實(shí)驗(yàn)3數(shù)列與級(jí)數(shù)

1、實(shí)驗(yàn)3 數(shù)列與級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是微積分乃至整個(gè)數(shù)學(xué)分析最重要的基本內(nèi)容之一。遠(yuǎn)在公元前三世紀(jì)，古希臘人Archimedes就采用了數(shù)列極限的思想來(lái)計(jì)算曲邊三角形的面積。本實(shí)驗(yàn)的目的是通過(guò)計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律、極限狀態(tài)的性質(zhì)。所謂一個(gè)無(wú)窮數(shù)列是指按一定順序排列的一串?dāng)?shù)字 , , , , （1）而一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)則是用無(wú)窮項(xiàng)數(shù)字構(gòu)成的和式 = + + （2）數(shù)列與級(jí)數(shù)有密不可分的關(guān)系。給定一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)（2），它唯一地確定了一個(gè)無(wú)窮數(shù)列 , ,其中= + , n = 1,2 , .反過(guò)來(lái)，給定一個(gè)無(wú)窮數(shù)列（1），它也唯一地確定了一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù) 這里= ,n = 2 ,3 , 。并且，無(wú)窮級(jí)數(shù)的和就是相應(yīng)的無(wú)窮數(shù)列

2、的極限。因此，無(wú)窮數(shù)列與無(wú)窮級(jí)數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)化的。給定的數(shù)列 ,人們最關(guān)心的問(wèn)題是：數(shù)列有什么規(guī)律與性質(zhì)？當(dāng)n時(shí)，數(shù)列的極限是什么？極限是否是一個(gè)有限的數(shù)字？還是無(wú)窮大？抑或根本不存在？如果極限是無(wú)窮大，那么它趨于無(wú)窮大的階是什么？如果數(shù)列的極限根本不存在，那么在無(wú)窮大的極限狀態(tài)又怎么樣？對(duì)于給定的一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，也可以提出上述類(lèi)似的問(wèn)題。本實(shí)驗(yàn)將通過(guò)計(jì)算機(jī)圖示的方法來(lái)幫助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律及其極限行為。我們以Fibonacci數(shù)列為例來(lái)探討上述問(wèn)題。3.1 Fibonacci數(shù)列給定如下的數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，其遞推關(guān)系式由, ，2， , (3)給出，該數(shù)列

3、被稱(chēng)為Fibonacci數(shù)列。Fibonacci數(shù)列經(jīng)常以著名的養(yǎng)兔問(wèn)題提出來(lái)。某人養(yǎng)了一對(duì)兔子（公母各一只）。一月后，這對(duì)兔子生了一對(duì)小兔。以后每月、每對(duì)成熟（即一月以上）的兔子都生育一對(duì)小兔。假設(shè)兔子不會(huì)死亡，問(wèn)一年后總共有多少對(duì)兔子？顯然，問(wèn)題的答案就是數(shù)列的第十二項(xiàng)。為考察Fibonacci數(shù)列的極限與規(guī)律，我們用計(jì)算機(jī)算出Fibonacci數(shù)列每一項(xiàng)的值，并在二維平面上畫(huà)出順次連接點(diǎn)（，），n=1,2,，N的折線圖，其中是一個(gè)大整數(shù)。練習(xí)1分別取N=20，50，100，200，500，觀察Fibonacci數(shù)列的折線圖。Fibonacci數(shù)列是否單調(diào)增？它是否趨于無(wú)窮？它增加的速度是

4、快還是慢？你能否證實(shí)你的觀察？為進(jìn)一步研究Fibonacci數(shù)列的特性，我們將取對(duì)數(shù)，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出順次連接點(diǎn),n=1,2,N=1000, 對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合可得 (4) (5)練習(xí)2分別取N=2000，50000，10000，用直線去擬合數(shù)據(jù), n=1,2,N,由此求數(shù)列的近似表示，注意觀察的線性項(xiàng)的系數(shù)，它與黃金分割數(shù)有何聯(lián)系？由計(jì)算機(jī)觀察到的上述結(jié)果我們似乎可以猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)具有形式 （6）將上式代入遞推公式（3）得 (7)從而 。因?yàn)閿?shù)列趨于無(wú)窮，故取 于是 (8)然而，公式（8）并不滿(mǎn)足，即并非數(shù)列的通項(xiàng)公式。不過(guò)，它仍然是數(shù)列的主項(xiàng)。練習(xí)3證明公式（8）不是Fibonacci數(shù)

