì)劃經(jīng)濟(jì)時(shí)期,各種商品的價(jià)格都由國(guó)家物價(jià)管理局統(tǒng)一制定.當(dāng)時(shí),煙酒價(jià)格偏低,供不應(yīng)求.物價(jià)部門于1981年

14、秋,決定對(duì)煙酒進(jìn)行提價(jià),主要想達(dá)到以下兩個(gè)目的:一是使供需達(dá)到基本平衡:二是增加煙酒行業(yè)收入. 背景 資料 效果 評(píng)價(jià) 由于煙酒不是老百姓的生活必需品,且當(dāng)時(shí)的工資水平很低.在某些地區(qū),由于煙酒提價(jià)的幅度較大,致使煙酒的銷售量很快降了下來(lái),甚至發(fā)生了積壓現(xiàn)象,由原來(lái)的供不應(yīng)求變?yōu)楣┻^(guò)于求,沒(méi)能實(shí)現(xiàn)供需基本平衡的目的,當(dāng)然也沒(méi)能實(shí)現(xiàn)增加收入的目的. 1. 需求價(jià)格彈性 25ESC1981年秋煙酒提價(jià)為什么沒(méi)能達(dá)到預(yù)期目的? 案例4 原因 分析 這件事情表明,由于物價(jià)部門沒(méi)能掌握適當(dāng)?shù)奶醿r(jià)幅度,也就是說(shuō),未能掌握煙酒的需求量對(duì)價(jià)格變化的反應(yīng)程度,導(dǎo)致事與愿違. 需求價(jià)格彈性能為這類問(wèn)題的解決提供有

15、效的數(shù)學(xué)工具. 對(duì)策 在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的今天,需求價(jià)格彈性對(duì)于確定商品的價(jià)格、調(diào)整商品的價(jià)格,起著重要的參考作用. 三. 彈性 26ESC (1) 需求價(jià)格彈性的定義 案例5 對(duì)某種商品,已知價(jià)格 與需求 之間的關(guān)系,如何分析價(jià)格變動(dòng)時(shí),需求對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度? 格的相對(duì)改變量是需求相對(duì)應(yīng)的相對(duì)改變量是 則需求價(jià)格彈性記作 ,定義為 設(shè)某一商品價(jià)格為 時(shí),其需求量為 ,當(dāng)價(jià)格從 開(kāi)始提高或降低 時(shí),需求減少或增加 這時(shí),價(jià) 三. 彈性 27ESC (1) 需求價(jià)格彈性的定義 需求價(jià)格彈性 因此,在經(jīng)濟(jì)分析中,需求價(jià)格彈性 反映了需求量變動(dòng)對(duì)價(jià)格變動(dòng)的敏感程度. 由于 與 是按相反方向變化的,這個(gè)比

16、值是一個(gè)負(fù)數(shù).它表明當(dāng)價(jià)格為 時(shí),若價(jià)格提高或降低百分之一,需求由 起減少或增加的百分?jǐn)?shù). 三. 彈性 28ESC例如,某商品的價(jià)格 為10元時(shí),需求量 是100件;這時(shí),價(jià)格變化(提高)的百分?jǐn)?shù)是從而需求價(jià)格彈性 上述計(jì)算結(jié)果表明:商品由原來(lái)價(jià)格10元提高了20%,需求由原需求量100件降低了5%.若用需求價(jià)格彈性表示,則是價(jià)格在10元時(shí)提高了1%,需求則由原100件降低了而需求量變化(減少)的百分?jǐn)?shù)是當(dāng)價(jià)格 為12元時(shí),需求量 是95件. 這是用初等數(shù)學(xué)描述需求價(jià)格彈性. 三. 彈性 29ESC 下面,我們給出需求價(jià)格彈性的定義:下面用高等 數(shù)學(xué)來(lái)描述 需求價(jià)格彈性. 設(shè)需求函數(shù)是 當(dāng)價(jià)格

