2016級(jí)第6周數(shù)學(xué)史

1、PAGE PAGE 7幾何學(xué)的發(fā)展歷程淺談歐幾里得幾何與非歐幾里得幾何的發(fā)展史【學(xué)院】：數(shù)學(xué)與信息學(xué)院【專業(yè)】：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)【學(xué)生】：2009級(jí)01班 余永香【學(xué)號(hào)】：200908140148【指導(dǎo)老師】：楊 孝 斌【摘要】：在希臘語中，“幾何學(xué)”是由“地”與“測量”合并而來的，本來有測量土地的含義，意思就是“測地術(shù)”?！皫缀螌W(xué)”這個(gè)名詞，是我國明代數(shù)學(xué)家徐光啟根據(jù)讀音譯出的，沿用至今。幾何學(xué)分為歐幾里得幾何與非歐幾里得幾何。非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏( HYPERLINK /datebase/briefing/scientist/18st/luo_ba_qie_fu_si_

2、ji.htm t contents 羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。幾何學(xué)有著悠久的發(fā)展史，是為后人學(xué)習(xí)、創(chuàng)新極佳的的非物質(zhì)產(chǎn)品?！娟P(guān)鍵詞】：幾何學(xué)；歐幾里得；羅巴切夫斯基；發(fā)展史 （）什么是幾何學(xué)？它是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式的一門學(xué)科，也是研究一般空間結(jié)構(gòu)的學(xué)科。1-1幾何學(xué)的發(fā)展簡史。幾何學(xué)的發(fā)展主要經(jīng)歷了四個(gè)階段：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的積累和初步整理。理論幾何的形成與發(fā)展。解析幾何的產(chǎn)生和發(fā)展?，F(xiàn)代幾何的發(fā)展。1-2幾何學(xué)的分支學(xué)科。它的分支學(xué)科有：平面幾何、立體幾何、非歐幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、解析幾何、射影幾何、仿射幾何、代

3、數(shù)幾何、微分幾何、計(jì)算幾何、分形幾何、拓?fù)鋵W(xué)等。（）歐幾里得幾何與非歐幾何的產(chǎn)生與發(fā)展。2-1幾何原本的由來。大約公元前1650年，埃及人阿默斯（Ahrmes，生卒年月不詳）手抄了一本書，即后人所稱得“阿默斯手冊(cè)”，最早發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯的廢墟中。公元1858年由英國的埃及學(xué)者萊因德（A.H.Rhind）購得，故又名“萊茵德紙草書”。此書中載有很多關(guān)于面積的測量法以及關(guān)于埃及金字塔的幾何問題，它是世界上最古老的數(shù)學(xué)書。古代埃及雖然積累了很多的幾何知識(shí)，但是還沒有組織成一門系統(tǒng)的科學(xué)。直到后來希臘與埃及通商，幾何知識(shí)漸漸傳入希臘，在希臘得到光輝的發(fā)展。在古希臘，許多數(shù)學(xué)家，如泰勒斯（約公元前625

4、前547年）、畢達(dá)哥拉斯（約公元前582前493年）、希波克拉底（公元前5世紀(jì)中期）、柏拉圖（約公元前427前347年）、歐幾里得（約公元前330前275年）等人，對(duì)幾何作出了很大的貢獻(xiàn)。泰勒斯曾發(fā)現(xiàn)若干幾何定理和證明的方法，這是理論幾何是的開端，他還利用幾何定理來解決實(shí)際問題，憑一根竹竿就可以測的金字塔的高。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為數(shù)學(xué)是一切學(xué)問的基礎(chǔ)，他對(duì)幾何有很多研究，著名的勾股定理在西方就叫做“畢達(dá)哥拉斯定理”。希波克拉底是編著第一部初等幾何教科書，并首先使用“反證法”的人，他還與柏拉圖等同為研究“幾何三大問題”的人，并因此發(fā)現(xiàn)了許多幾何定理。柏拉圖首創(chuàng)證題利器“分析法”，而確立縝密的定義和明晰

5、的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，這種思想也由柏拉圖開其先河。而數(shù)學(xué)家歐幾里得搜集了一大堆雜亂無章的前人留下來的數(shù)學(xué)知識(shí)。歐幾里得深知，要使數(shù)學(xué)得以廣泛流傳，就必須將這些數(shù)學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，成為一個(gè)完整的理論體系。 他做了三件大事：首先為數(shù)學(xué)體系尋找一個(gè)理論框架，這就是亞里士多德形式邏輯的演繹體系，它就相當(dāng)于穿珍珠的線，有了它，各種數(shù)學(xué)公式、定理之間的承接關(guān)系便一目了然，數(shù)學(xué)是“演繹的”這一邏輯特性也因此而確定了下來。其次，為了演繹系統(tǒng)的需要，歐幾里得十分精細(xì)地對(duì)所有的數(shù)學(xué)命題加以分析，確定它們各自的位置，哪些可以放在最前面，其正確性不須證明，稱之為公理；哪些命題放在中間或后面，要依靠公理或前面已被