5、列的通項(xiàng)。為進(jìn)一步得到Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)，我們構(gòu)造數(shù)列 將上式代入公式 （3）可得仍然滿(mǎn)足遞推公式（3）。因而我們猜測(cè)，數(shù)列的通項(xiàng)也具有形式 =其中也滿(mǎn)足方程（7），故 = 這樣，我們得到Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)一個(gè)新的猜測(cè) 由條件確定出 c= ,= 從而我們得到 =()() (9)這樣，F(xiàn)ibonacci數(shù)列趨于無(wú)窮的階為()。練習(xí)4驗(yàn)證（9）式正是Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式Fibonacci數(shù)列與自然界中的許多現(xiàn)象，如植物的枝干與葉子的生長(zhǎng)有緊密的聯(lián)系。它在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)極為成功的應(yīng)用是協(xié)助前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂雅舍維奇解決了著名的Hilbert第十問(wèn)題。此外，它在優(yōu)化、運(yùn)

6、籌以及計(jì)算機(jī)科學(xué)與藝術(shù)領(lǐng)域都具有極大的應(yīng)用價(jià)值。下面我們來(lái)“聽(tīng)一聽(tīng)” Fibonacci 數(shù)列。練習(xí)5取一整數(shù)m（如m=51）, 將Fibonacci數(shù)列模m得到一周期數(shù)列，將該周期數(shù)列的值作為音高，編程演奏它，取不同的m，或?qū)锥魏喜?，感受旋律的變化?.2 調(diào)和級(jí)數(shù)熟知，無(wú)窮級(jí)數(shù) （10）當(dāng)1時(shí)收斂，當(dāng)1發(fā)散，特別地，=1時(shí)，級(jí)數(shù)（10）稱(chēng)為調(diào)和級(jí)數(shù)。 一個(gè)令人感興趣的問(wèn)題是，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到無(wú)窮的速度有快？或者說(shuō)數(shù)列 =1+趨于無(wú)窮的速度有多快？一個(gè)直觀的方法仍然是畫(huà)出由點(diǎn)（n,）,n=，N構(gòu)成的折線圖。練習(xí)6 充分大的N,觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖，你覺(jué)得它發(fā)散的速度是快還是慢？將它的圖形,

7、，以作比較，誰(shuí)的速度快？從上述實(shí)驗(yàn)的結(jié)果看出，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的速度較慢，但是它到底以什么樣的速度發(fā)散到無(wú)窮？讓我們?cè)僮鱿旅娴木毩?xí)。練習(xí)7 對(duì)充分大的一系列n計(jì)算，你能否猜測(cè)出，當(dāng)n趨于無(wú)窮的極限？更一般地，趨于無(wú)窮的極限是什么？反過(guò)來(lái)，固定n，讓k趨于無(wú)窮，趨于無(wú)窮的速度是什么？你能否由此得出當(dāng)n趨于無(wú)窮的極限階？我們也可以從另外一個(gè)角度考察上述問(wèn)題。練習(xí)7 用表示不小于的最小整數(shù)。對(duì)，計(jì)算。你能做出什么猜測(cè)？對(duì)每個(gè)n，設(shè)，則的范圍是什么？對(duì)每個(gè)令n是使得成立的最大整數(shù)，我們把它記為，試計(jì)算比值。你能據(jù)此做出何種猜測(cè)？當(dāng)m趨于無(wú)窮時(shí)，關(guān)于m的階是多大？由此，關(guān)于n的極限是多少？對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)做更仔細(xì)

8、的分析，可以得到更精細(xì)的結(jié)果。有興趣的讀者不妨做進(jìn)一步探討。3.3 思考問(wèn)題作為本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，請(qǐng)讀者研究下列數(shù)列的極限狀態(tài)與規(guī)律。問(wèn)題1 設(shè)，研究數(shù)列的極限行為。(1)在平面上畫(huà)出順次邊接點(diǎn),1,2,，2000的折線圖。(2)根據(jù)上述圖形，你認(rèn)為數(shù)列的極限是什么？(3)用一恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)去擬合上述圖形。(4)猜測(cè)數(shù)列的極限階。(5)你能否證明你的結(jié)論？問(wèn)題2 研究數(shù)列的極限狀態(tài)的規(guī)律。(1)在平面上畫(huà)出點(diǎn)列,1,2,，(如).(2)根據(jù)上述圖形，你認(rèn)為數(shù)列的極限是否存在？(3)你能從上述圖形中觀察到點(diǎn)列的分布有什么規(guī)律？(4)你能否證明所觀察到的規(guī)律？(5) 任取區(qū)間，畫(huà)出數(shù)列中落在區(qū)間中的點(diǎn)，將區(qū)