17、從 起改變了 時(shí),價(jià)格的相對(duì)改變量是 需求相對(duì)應(yīng)的相對(duì)改變量則是設(shè)需求函數(shù) 可導(dǎo),則極限 稱為需求函數(shù)在點(diǎn) 的 需求價(jià)格彈性,記作 三. 彈性 30ESC即一般情況,由于 因假設(shè)需求函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),知故 在點(diǎn)的需求價(jià)格彈性,記作 即 設(shè)商品價(jià)格為 時(shí),需求量為 .需求價(jià)格彈性 的經(jīng)濟(jì)意義是:在價(jià)格為 時(shí),若價(jià)格提高或降低1,需求量將由 起減少或增加(近似地) . 所以需求價(jià)格彈性反映了當(dāng)價(jià)格變動(dòng)時(shí)相應(yīng)的需求量變動(dòng)對(duì)價(jià)格變動(dòng)的靈敏程度. 三. 彈性 31ESC練習(xí)5已知某商品的需求函數(shù)為 求價(jià)格 時(shí)的需求價(jià)格彈性 并說(shuō)明經(jīng)濟(jì)意義. 解 由于 故 當(dāng) 時(shí), 這說(shuō)明,在價(jià)格 時(shí),若價(jià)格提高或降低

18、,需求量將由80起減少或增加 又當(dāng) 時(shí), 三. 彈性 32ESC練習(xí)5已知某商品的需求函數(shù)為 求價(jià)格 時(shí)的需求價(jià)格彈性 并說(shuō)明經(jīng)濟(jì)意義. 續(xù)解當(dāng) 時(shí), 這說(shuō)明,在價(jià)格 時(shí),若價(jià)格提高或降低 ,需求量將由50起減少或增加 又當(dāng) 時(shí), 當(dāng) 時(shí), 這說(shuō)明,在價(jià)格 時(shí),若價(jià)格提高或降低 ,需求量將由40起減少或增加 又當(dāng) 時(shí), 三. 彈性 33ESC (2)需求價(jià)格彈性的分類 ()即時(shí), 稱需求對(duì)價(jià)格是低彈性的.生活必需品多屬于這種情況.()即時(shí), 稱需求對(duì)價(jià)格是富有彈性的.奢侈品多屬于這種情況.()即時(shí),稱需求對(duì)價(jià)格是單位彈性的. 三. 彈性 34ESC (3)需求價(jià)格彈性與收益的關(guān)系 在經(jīng)濟(jì)分析中

19、,應(yīng)用商 品的需求價(jià)格彈性,可 以指明當(dāng)價(jià)格變動(dòng)時(shí), 銷售總收益的變動(dòng)情況. 設(shè)是需求函數(shù) 將總收益表示為價(jià)格 的函數(shù)即 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)是 關(guān)于價(jià)格 的邊際收益 三. 彈性 35ESC (3)需求價(jià)格彈性與收益的關(guān)系 注意到 有 這時(shí),總收益隨價(jià)格的提高而增加.換句話說(shuō),當(dāng)需求是低彈性時(shí),由于需求下降的幅度小于價(jià)格提高的幅度,因而提高價(jià)格可使總收益增加. ()即時(shí),從而總收益函數(shù)是單調(diào)增函數(shù).春運(yùn)期間的火車票價(jià) 三. 彈性 36ESC (3)需求價(jià)格彈性與收益的關(guān)系 注意到 有()即時(shí), 在這種情況下,提高價(jià)格,總收益隨反而減少.這是因?yàn)樾枨笫歉挥袕椥缘?需求下降的幅度大于價(jià)格提高的幅度. 前面提到的81年煙酒提價(jià)問(wèn)題,就是因?yàn)闊熅剖歉挥袕椥缘纳唐?當(dāng)時(shí),由于人們對(duì)煙酒需求下降的幅度大于價(jià)格提高的幅度,因而提高價(jià)格沒(méi)有達(dá)到增加收入的目的.從而總收益函數(shù)是單調(diào)