6、證明的命題來證明其正確性，這些稱為定理。概念也須一一加以定義，在定義中出現(xiàn)的概念必須是已被定義過的。這樣一步步追溯上去，總有一些概念是處于這一“邏輯鏈”的最前頭，被稱為“原始概念”。完成這一工作需要清晰的頭腦、堅(jiān)強(qiáng)的毅力和有條不紊的工作，這也是歐幾里得數(shù)學(xué)才華的真正展現(xiàn)。第三，歐幾里得在前人工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)他所構(gòu)造的數(shù)學(xué)體系進(jìn)一步向前推演，得到了一批新的定理，充分顯示了他的創(chuàng)造性思維能力，經(jīng)數(shù)載辛勤勞動(dòng)，歐幾里得的鴻篇巨著幾何原本終于在公元前300年問世了！從1482年拉丁文本首次在威尼斯印刷出版到19世紀(jì)末，它的各種版本用各種語言出了1000版以上。在這之前，它的手抄本統(tǒng)治幾何學(xué)也已達(dá)18

7、00年之久。歐幾里得的影響如此深遠(yuǎn)，以致他的名字成了“幾何學(xué)”的同義語，這本西方最古老的數(shù)學(xué)著作，為2000年來用公理法建立演繹的數(shù)學(xué)體系樹立了最早也是最光輝的典范。22歐幾里得幾何原本第五公設(shè)證明問題的爭議。幾何原本共十三卷。每卷都是以一些概念的定義、公理和公設(shè)為基礎(chǔ)的。第一卷便是以二十三個(gè)定義、五個(gè)公理和五個(gè)公設(shè)開始的。第一卷的第五公設(shè)在歐幾里得幾何的所有的幾何公設(shè)中顯得無比特殊。即是：“過直線外的一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線平行”。第五公設(shè)能不能證明一直是人們心中的疑問。從古希臘時(shí)代開始數(shù)學(xué)家們就一直試圖把它當(dāng)作一條定理由其他公設(shè)、公理推導(dǎo)出來。古希臘天文學(xué)家托勒玫第一個(gè)作第五公設(shè)證

8、明的重大嘗試。接著中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家奧馬海姆亞、納西爾.丁、沃利斯等，但都沒有對(duì)數(shù)學(xué)思想的進(jìn)展產(chǎn)生多大的現(xiàn)實(shí)意義。23非歐幾何的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展。在18世紀(jì)中葉前后，在對(duì)第五公設(shè)的研究開始出現(xiàn)有意義的進(jìn)展。代表人物是意大利數(shù)學(xué)家薩凱里、德國數(shù)學(xué)家克呂格爾和瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特。薩凱里首先使用歸謬法來證明第五公設(shè)?？藚胃駹柺堑谝粋€(gè)懷疑第五公設(shè)能否由歐式幾何的其他公理加以證明的科學(xué)家。1776年，蘭伯特寫了平行線理論一書，他最先認(rèn)識(shí)到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的幾何，因此，蘭伯特最先指出了通過替換平行公設(shè)而展開新的無矛盾的幾何學(xué)的道路。在非歐幾何正式建立之前，最先認(rèn)識(shí)到非歐幾何是一種邏輯

9、上相容并且可以描述物質(zhì)空間、像歐氏幾何一樣正確的新幾何學(xué)的是高斯。認(rèn)識(shí)到非歐幾何的還有匈牙利青年J.波約和俄國數(shù)學(xué)家羅切夫斯基。而高斯、波約的正確理論都因客觀因素沒有正式發(fā)表。在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有羅巴契夫斯基于最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅(jiān)定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想的一位數(shù)學(xué)家。1829年發(fā)表的論幾何原理是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn)。在非歐幾何中，他假設(shè)“過不在已知直線上的一點(diǎn)，可以引至少兩條直線平行于已知直線”，用以代替第五公設(shè)，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。 非歐幾何從發(fā)現(xiàn)到普遍接受，經(jīng)歷了曲折的道路。要達(dá)到這一目標(biāo)，需要確實(shí)建立非歐幾何自身的無矛盾性和現(xiàn)實(shí)意義。羅切夫斯基終其一生努力也沒有這一目標(biāo)。繼他之后，德國數(shù)學(xué)家黎曼在1854年發(fā)展了羅切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何。他創(chuàng)立了黎曼幾何不僅是對(duì)已經(jīng)出現(xiàn)的羅切夫斯基幾何的承認(rèn)，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。19世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米、德國數(shù)學(xué)家克萊因和法國數(shù)學(xué)家龐加萊等人先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義。