9、間放大并取不同的，觀察落在區(qū)間中的點(diǎn)集有何變化。(6)根據(jù)以上觀察，你認(rèn)為數(shù)列的聚點(diǎn)集合是什么？你能否證明你的結(jié)論？問(wèn)題3 考察由如下關(guān)系確定的正整數(shù)數(shù)列 任取一正整數(shù)作為初值，計(jì)算數(shù)列，并在平面坐標(biāo)系中用折線連接,n=0,1,N.取不同的初值，觀察所得的結(jié)果。你能發(fā)現(xiàn)數(shù)列，有什么規(guī)律？你能否嘗試證明我所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？問(wèn)題4 研究Farey數(shù)列的規(guī)律與項(xiàng)數(shù)。給定整數(shù)n，將分母不超過(guò)n的所有真分?jǐn)?shù)（以最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)）從小到大排列，所得到的數(shù)列稱(chēng)為n階Farey數(shù)列。例如，6階Farey數(shù)列是1/6，1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5，5/6。對(duì)n階Farey數(shù)

10、列，我們要問(wèn)它有多少項(xiàng)？相鄰各項(xiàng)之間有何聯(lián)系？為研究這些問(wèn)題，請(qǐng)做以下實(shí)驗(yàn)。（1）任取一Farey數(shù)列，考察任意相鄰三項(xiàng)之間的關(guān)系。將頭尾兩項(xiàng)的分子分母分別相加，所得分?jǐn)?shù)是什么?你能因此做出什么樣的猜想？你能否證明你的猜猜想？（2）考察Farey數(shù)列相鄰兩項(xiàng)三項(xiàng)之間得差，你能得到什么結(jié)論？你能否證明你的結(jié)論？（3）將Fraey數(shù)列的每一項(xiàng)減去，所得到的新數(shù)列有什么性質(zhì)？（4）用表n 階Farey數(shù)列Fn的項(xiàng)數(shù)。觀察n階Farey數(shù)列和n+1階Farey數(shù)列的關(guān)系。由此, 與有何關(guān)系？（5）點(diǎn)列（n, ）,n=2,3.,N（如N=1000）標(biāo)在二維坐標(biāo)平面上（可用折線將它們連接起來(lái)）。猜測(cè)與 n

11、的關(guān)系，并擬合之。的極限階是多少？注意，極限階前的常數(shù)與有何關(guān)系？（6）用表示的第k項(xiàng)，并令。用（5）類(lèi)似的辦法估計(jì)Dn的極限階。據(jù)此,你能做出何種猜測(cè)？在這里，你要非常小心。你做出的猜測(cè)很可能與著名的猜想（見(jiàn)有關(guān)素?cái)?shù)的實(shí)驗(yàn)）有某種聯(lián)系。問(wèn)題5 在調(diào)和級(jí)數(shù)中，將分母的十進(jìn)制表示中含有數(shù)字9的項(xiàng)去掉，由此得到的級(jí)數(shù)是收斂還是發(fā)散呢？請(qǐng)根據(jù)本實(shí)驗(yàn)中介紹的方法做仔細(xì)的分析。問(wèn)題6 考察時(shí)，級(jí)數(shù)（10）的一些結(jié)果。對(duì)充分大的N ，計(jì)算級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和，并計(jì)算它與的比值。你能否據(jù)此猜測(cè)級(jí)數(shù)（10）的和？設(shè),， 是按順序排列素?cái)?shù)?？疾鞜o(wú)窮乘積 （11）試計(jì)算該無(wú)窮乘積的近似值。這個(gè)值與（1）中級(jí)數(shù)的和有何關(guān)

12、系？由此，你能做出什么樣的猜測(cè)？你能否證明你的猜測(cè)？你能否猜測(cè)，對(duì)一般的，無(wú)窮級(jí)數(shù)（10）的和與哪個(gè)無(wú)窮乘積相等？需要再次提醒讀者，本問(wèn)題與 猜想也有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。附錄Mathematica 程序下面是本實(shí)驗(yàn)中的有關(guān)Mathematica 程序。使用時(shí)，只要輸入并調(diào)用相關(guān)函數(shù)即可。 畫(huà)Fibonacci數(shù)列折線圖的函數(shù)FibShown_Integer:=Modulet= ,i,Fori=1, iTrue用直線去擬合(, log(F), =1,2,n的函數(shù) FibFitn_Integer:= Moduld t= ,i, For i=1, i=n, i+, AppendTot, i,LogFibonaccii; Fit t, 1, x, x 演奏Fibonacci數(shù)列的函數(shù)Fibplayn_Integer:= Modulet= ,i, Fori=1, i0,n,SamplRate-5 顯示點(diǎn)列（,sin(), =1,2，n的函數(shù) PlotListn_Integer:= Modulet= ,i, Fori=1, i Poin